高中数学人教A版必修5第三章3.1 不等关系与不等式(二) 课件
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其中能使 1 1 成立的有____3____个. ab
三、课堂训练
6. 若、 满足 ,则
2
2
的取值范围是 ( B )
A.
C.
2
2
B. 0 D. 0
2
7.已知a b 0, c d 0,求证:ac bd . ac bd
(7) a b 0, an bn (乘方原理)
(8) a b 0, n N, n 1 n a n b (开方原理)
以上性质有何作用? (6)至(8)条性质应注意什么?
回答下列问题:
(1)如果a>b, c>d, 是否可以推出ac>bd? 举例说明;
(2)如果a>b, c<d, 且c≠0, d≠0, 是否可 以推出 a b ?举例说明. cd
2
2
2
的取值范围.
2
三、课堂训练
4. 若a>b>0 ,则下列不等式总成立的 是 (C)
A. b b 1 a a1
C. a 1 b 1 ba
B. a 1 b 1
a
b
D. 2a b a a 2b b
三、课堂训练
5. 有以下四个条件: (1) b>0>a; (2) 0>a>b; (3) a>0>b; (4) a>b>0.
a d>
bc;
(3)若 a>b,ab≠0,则1a<1b;
(4)若 a>b,c>d,则 ac>bd.
解 (1) acc><0bc⇒1a<1b,但推不出 a>b,故(1)错.
(2) ac>>db>>00⇒ad>bc>0⇒
a d>
bc成立,故(2)对.
(3)错.例如,当 a=1,b=-1 时,不成立.
(4)错.例如,当 a=c=1,b=d=-2 时,不成立.
利用性质(1)如何改写(2)至(8)条性质?
3.以下常用的基本不等式的性质你会证明吗?
(5) a b, c d a c b d
(同向相加性) 以上性质有何作用?应注意什么?
3.以下常用的基本不等式的性质你会证明吗? (6) a b 0, c d 0 ac bd (同向相乘性)
解 (1)c 是正、负或为零未知,因而缺少判断 ac 与 bc 的大小依据,故该命题为假命题.
(2)由 ac2>bc2 知 c≠0,∴c2>0, ∴a>b,故该命题为真命题.
2. 判断下列各命题是否正确,并说明理由:
(1)若ac<bcLeabharlann c>0,则 a>b;
(2)若 a>b>0 且 c>d>0,则
一、问题展示与解析
3.以下常用的基本不等式的性质你会证明吗?
(1) a b b a
(对称性)
(2) a b, b c a c (传递性)
(3) a b a c b c (同加性)
(4) a b, c 0 ac bc ; (同乘性) a b, c 0 ac bc
分析一:作商 分析二:作差 分析三:综合法
2.利用比较法或综合法证明不等式
(3)已知a b c 0,若P b c ,Q a c 则( )
a
b
A.P Q B.P Q C.P Q D.P Q
分析一:作差
分析二:综合法
2.利用比较法或综合法证明不等式
(4)已知a b 0, c d 0,若P b ,Q a ac bd
解法二:因为二次函数 y=f(x)的图象过原点,所以设 f(x)=
ax2 + bx(a≠0) , 所 以 f( - 2) = 4a - 2b. 又 因 为 1≤f( -
1)≤2,3≤f(1)≤4,所以13≤≤aa-+bb≤≤24,. 设存在实数 m,n 使得 4a-2b=m(a+b)+n(a-b),即
二、学生展示
1.理解性质
1. 已知 a、b、c 为实数,判断以下各命题的真假: (1)若 a>b,则 ac<bc; (2)若 ac2>bc2,则 a>b; (3)若 a<b<0,则 a2>ab>b2; (4)若 c>a>b>0,则c-a a>c-b b; (5)若 a>b,1a>b1,则 a>0,b<0.
4a
-
2b
=
(m
+
n)a
+
(m
-
n)b.
所
以
m+n=4, m-n=-2.
解得
m=1, n=3.
所以 4a-2b=(a+b)+3(a-b). 又因为 3≤a+b≤4,3≤3(a-b)≤6,所以 3+3≤4a-2b≤4 +6, 即 6≤f(-2)≤10.
三、课堂训练
三、课堂训练
3. 已知 ,求 ,
则( ) A.P Q B.P Q C.P Q D.P Q
分析一:作差 分析二:综合法
3.求取值范围
(1).如果30<x<42,16<y<24, 求x+y,x-2y及 x 的取值范围.
y
3.求取值范围
(2).二次函数y=f(x)的图像过原点,且
1 f (1) 2,3 f (1) 4,
最后得结论.
2.利用比较法或综合法证明不等式
(1)已知 a b 0, c 0,求证:c c . ab
综合法:将条件通过不等式运算推 出结论的方法。由因导果
函数的单调性:构造函数 y c , x (0,) x
2.利用比较法或综合法证明不等式
(2)已知a 1, M a 1 a和N a a 1, 求证:M N.
2.利用比较法或综合法证明不等式
(1)已知 a b 0, c 0,求证:c c .
作差比较的一般步骤
ab
第一步:作差;
第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,
将“差”化成“平方和”“积”“商”“幂”;
第三步:定号,就是确定是大于 0,等于 0,还是小于 0.(不
确定的要分情况讨论)
3.1 不等关系与不等式(二) ---不等式的性质
【学习目标】
1.理解不等式的性质; 2.会用比较法证明简单不等式的方法,了解综
合法; 3.会利用不等式的性质求代数式的范围。
实数大小和差的符号的关系
如果a>b a-b>0; 如果a<b a-b<0; 如果a=b a-b=0
作用: 1.比较大小; 2.判断差的符号。
8.已知x 1, y 1,求证:x y 1 1 1 xy. xy x y
四、课堂小结
1.不等式性质有何作用?(解不等式、 证明不等式、求范围) 2.证明不等式的方法有哪些? 3.如何求取值范围?
求f(-2)的取值范围.
【正确解答】 解法一:因为二次函数 y=f(x)的图象过原点, 所以设 f(x)=ax2+bx(a≠0).
所以ff-1=1=a+a-b. b, 所以ab==1212[[ff11+-ff--11]],. 因 为 f( - 2) = 4a - 2b = f(1) + 3f( - 1) , 又 1≤f( - 1)≤2,3≤f(1)≤4, 所以 3+3×1≤f(-2)≤4+3×2,即 6≤f(-2)≤10.
三、课堂训练
6. 若、 满足 ,则
2
2
的取值范围是 ( B )
A.
C.
2
2
B. 0 D. 0
2
7.已知a b 0, c d 0,求证:ac bd . ac bd
(7) a b 0, an bn (乘方原理)
(8) a b 0, n N, n 1 n a n b (开方原理)
以上性质有何作用? (6)至(8)条性质应注意什么?
回答下列问题:
(1)如果a>b, c>d, 是否可以推出ac>bd? 举例说明;
(2)如果a>b, c<d, 且c≠0, d≠0, 是否可 以推出 a b ?举例说明. cd
2
2
2
的取值范围.
2
三、课堂训练
4. 若a>b>0 ,则下列不等式总成立的 是 (C)
A. b b 1 a a1
C. a 1 b 1 ba
B. a 1 b 1
a
b
D. 2a b a a 2b b
三、课堂训练
5. 有以下四个条件: (1) b>0>a; (2) 0>a>b; (3) a>0>b; (4) a>b>0.
a d>
bc;
(3)若 a>b,ab≠0,则1a<1b;
(4)若 a>b,c>d,则 ac>bd.
解 (1) acc><0bc⇒1a<1b,但推不出 a>b,故(1)错.
(2) ac>>db>>00⇒ad>bc>0⇒
a d>
bc成立,故(2)对.
(3)错.例如,当 a=1,b=-1 时,不成立.
(4)错.例如,当 a=c=1,b=d=-2 时,不成立.
利用性质(1)如何改写(2)至(8)条性质?
3.以下常用的基本不等式的性质你会证明吗?
(5) a b, c d a c b d
(同向相加性) 以上性质有何作用?应注意什么?
3.以下常用的基本不等式的性质你会证明吗? (6) a b 0, c d 0 ac bd (同向相乘性)
解 (1)c 是正、负或为零未知,因而缺少判断 ac 与 bc 的大小依据,故该命题为假命题.
(2)由 ac2>bc2 知 c≠0,∴c2>0, ∴a>b,故该命题为真命题.
2. 判断下列各命题是否正确,并说明理由:
(1)若ac<bcLeabharlann c>0,则 a>b;
(2)若 a>b>0 且 c>d>0,则
一、问题展示与解析
3.以下常用的基本不等式的性质你会证明吗?
(1) a b b a
(对称性)
(2) a b, b c a c (传递性)
(3) a b a c b c (同加性)
(4) a b, c 0 ac bc ; (同乘性) a b, c 0 ac bc
分析一:作商 分析二:作差 分析三:综合法
2.利用比较法或综合法证明不等式
(3)已知a b c 0,若P b c ,Q a c 则( )
a
b
A.P Q B.P Q C.P Q D.P Q
分析一:作差
分析二:综合法
2.利用比较法或综合法证明不等式
(4)已知a b 0, c d 0,若P b ,Q a ac bd
解法二:因为二次函数 y=f(x)的图象过原点,所以设 f(x)=
ax2 + bx(a≠0) , 所 以 f( - 2) = 4a - 2b. 又 因 为 1≤f( -
1)≤2,3≤f(1)≤4,所以13≤≤aa-+bb≤≤24,. 设存在实数 m,n 使得 4a-2b=m(a+b)+n(a-b),即
二、学生展示
1.理解性质
1. 已知 a、b、c 为实数,判断以下各命题的真假: (1)若 a>b,则 ac<bc; (2)若 ac2>bc2,则 a>b; (3)若 a<b<0,则 a2>ab>b2; (4)若 c>a>b>0,则c-a a>c-b b; (5)若 a>b,1a>b1,则 a>0,b<0.
4a
-
2b
=
(m
+
n)a
+
(m
-
n)b.
所
以
m+n=4, m-n=-2.
解得
m=1, n=3.
所以 4a-2b=(a+b)+3(a-b). 又因为 3≤a+b≤4,3≤3(a-b)≤6,所以 3+3≤4a-2b≤4 +6, 即 6≤f(-2)≤10.
三、课堂训练
三、课堂训练
3. 已知 ,求 ,
则( ) A.P Q B.P Q C.P Q D.P Q
分析一:作差 分析二:综合法
3.求取值范围
(1).如果30<x<42,16<y<24, 求x+y,x-2y及 x 的取值范围.
y
3.求取值范围
(2).二次函数y=f(x)的图像过原点,且
1 f (1) 2,3 f (1) 4,
最后得结论.
2.利用比较法或综合法证明不等式
(1)已知 a b 0, c 0,求证:c c . ab
综合法:将条件通过不等式运算推 出结论的方法。由因导果
函数的单调性:构造函数 y c , x (0,) x
2.利用比较法或综合法证明不等式
(2)已知a 1, M a 1 a和N a a 1, 求证:M N.
2.利用比较法或综合法证明不等式
(1)已知 a b 0, c 0,求证:c c .
作差比较的一般步骤
ab
第一步:作差;
第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,
将“差”化成“平方和”“积”“商”“幂”;
第三步:定号,就是确定是大于 0,等于 0,还是小于 0.(不
确定的要分情况讨论)
3.1 不等关系与不等式(二) ---不等式的性质
【学习目标】
1.理解不等式的性质; 2.会用比较法证明简单不等式的方法,了解综
合法; 3.会利用不等式的性质求代数式的范围。
实数大小和差的符号的关系
如果a>b a-b>0; 如果a<b a-b<0; 如果a=b a-b=0
作用: 1.比较大小; 2.判断差的符号。
8.已知x 1, y 1,求证:x y 1 1 1 xy. xy x y
四、课堂小结
1.不等式性质有何作用?(解不等式、 证明不等式、求范围) 2.证明不等式的方法有哪些? 3.如何求取值范围?
求f(-2)的取值范围.
【正确解答】 解法一:因为二次函数 y=f(x)的图象过原点, 所以设 f(x)=ax2+bx(a≠0).
所以ff-1=1=a+a-b. b, 所以ab==1212[[ff11+-ff--11]],. 因 为 f( - 2) = 4a - 2b = f(1) + 3f( - 1) , 又 1≤f( - 1)≤2,3≤f(1)≤4, 所以 3+3×1≤f(-2)≤4+3×2,即 6≤f(-2)≤10.