中考数学第五章 相交线与平行线知识点及练习题及解析

中考数学第五章 相交线与平行线知识点及练习题及解析
一、选择题
1．如图，已知AB ∥CD ，AD 平分∠BAE ，∠D ＝40°，则∠DAE 的度数是（ ）
A ．20°
B ．40°
C ．60°
D ．80°
2．如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是（ ）
A ．14°
B ．15°
C ．16°
D ．17°
3．如图，AB ∥CD ，∠1=120°，则∠2＝（ ）
A ．50°
B ．70°
C ．120°
D ．130° 4．如图，//,2,2,AB CD FEN BEN FGH CGH ∠=∠∠=∠则F ∠与H ∠的数量关系是
( )
A ．90F H ︒∠+∠=
B ．2H F ∠=∠
C ．2180H F ︒∠-∠=
D ．3180H F ︒∠-∠=
5．如图所示，若∠1＝∠2＝45°，∠3＝70°，则∠4等于（ ）
A ．70°
B ．45°
C ．110°
D ．135°
6．下列说法不正确的是（ ）
A ．过任意一点可作已知直线的一条平行线
B ．在同一平面内两条不相交的直线是平行线
C ．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直
D ．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
7．下列说法中正确的是（ ）
A ．两条射线组成的图形叫做角
B ．小于平角的角可分为锐角和钝角两类
C ．射线就是直线
D ．两点之间的所有连线中，线段最短
8．下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ）
A ．若a ＝b ，则a 2＝b 2
B ．同位角相等
C ．两边和一角对应相等的两个三角形全等
D ．等腰三角形两底角不相等 9．如图，将ABC 沿BC 的方向平移1cm 得到DEF ，若ABC 的周长为6cm ，则四
边形ABFD 的周长为（ ）
A ．6cm
B ．8cm
C ．10cm
D ．12cm
10．如图，//AB EF ，90C ∠=︒，则α∠，β∠，γ∠之间的关系是（ ）
A ．βαγ∠=∠+∠
B ．180αβγ∠+∠+∠=︒
C ．90αβγ∠+∠-∠=︒
D ．90βγα∠+∠-∠=︒
二、填空题
11．如图，已知AB ∥DE ，∠ABC ＝76°，∠CDE ＝150°，则∠BCD 的度数为__°．
12．如图，已知AD //BC ，BD 平分∠ABC ，∠A ＝112°，且BD ⊥CD ，则∠ADC ＝_____．
13．一副三角尺按如图所示叠放在一起，其中点,B D 重合，若固定三角形AOB ，将三角形ACD 绕点A 顺时针旋转一周，共有 _________次 出现三角形ACD 的一边与三角形AOB 的某一边平行．
14．如图，∠AEM ＝∠DFN ＝a ，∠EMN ＝∠MNF ＝b ，∠PEM ＝12
∠AEM ，∠MNP ＝12
∠FNP ，∠BEP ，∠NFD 的角平分线交于点I ，若∠I ＝∠P ，则a 和b 的数量关系为_____（用含a 的式子表示b ）．
15．如图，已知AB CD ∥，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作：
第一次操作，分别作ABE ∠和DCE ∠的平分线，交点为1E ，
第二次操作，分别作1ABE ∠和1DCE ∠的平分线，交点为2E ，
第三次操作，分别作2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ，
…
第n 次操作，分别作1n ABE -∠和1n DCE -∠的平分线，交点为n E ．
若1n E ∠=度，那BEC ∠等于__________度．
16．如图，AB ∥CD, AC ∥BD, CE 平分∠ACD ，交BD 于点E ，点F 在CD 的延长线上，且∠BEF=∠CEF ，若∠DEF=∠EDF ，则∠A 的度数为_____︒.
17．如图，将一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使顶点C ，D 分别落在点C′、D′处，C′E 交AF 于点G ，若∠CEF=64°，则∠GFD′=_____________.
18．如图，把直角梯形ABCD 沿AD 方向平移到梯形EFGH ，28HG cm =，5MG cm =，4MC cm =，则阴影部分的面积是___
19．如图，直线a ∥b ∥c ，直角∠BAC 的顶点A 在直线b 上，两边分别与直线a ，c 相交于点B ，C ，则∠1＋∠2的度数是___________．
20．如图,AC ∥BD,AE 平分∠BAC 交BD 于点E,若∠1=62°，则∠2=______.
三、解答题
21．已知直线//EF MN ，点,A B 分别为EF ， MN 上的点．
（1）如图1，若120FAC ACB ∠=∠=︒，12CAD FAC ∠=∠， 12CBD CBN ∠=∠，求CBN ∠与ADB ∠的度数； （2）如图2，若120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=
∠， 13
CBD CBN ∠=∠，则ADB =∠_________︒； （3）若把（2）中“120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=
∠， 13CBD CBN ∠=∠”改为“FAC ACB m ∠=∠=︒，1CAD FAC n ∠=∠， 1CBD CBN n
∠=∠”，则ADB =∠_________︒．（用含,m n 的式子表示）
22．对于平面内的∠M 和∠N ，若存在一个常数k ＞0，使得∠M ＋k ∠N ＝360°，则称∠N 为∠M 的k 系补周角．如若∠M ＝90°，∠N ＝45°，则∠N 为∠M 的6系补周角．
（1）若∠H ＝120°，则∠H 的4系补周角的度数为 ；
（2）在平面内AB ∥CD ，点E 是平面内一点，连接BE ，DE ．
①如图1，∠D ＝60°，若∠B 是∠E 的3系补周角，求∠B 的度数；
②如图2，∠ABE 和∠CDE 均为钝角，点F 在点E 的右侧，且满足∠ABF =n ∠ABE ，
∠CDF =n ∠CDE （其中n 为常数且n ＞1），点P 是∠ABE 角平分线BG 上的一个动点，在P
点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
23．如图，直线MN∥GH，直线l1分别交直线MN、GH于A、B两点，直线l2分别交直线MN、GH于C、D两点，且直线l1、l2交于点E，点P是直线l2上不同于C、D、E点的动点．
（1）如图①，当点P在线段CE上时，请直写出∠NAP、∠HBP、∠APB之间的数量关系：；
（2）如图②，当点P在线段DE上时，（1）中的∠NAP、∠HBP、∠APB之间的数量关系还成立吗？如果成立，请说明成立的理由；如果不成立，请写出这三个角之间的数量关系，并说明理由．
（3）如果点P在直线l2上且在C、D两点外侧运动时，其他条件不变，请直接写出
∠NAP、∠HBP、∠APB之间的数量关系．
24．如图，AB∥CD．
（1）如图1，∠A、∠E、∠C的数量关系为．
（2）如图2，若∠A＝50°，∠F＝115°，求∠C﹣∠E的度数；
（3）如图3，∠E＝90°，AG，FG分别平分∠BAE，∠CFE，若GD∥FC，试探究∠AGF与∠GDC的数量关系，并说明理由．
25．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F．
(1)如图①，当AE ⊥BC 时，写出图中所有与∠B 相等的角： ；所有与∠C 相等的角： ．
(2)若∠C －∠B ＝50°，∠BAD ＝x °(0＜x ≤45) ．
① 求∠B 的度数；
②是否存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．若存在，并求x 的值；若不存在，请说明理由．
26．点C ，B 分别在直线MN ，PQ 上，点A 在直线MN ，PQ 之间，//MN PQ ． （1）如图1，求证：A MCA PBA ∠=∠+∠；
（2）如图2，过点C 作//CD AB ，点E 在PQ 上，ECM ACD ∠=∠，求证：A ECN ∠=∠；
（3）在（2）的条件下，如图3，过点B 作PQ 的垂线交CE 于点F ，ABF ∠的平分线交
AC 于点G ，若DCE ACE ∠=∠，32
CFB CGB ∠=∠，求A ∠的度数．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质得出∠DAB ＝∠D ＝40°,再由角平分线即可得解．
【详解】
解：∵AB ∥CD ，
∴∠DAB ＝∠D ＝40°（两直线平行，内错角相等），
∵AD 平分∠BAE ，
∴∠DAE＝∠DAB＝40°，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的性质和角平分线性质，关键是求出∠DAE的度数，题目比较好，难度适中．
2．C
解析：C
【分析】
依据∠ABC=60°，∠2=44°，即可得到∠EBC=16°，再根据BE∥CD，即可得出
∠1=∠EBC=16°．
【详解】
如图，
∵∠ABC=60°，∠2=44°，
∴∠EBC=16°，
∵BE∥CD，
∴∠1=∠EBC=16°，
故选C．
【点睛】
考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
3．C
解析：C
【分析】
由平行线性质和对顶角相等可以得到解答．
【详解】
解：如图，由对顶角相等可以得到∠3＝∠1=120°
又AB∥CD，
∴∠2＝∠3=120°．
故选C ．
【点睛】
本题考查平行线和对顶角的综合应用，由题意发现角的相等关系是解题关键．
4．D
解析：D
【分析】
先设角，利用平行线的性质表示出待求角，再利用整体思想即可求解．
【详解】
设,NEB HGC αβ∠=∠=
则2,2FEN FGH αβ∠=∠=
∵//AB CD
∴H AEH HGC ∠=∠+∠
NEB HGC =∠+∠
αβ=+
F FEB FGD ∠=∠-∠
()180FEB FGC =∠-︒-∠
()31803αβ=-︒-
()3180αβ=+-︒
∴F ∠3180H =∠-︒
3180H F ∴∠-∠=︒
故选：D ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质，注意整体思想的运用．
5．C
解析：C
【分析】
根据对顶角的性质可得∠1＝∠5，再由等量代换得∠2＝∠5，即可得到到a ∥b ，利用两直线平行同旁内角互补可得∠3＋∠4=180°，最后根据∠3的度数即可求出∠4的度数．
【详解】
解：∵∠1与∠5是对顶角，
∴∠1＝∠2＝∠5＝45°，
∴a∥b，
∴∠3+∠6＝180°，
∵∠3＝70°，
∴∠4=∠6＝110°．
故答案为C．
【点睛】
本题考查了对顶角的性质、平行线的性质及判定，其中掌握平行线的性质和判定是解答本题的关键．
6．A
解析：A
【解析】试题分析：平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A不正确；
在同一平面内两条不相交的直线是平行线，这是平行线的概念，故B正确；
在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直，故C正确；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故D正确；
故选：A.
7．D
解析：D
【解析】根据真假命题的概念，可知：
A、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，选项错误；
B、小于平角的角可分为锐角、钝角，还应包含直角，选项错误．
C、射线是直线的一部分，选项错误；
D、两点之间的所有连线中，线段最短，选项正确；
故选：D．
8．C
解析：C
【分析】
根据互为逆命题的关系，将四个选项的题设和结论互换，逐一验证，A是假命题，B是假命题，C是真命题，D是假命题.故答案为C.
【详解】
根据互为逆命题的关系，题设和结论互换，可知：
A 选项中，若a=b ，则a 2＝b 2的逆命题为：若a 2＝b 2，则a=b ，是假命题；
B 选项中，同位角相等的逆命题为：相等的角是同位角，是假命题；
C 选项中，两边和一角对应相等的两个三角形全等的逆命题是：全等三角形的对应边相等，对应角相等，是真命题；
D 选项中，等腰三角形的两底角不相等的逆命题为：两个角不相等的三角形是等腰三角形，是假命题.
故选C.
【点睛】
此题主要考查互为逆命题的关系，三角形的性质定理，熟练掌握即可得解.
9．B
解析：B
【分析】
先根据平移的性质得出AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC ，再根据四边形ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF 即可得出结论．
【详解】
∵将周长为6的△ABC 沿边BC 向右平移1个单位得到△DEF ，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC ，
又∵AB+BC+AC=6，
∴四边形ABFD 的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=8．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同是解答此题的关键．
10．C
解析：C
【分析】
分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，由平行线的性质可得到∠α+∠β=∠C+∠γ，可求得答案．
【详解】
如图，分别过C 、D 作AB 的平行线CM 和DN ，
∵AB//EF ，
∴AB//CM //DN //EF ，
∴αBCM ∠∠=，MCD NDC ∠∠=，NDE γ∠∠=，
∴αβBCM CDN NDE BCM MCD γ∠∠∠∠∠∠∠∠+=++=++，
又∵BC CD ⊥，
∴BCD 90∠=，
∴αβ90γ∠∠∠+=+，
即αβγ90∠∠∠+-=，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a//b ，b//c ⇒a//c ．
二、填空题
11．46
【分析】
过点C 作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥D E ，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°，由等式性质得到∠
解析：46
【分析】
过点C 作CF ∥AB ，根据平行线的传递性得到CF ∥DE ，根据平行线的性质得到∠ABC ＝∠BCF ，∠CDE +∠DCF ＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF ＝76°，由等式性质得到∠DCF ＝30°，于是得到结论．
【详解】
解：过点C 作CF ∥AB ，
∵AB ∥DE ，
∴AB ∥DE ∥CF ，
∴∠ABC ＝∠BCF ，∠CDE +∠DCF ＝180°，
∵∠ABC ＝76°，∠CDE ＝150°，
∴∠BCF ＝76°，∠DCF ＝30°，
∴∠BCD ＝46°，
故答案为：46．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系．12．124°
【分析】
先由平行线的性质求得∠ABC，然后根据角平分线的定义求得∠DBC，然后再根据平行线的性质求得∠ADB，最后结合BD⊥CD即可求得∠ADC．
【详解】
解：∵AD//BC
∴∠AB
解析：124°
【分析】
先由平行线的性质求得∠ABC，然后根据角平分线的定义求得∠DBC，然后再根据平行线的性质求得∠ADB，最后结合BD⊥CD即可求得∠ADC．
【详解】
解：∵AD//BC
∴∠ABC=180°-∠A=180°-112°=68°，
∵BD平分∠ABC，
∠ABC=34°
∴∠DBC=1
2
∵AD//BC
∴∠ADB=∠DBC=34°
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC=90°+34°=124°．
故答案为124°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、垂直的性质，其中掌握平行线的性质是解答本题的关键．
13．【分析】
要分类讨论，不要漏掉任何一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系，再计算．
【详解】
解：分8种情况讨论：
（1）如图1，AD边与OB边平行时，∠BAD＝45°；
（2）如图2，
解析：8
【分析】
要分类讨论，不要漏掉任何一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系，再计
算．
【详解】
解：分8种情况讨论：
（1）如图1，AD边与OB边平行时，∠BAD＝45°；
（2）如图2，当AC边与OB平行时，∠BAD＝90°+45°＝135°；
（3）如图3，DC边与AB边平行时，∠BAD＝60°+90°＝150°，
（4）如图4，DC边与OB边平行时，∠BAD＝135°+30°＝165°，
（5）如图5，DC边与OB边平行时，∠BAD＝45°﹣30°＝15°；
（6）如图6，DC边与AO边平行时，∠BAD＝15°+90°＝105°
（7）如图7，DC边与AB边平行时，∠BAD＝30°，
（8）如图8，DC边与AO边平行时，∠BAD＝30°+45°＝75°；
综上所述：∠BAD的所有可能的值为：15°，30°，45°，75°，105°，135°，150°，165°．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了平行线的性质及判定，画出所有符合题意的示意图是解决本题的关键．
14．．
【分析】
分别过点P 、I 作ME∥PH，AB∥GI，设∠AME=2x，∠PNF=2y，知∠PEM=x，∠MNP=y，由PH∥ME 知∠EPH=x，由EM∥FN 知PH∥FN，据此得∠HPN=2y，∠E 解析：81209a b =
-︒． 【分析】
分别过点P 、I 作ME ∥PH ，AB ∥GI ，设∠AME=2x ，∠PNF=2y ，知∠PEM=x ，∠MNP=y ，由PH ∥ME 知∠EPH=x ，由EM ∥FN 知PH ∥FN ，据此得∠HPN=2y ，∠EPN=x+2y ，同理知3902
EIF x x ∠︒-
+＝，根据∠EPN=∠EIF 可得答案． 【详解】 分别过点P 、I 作ME ∥PH ，AB ∥GI ，
设∠AME ＝2x ，∠PNF ＝2y ，则∠PEM ＝x ，∠MNP ＝y ，
∴∠DFN ＝2x ，
∵PH ∥ME ，
∴∠EPH＝x，
∵EM∥FN，
∴PH∥FN，
∴∠HPN＝2y，∠EPN＝x+2y，
同理，
3
90
2
EIF x x ∠︒-+
＝，
∵∠EPN＝∠EIF，
∴
3
90
2
x x
︒-+＝x+2y，
∴33
90
42
b
︒-
a＝，
∴
9
135
8
b a =︒-，
∴
8
120
9
b-︒a＝，
故答案为：
8
120
9
b-︒a＝．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．15．【分析】
先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
解析：2n
【分析】
先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出
∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为
E1，则可得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1
1
2
=∠ABE
1
2
+∠DCE
1
2
=∠BEC；同理可得
∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2
1
2
=∠ABE1
1
2
+∠DCE1
1
2
=∠CE1B
1
4
=∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2
的平分线，交点为E3，得出∠BE3C
1
8
=∠BEC；…据此得到规律∠E n
1
2n
=∠BEC，最后求得
∠BEC的度数．
【详解】
如图1，过E作EF∥AB．∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2．
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；
如图2．
∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1
1
2
=∠ABE
1
2
+∠DCE
1
2
=∠BEC．
∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2，
∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2
1
2
=∠ABE1
1
2
+∠DCE1
1
2
=∠CE1B
1
4
=∠BEC；
∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，
∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3
1
2
=∠ABE2
1
2
+∠DCE2
1
2
=∠CE2B
1
8
=∠BEC；
…
以此类推，∠E n
1
2n
=∠BEC，
∴当∠E n=1度时，∠BEC等于2n度．
故答案为：2n．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
16．108
【解析】
分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，
∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED，然后根据题意和三角形的外角的性
解析：108
【解析】
分析：根据平行线的性质，得到∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠A+∠ACD=180°，然后根据角平分线的性质，得到∠ACE=∠ECD=∠CED，然后根据题意和三角形的外角的性质，四边形的内角和求解.
详解：∵CE平分∠ACD
∴∠ACE=∠DCE
∵AB∥CD，AC∥BD,
∴∠A+∠B=180°，∠B=∠BDF，∠ACD+∠A=180°，∠ACE=∠CED ∵∠EDF=∠DEF =∠ECD+∠CED
∴∠CEF=∠FEB=∠CED+∠DEF
设∠B=x，则∠A=180°-x，∠ACE=∠ECD=∠CED=1
2 x，
∴∠EDF=x，∠BEF=3
2
x
∴∠CEB=360°-2×∠BEF=360°-3x
∴∠A+∠B+∠BEC+∠ACE=180°-x+x+360°-3x+1
2
x=360°
解得x=72°
∴∠A=180°-72°=108°.
故答案为108.
点睛：此题主要考查了平行线的性质和三角形的外角的综合应用，关键是利用平行线的性质和三角形的外角确定角之间的关系，有一定的难度.
17．520
【解析】
因为AD∥BC，所以∠CEF=∠AFE=64°，∠DFE=180°-∠CEF=180°-
64°=116°，由折叠得∠EFD=∠EFD′，所以∠EFD′=116°，所以∠GFD′=∠解析：520
【解析】
因为AD∥BC，所以∠CEF=∠AFE=64°，∠DFE=180°-∠CEF=180°-64°=116°，由折叠得∠EFD=∠EFD′，所以∠EFD′=116°，所以∠GFD′=∠EFD′-∠AFE=116°-64°=52°，故答案为52°.
18．130cm2．
【分析】
根据平移的性质可知梯形EFGH≌梯形ABCD，那么GH=CD，BC=FG，观察可知梯形EFMD是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD，再根据梯形的面积计
解析：130cm2．
【分析】
根据平移的性质可知梯形EFGH≌梯形ABCD，那么GH=CD，BC=FG，观察可知梯形EFMD 是两个梯形的公共部分，那么阴影部分的面积就等于梯形MGHD，再根据梯形的面积计算
公式计算即可．
【详解】
解：∵直角梯形EFGH是由直角梯形ABCD平移得到的，∴梯形EFGH≌梯形ABCD，
∴GH=CD，BC=FG，
∵梯形EFMD是两个梯形的公共部分，
∴S梯形ABCD-S梯形EFMD=S梯形EFGH-S梯形EFMD，
∴S阴影=S梯形MGHD=1
2
（DM+GH）•GM=
1
2
（28-4+28）×5=130（cm2）．
故答案是130cm2．
【点睛】
本题考查了图形的平移，解题的关键是知道平移前后的两个图形全等．
19．270°
【分析】
根据题目条件可知∠1+∠3=∠2+∠4=180°，再结合∠BAC是直角即可得出结果．
【详解】
解：如图所示，
∵a∥b，
∴∠1+∠3=180°，则∠3=180°-∠1，
∵
解析：270°
【分析】
根据题目条件可知∠1+∠3=∠2+∠4=180°，再结合∠BAC是直角即可得出结果．
【详解】
解：如图所示，
∵a∥b，
∴∠1+∠3=180°，则∠3=180°-∠1，
∵b∥c
∴∠2+∠4=180°，则∠4=180°-∠2，
∵∠BAC是直角，
∴∠3+∠4=180°-∠1+180°-∠2，
∴90°=360°-（∠1+∠2），
∴∠1+∠2=270°．
故答案为：270°
【点睛】
本题主要考查的是平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
20．121°
【分析】
由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B 的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC 的度数；又由AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，即可求得∠BAE 的度数，根据三角形外角的性质即
解析：121°
【分析】
由AC ∥BD ，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B 的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC 的度数；又由AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，即可求得∠BAE 的度数，根据三角形外角的性质即可求得∠2的度数．
【详解】
∵AC ∥BD ，
∴∠B=∠1=64°，
∴∠BAC=180°-∠1=180°-62°=118°，
∵AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，
∴∠BAE=12
∠BAC=59°， ∴∠2=∠BAE+∠B=62°+59°=121°．
故答案为121°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义以及三角形外角的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
三、解答题
21．（1）120º，120º；（2）160；（3）
()1360n m n -⋅- 【分析】
（1）过点,C D 作CG EF ，DH EF ，根据 120FAC ACB ∠=∠=︒，平行线的性质和周角可求出120GCB ∠=︒，则 120CBN GCB ∠=∠=︒，再根据
12CAD FAC ∠=∠， 12CBD CBN ∠=∠，可得 1602
CBD CBN ∠=∠=︒， 1602CAD FAC ∠=∠=︒，可求出 60ADH FAD ∠=∠=︒，60BDH DBN ∠=∠=︒，根据 ADB ADH BDH ∠=∠+∠即可得到结果；
（2）同理（1）的求法，根据120FAC ACB ∠=∠=︒，13CAD FAC ∠=∠， 13
CBD CBN ∠=∠求解即可； （3）同理（1）的求法，根据FAC ACB m ∠=∠=︒，1CAD FAC n
∠=∠， 1CBD CBN n
∠=
∠求解即可； 【详解】 解：（1）如图示，分别过点,C D 作CG
EF ，DH EF ，
∵EF
MN ， ∴EF MN CG DH ，
∴120ACG FAC ∠=∠=︒，
∴360120GCB ACG ACB ∠=︒-∠-∠=︒，
∴120CBN GCB ∠=∠=︒，
∵1602
CBD CBN ∠=∠=︒， 1602CAD FAC ∠=∠=︒ ∴60DBN CBN CBD ∠=∠-∠=︒，
又∵60FAD FAC CAD ∠=∠-∠=︒，
∴60ADH FAD ∠=∠=︒，60BDH DBN ∠=∠=︒，
∴120ADB ADH BDH ∠=∠+∠=︒．
（2）如图示，分别过点,C D 作CG EF ，DH EF ，
∵EF MN ，∴EF MN CG DH ，
∴120ACG FAC ∠=∠=︒，
∴360120GCB ACG ACB ∠=︒-∠-∠=︒，
∴120CBN GCB ∠=∠=︒， ∵1403CBD CBN ∠=∠=︒， 1403
CAD FAC ∠=∠=︒ ∴80DBN CBN CBD ∠=∠-∠=︒，
又∵80FAD FAC CAD ∠=∠-∠=︒，
∴80ADH FAD ∠=∠=︒，80BDH DBN ∠=∠=︒，
∴160ADB ADH BDH ∠=∠+∠=︒．
故答案为：160；
（3）同理（1）的求法
∵EF MN ，∴EF MN CG DH ，
∴ACG FAC m ∠=∠=︒，
∴3603602GCB ACG ACB m ∠=︒-∠-∠=︒-︒，
∴3602CBN GCB m ∠=∠=︒-︒， ∵13602m CBD CBN n n ︒-︒∠=∠=， 1m CAD FAC n n
︒∠=∠= ∴()()360213602=3602m n m DBN CB D m n N n CB ︒-︒-︒-︒-
︒∠-∠=-=∠︒， 又∵()1n m FAD FAC CAD m m n n -︒∠=∠-∠=︒-
=︒， ∴()
1n ADH FAD m n -∠=∠=︒， ()13602n BDH DBN m n
-∠=∠=︒-︒， ∴()()()1113602=360n n n ADB ADH BDH m m m n n n --∠=∠+∠=
-︒︒-︒︒-+︒． 故答案为：
()1360n m n
-⋅-． 【点睛】 本题主要考查了平行线的性质和角度的运算，熟悉相关性质是解题的关键．
22．（1）60°；（2）①75°，②当BG 上的动点P 为∠CDG 的角平分线与BG 的交点时，满足∠BPD 是∠F 的k 系补周角，此时k=2n ，推导见解析.
【分析】
（1）直接利用k 系补周角的定义列方程求解即可．
（2）①依据k 系补周角的定义及平行线的性质，建立∠B ED 、∠B 、∠D 的关系式求解即可.
②结合本题的构图特点，利用平行线的性质得到：∠ABF+∠CDF+∠F=360°
,结合∠ABF =n ∠ABE ，∠CDF =n ∠CDE （其中n 为常数且n ＞1），又由于点P 是∠ABE 角平分线BG 上的一个动点，通过构造相同特殊条件猜想出一个满足条件的P 点，再通过推理论证得到k 的值（含n 的表达式），即说明点P 即为所求.
【详解】
解：（1）设∠H 的4系补周角的度数为x ，
则有120°+4x=360°，
解得：x=60°
∴∠H 的4系补周角的度数为60°；
（2）①如图，
过点E 作EF//AB ，
∵AB//EF,
∴EF//CD ，
∴∠B=∠1,∠D=∠2，
∴∠1+∠2=∠B+∠D ，
即∠B ED=∠B+∠D ，
∵∠BED+3∠B=360°，∠D ＝60，
∴360360B B ︒-∠=∠+︒，
解得：∠B=75°，
∴∠B=75°；
②预备知识，基本构图：
如图，AB//CD//EF,则
∠ABE+∠BEG=180°，
∠DCE+∠GEC=180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠DCE+∠GEC=360°，
即∠ABE+∠DCG+∠BEC=360°
如图：
当BG 上的动点P 为∠CDG 的角平分线与BG 的交点时，满足∠BPD 是∠F 的k 系补周角，此时k=2n.理由如下：
若∠BPD 是∠F 的k 系补周角，则
∠F+k ∠BPD=360°，
∴k ∠BPD=360°-∠F
又由基本构图知：
∠ABF+∠CDF=360°
-∠F ， ∴k ∠BPD=∠ABF+∠CDF ，
又∵∠ABF =n ∠ABE ，∠CDF =n ∠CDE ，
∴k ∠BPD= n ∠ABE+ n ∠CDE ，
∵∠BPD=∠PHD+∠PDH,
∵AB//CD ，PG 平分∠ABE ，PD 平分∠CDE ，
∴∠PHD=∠ABH=
12ABE ∠ ,∠PDH=12CDE ∠， ∴2
k (ABE ∠+CDE ∠)=n(∠ABE+∠CDE)， ∴k=2n.
【点睛】
本题主要考查平行线的基本性质及基本构图的应用.题型较新颖，发散性较强，理解题意，熟练掌握平行线的性质及其基本构图是解题的关键.
23．（1）∠APB ＝∠NAP +∠HBP ；（2）见解析；（3）∠HBP ＝∠NAP +∠APB
【分析】
（1）过P 点作PQ ∥GH ，根据平行线的性质即可求解；
（2）过P 点作PQ ∥GH ，根据平行线的性质即可求解；
（3）根据平行线的性质和三角形外角的性质即可求解.
【详解】
解：（1）如图①，过P 点作PQ ∥GH ，
∵MN ∥GH ，
∴MN ∥PQ ∥GH ，
∴∠APQ ＝∠NAP ，∠BPQ ＝∠HBP ，
∵∠APB ＝∠APQ +∠BPQ ，
∴∠APB ＝∠NAP +∠HBP ，
故答案为：∠APB ＝∠NAP+∠HBP ；
（2）如图②，过P点作PQ∥GH，
∵MN∥GH，
∴MN∥PQ∥GH，
∴∠APQ+∠NAP＝180°，∠BPQ+∠HBP＝180°，
∵∠APB＝∠APQ+∠BPQ，
∴∠APB＝（180°﹣∠NAP）+（180°﹣∠HBP）＝360°﹣（∠NAP+∠HBP）；
（3）如备用图，
∵MN∥GH，
∴∠PEN＝∠HBP，
∵∠PEN＝∠NAP+∠APB，
∴∠HBP＝∠NAP+∠APB.
故答案为：∠HBP＝∠NAP+∠APB.
【点睛】
此题考查了平行公理的推论：平行于同一条直线的两直线平行，以及平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补，熟记定理是解题的关键.
24．（1）∠AEC＝∠C+∠A；（2）∠C﹣∠E＝15°；（3）2∠AGF+∠GDC＝90°．理由见解析．
【分析】
（1）过点E作EF∥AB，知AB∥CD∥EF，据此得∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，根据
∠AEC=∠AEF+∠CEF可得答案；
（2）分别过点E、F作FM∥AB，EN∥AB，设∠NEF=x=∠EFM，知∠AEF=x+50°，
∠MFC=115°-x，据此得∠C=180°-（115°-x）=x+65°，进一步计算可得答案；
（3）分别过点E、F、G作FM∥AB，EN∥AB，GH∥AB，设∠GAE=x=∠GAB，∠GFM=y，∠MPC=z，知∠GPE=y+z，从而得2x+2y+z=90°，∠C=180°-z，根据GD∥FC得∠D=z，由GH∥AB，AB∥CD知∠AGF=x+y，继而代入可得答案．
【详解】
（1）∠AEC＝∠C+∠A，
如图1，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A＝∠AEF，∠C＝∠CEF，
则∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠A+∠C，
故答案为：∠AEC＝∠C+∠A；
（2）如图2，分别过点E、F作FM∥AB，EN∥AB，
设∠NEF＝x＝∠EFM，则∠AEF＝x+50°，∠MFC＝115°﹣x，
∴∠C＝180°﹣（115°﹣x）＝x+65°，
∴∠C﹣∠E＝x+65°﹣（x+50°）＝15°；
（3）如图3，分别过点E、F、G作FM∥AB，EN∥AB，GH∥AB，
设∠GAE＝x＝∠GAB，∠GFM＝y，∠MPC＝z，
则∠GPE＝y+z，
∴2x+2y+z＝90°，∠C＝180°﹣z，
∵GD∥FC，
∴∠D＝z，
∵GH∥AB，AB∥CD，
∴∠AGF＝x+y，
∴2∠AGF+∠GDC＝90°．
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行内错角相等的性质．
25．(1)∠E 、∠CAF ；∠CDE 、∠BAF ； (2)①20°；②30
【分析】
（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B 相等的角；由等角代换即可得与∠C 相等的角；
（2）①由三角形内角和定理可得90B C ∠+∠=︒，再由50C B ∠∠︒-=根据角的和差计算即可得∠C 的度数，进而得∠B 的度数．
②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x 的代数式表示出∠FDE 、∠DFE 的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x 值即可．
【详解】
（1）由翻折的性质可得：∠E ＝∠B ，
∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，
∴∠DFE ＝90°，
∴180°－∠BAC ＝180°－∠DFE ＝90°，
即：∠B ＋∠C ＝∠E ＋∠FDE ＝90°，
∴∠C ＝∠FDE ，
∴AC ∥DE ，
∴∠CAF ＝∠E ，
∴∠CAF ＝∠E ＝∠B
故与∠B 相等的角有∠CAF 和∠E ；
∵∠BAC ＝90°，AE ⊥BC ，
∴∠BAF ＋∠CAF ＝90°, ∠CFA ＝180°－（∠CAF ＋∠C ）＝90°
∴∠BAF ＋∠CAF ＝∠CAF ＋∠C ＝90°
∴∠BAF ＝∠C
又AC ∥DE ，
∴∠C ＝∠CDE ，
∴故与∠C 相等的角有∠CDE 、∠BAF ；
（2）①∵90BAC ∠=︒
∴90B C ∠+∠=︒
又∵50C B ∠∠︒-=，
∴∠C ＝70°，∠B ＝20°;
②∵∠BAD ＝x °, ∠B ＝20°则160ADB x ∠︒︒=-,20ADF x ∠︒︒=+,
由翻折可知：∵160ADE ADB x ∠∠︒︒==-, 20E B ∠∠︒==,
∴1402FDE x ∠︒︒=-, 202DFE x ∠︒︒=+,
当∠FDE ＝∠DFE 时，1402202x x ︒︒︒︒-=+, 解得：30x ︒︒=；
当∠FDE ＝∠E 时，140220x ︒︒︒-=，解得：60x ︒︒=（因为0＜x ≤45，故舍去）； 当∠DFE ＝∠E 时，20220x ︒︒︒+=，解得：0x ︒＝（因为0＜x ≤45，故舍去）； 综上所述，存在这样的x 的值，使得△DEF 中有两个角相等．且30x =．
本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．
26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠A=72°．
【分析】
（1）根据题意过点A 作平行线AD//MN ，证出三条直线互相平行并由平行得出与ACM ∠和ABP ∠相等的角即可得出结论；
（2）由题意利用垂直线定义以及三角形内角和为180°进行分析即可证得A ECN ∠=∠； （3）根据题意设MCA ACE ECD x ∠=∠=∠=，由（1）列出关系式
2702CFB x ∠=︒-和11352
CGB x ∠=︒-，解出方程进而得出结论． 【详解】
证明：（1）过点A 作平行线AD//MN ，
∵AD//MN ，//MN PQ ,
∴AD//MN//PQ,
∴,MCA DAC PBA DAB ∠=∠∠=∠,
∴A DAC DAB MCA PBA ∠=∠+∠=∠+∠.
（2）∵//CD AB
∴180A ACD ∠+∠=︒
∵180ECM ECN ∠+∠=︒
又ECM ACD ∠=∠
∴A ECN ∠=∠
（3）证得MCA ACE ECD ∠=∠=∠ ABP NCD ∠=∠
设MCA ACE ECD x ∠=∠=∠=
由（1）可知CFB FCN FBQ ∠=∠+∠
列出关系式2702CFB x ∠=︒-
由（1）可知CGB MCG GBP ∠=∠+∠
列出关系式11352CGB x ∠=︒- 312702(135)22
x x -=︒- 解得：54x =︒
结论：72A ∠=︒
【点睛】
本题考查平行线的性质与判定，结合平行线的性质与判定运用数形结合思维分析是解题的关键.。