现代控制理论第四章答案

G T PG P Q 1 3 1 P11 3 2 0 P 12 0 3 0 P13 P12 P22 P23 P13 1 3 0 P11 P23 3 2 3 P12 P33 1 0 0 13
P 12 P22 P23
19 1 0, 2 0, 3 0 78
19 78 P 13 10 P23 39 P33 1 2
10 39 49 78 19 13
0 0 0 P11 P12 P13 1 0 0 0 P P k P k 2 / 4 P P k / 2 P P P 0 0 0 11 13 33 12 23 12 22 23 0 P13 P23 P33 0 0 0 P12 P23 k / 2 P22
P 12 P22
P 1 1 1 0 12 2 3 0 1 P22
7 P 11 4 5 P 12 8 9 P22 24
2 P 4 P 1 11 12 P 4 P 2 P22 0 11 12 2 P 6 P 1 22 12
1 2 19 13 123 76
故:矩阵P是负定的,所以系统的平衡状态是不稳定的
【习题4－8 】设线性离散系统的状态方程为
0 1 0 x(k 1) 0 0 1 x(k ) 0 k / 2 0
1 Q 0 0 0 0 0 P 11 P P 12 P 13
I A
a11
a12
a21 a22 (a22 a11 a12 a21 ) 1 2 0 2 (a11 a22 ) 1 2 0 2
2 (a11 a22 ) a22 a11 a12 a21
大范围渐近稳定的条件
a22 a11 a12 a21 a11 a22
2 x1 x2 2 x2 a (1 x2 ) 2 x2 x1


V (x) 沿轨线不恒为零,且有
x
2 2a (1 x2 ) 2 x2 0
V (x)
故:系统的平衡状态是大范围渐近稳定的
【习题4－7 】设线性离散系统的状态方程为
x1 (k 1) x1 (k ) 3x2 (k ) x2 (k 1) 3x1 (k ) 2 x2 (k ) 3x3 (k ) x3 (k 1) x1 (k )
1 1 1 3 1 4 3 16 0 1 3 1
由希尔维斯特判据可知是不定的
【习题4－2 】已知二阶系统的状态方程
a11 x a21
a12 x a22
试确定系统在平衡状态大范围渐近稳定的条件 【解】系统有唯一的平衡点 可以用第一方法：
xe 0
(1) (2)
【解】
2 2 Q( x) x12 3x2 11x3 2 x1 x2 x2 x3 2 x1 x3 2 2 Q( x) x12 4 x2 x3 2 x1 x2 6 x2 x3 2 x1 x3
2 2 Q( x) x12 3x2 11x3 2 x1 x2 x2 x3 2 x1 x3
0 0 0 0 1 0 P11 P12 P13 1 0 0 P P k / 2 P P k / 2 P P k / 2 0 0 1 P P P 0 0 0 12 23 13 33 11 13 12 22 23 0 k / 2 0 P13 P23 P33 0 0 0 P12 P22 P23
1 1 P 11 1 1 P 12 P P 12 11 P22 P 12
P 12 P22
P 1 1 1 0 12 1 1 0 1 P22
1 P 0 P22 12 2
第四章主要内容：
§4—1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 主要知识点:
1、李雅普诺夫意义下的稳定性定义；
2、渐近稳定、大范围渐近稳定、不稳定的概念； 3、输出稳定、状态稳定的概念。
§ 4—2 李雅普诺夫第一方法（间接法）
主要知识点:
1、线性系统的稳定性判据；
2、非线性系统稳定性分析方法（线性化）。
§4—3 李雅普诺夫第二方法（直接法）
2 P 2 P12 1 11 P 2 P P22 0 11 12 2 P 2 P 1 22 12
1 P 11 2
P 11 P 12 P
1 P 2 12 P22 0
1 0 1 1 0 2 2 1 2 0 2
7 4 P 5 8
5 8 9 24
7 7 1 0 2 4 5 4 8
5 8 51 0 9 252 24
系统在原点是大范围渐近稳定的
【解法二】 （应用P154第4条）
1 2 1 1 2 3 A A 2 3 3 6 1 3
主要知识点:
1、标量函数的性质; 2、二次型标量函数； 3、希尔维斯特判据； 4、对李雅普诺夫函数的理解； 5、李雅普诺夫稳定性判据。
§4—4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
主要知识点: 1、线性定常连续系统渐近稳定判据； 2、线性定常离散时间系统渐近稳定判据；
【习题4－1 】判断下列二次型函数的符号性质
4 0 1 1 0 2 2 k 4
平衡状态渐近稳定时k的取值范围是
42 2 2 0 2 (k 4)
2k 0
【习题4－9 】设非线性系统状态方程为
x1 x2
x2 x13 x2
试用克拉索夫斯基确定系统原点的稳定性。
【解】
f1 x J ( x) 1 f 2 x1
AT A 0
系统在原点是大范围渐近稳定的
【习题4－6 】设非线性系统的状态方程为
x1 x2
x2 a(1 x2 ) 2 x2 x1
试确定其平衡状态的稳定性 【解】系统的平衡点为原点
a0
xe 0 2 2 取李雅普诺夫函数为: V ( x) x1 x2 V ( x) 2 x1 x1 2 x2 x2
G T PG P Q 0 0 0 P11 1 0 k / 2 P 12 0 1 0 P13 P12 P22 P23 P13 0 1 0 P 11 P23 0 0 1 P12 P33 0 k / 2 0 P 13 P12 P22 P23 P13 1 0 0 P23 0 0 0 0 0 0 P33
【习题4－3 】以李雅普诺夫第二方法确定下列系统原点的稳定性
1 1 （） x 1 x 2 3 【解】 P 1 0 取 Q 令 P 11 0 1 12 P AT P PA Q
1 2 P 11 1 3 P 12 P P 12 11 P P22 12
k 0
试确定在其平衡状态渐近稳定时k的取值范围。 【解】系统的平衡点为原点 xe (k ) 0
0 0 0
P 12 P22 P23
取
令
P 13 P23 P33
V ( x) xT Qx x12 显然， V ( x) 0 的条件是 x1 0 由状态方程可推知 x2 0 x3 0 故可选Q为半正定
(1)
x1
1 1 0
1 1 x1 1 x2 x3 1 3 1 / 2 x2 1 1 / 2 11 x3 1 1 2 20 1 3
由希尔维斯 特判据可知 是负定的
1 1 1 71 3 1 3 1/ 2 0 4 1 1 / 2 11
1 0 1 4 2
0
P>0,系统在原点是大范围渐近稳定的 【解法二】（应用P154第4条）
1 1 1 1 2 0 A A 1 1 0 2 1 1
T
2 0 1 2 0 2 40 0 2
(2)
2 2 Q( x) x12 4 x2 x3 2 x1 x2 6 x2 x3 2 x1 x3
1 x1 x2 x3 1 1 1 1 1 0 2 1
1 1 x1 4 3 x2 3 1 x3 1 30 4
T
2 3 1 2 0 2 18 9 9 0 3 6
AT A 0
系统在原点是大范围渐近稳定的
1 1 （2） x x 1 1 P 1 0 11 【解】 取 Q 令 P P 0 1 12 T A P PA Q
f1 x2 0 f 2 3x12 x2
1 1
因：主对角线上有恒为零的元素，对于任意的正定 实对称矩阵P，
Q( x) [ J T ( x) P PJ ( x)]
不可能是正定的，故系统的平衡状态不可能是渐近稳定的。
P11 1
P12 P13 P23 0
4 P22 P33 2 k 4
解得：
P 11 P P 12 P 13
P 12 P22 P23
P 1 13 0 P23 P33 0
0 4 2 k 4 0
0 0 4 2 k 4
试确定其平衡状态的稳定性 【解】系统的平衡点为原点 xe (k ) 0
取
1 Q 0 0
0 1 0
0 0 1
令
P 11 P P 12 P 13
P 12 P22 P23
P12 P22 P23
P 13 P23 P33
P13 1 0 0 P23 0 1 0 0 0 1 P33