等腰三角形的轴对称性(第1课时)(课件)-八年级数学上册精品课堂(苏科版)

(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为_7_2_°__,_7_2_°__或__3_6_°__,1_0_8_°_；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_ _3_0_°_，__3_0_°__ __.
A 5. 在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分
线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，
要证∠ADB＝∠BAC
A
12
由于∠BAC=∠1+∠2， ∠ADB=∠C+∠2.
只要证∠1=∠C
B
D
C
只要找与∠1相等且与
∠C也相等的角.
例题讲解
例1 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，
求证: ∠ADB＝∠BAC．
证明：∵AB＝AC，AD＝BD，
A
12
∴∠B＝∠C，∠B＝∠1（等边对等角） ∴∠C＝∠1. ∵∠ADB是△ADC的外角，
解：若∠A=50°,则∠B=∠C=65°； 已知一个内角，则这个角可能是底角 若∠B=∠C=50°,则∠A=80°. 也可能是顶角，要分两种情况讨论．
探索与思考
活动三 用直尺和圆规作等腰三角形
操作 用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，高AD＝h.
M
A●
a
h
h
B●
●D
●
a
C
N
作法：1．作线段BC＝a．
的角平分线、底边BC上的高线 .
B
D
C
新知归纳
等腰三角形的性质定理2：
(简称“三线合一”)
等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线，底边上的高互相重合.
如图，在△ABC中， ∵AB=AC， ∠1=∠2 (已知)， ∴BD=CD，AD⊥BC (等腰三角形三线合一).
∵AB=AC， BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2，AD⊥BC (等腰三角形三线合一).
C
探索与思考
活动二 探究等腰三角形的性质 猜想2 等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高
互相重合. A
证明：∵△BAD≌ △CAD，
∴BD=CD，∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC
D EF
B
C
新知巩固
1.判断下列语句是否正确. （1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.（ × ）
（2）等腰三角形一角的平分线，一边上的中线，一边上的高 都是它的对称轴 （ × ）
（3）等腰三角形的两角相等.（ × ）
（4）等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.（ √ ）
新知巩固
2. 在△ABC中，AB=AC，点D在BC上.
求证：∠B=∠C．
A
证法1：作顶角的平分线AD，则∠BAD=∠CAD.
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
B
D
C
探索与思考
活动二 探究等腰三角形的性质
猜想1 等腰三角形的两个底角相等.
已知：△ABC 中，AB=AC．
求证：∠B=∠C．
A
证法2：作底边的中线AD，则BD=CD.
∴ Rt△BAD ≌ Rt△CAD (HL). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
B
D
C
新知归纳
等腰三角形的性质定理1：
等腰三角形的两个底角相等
. 符号语言：
(简称“等边对等角”)
A
在△ABC中， ∵AC = AB (已知)，
∴∠B =∠C ( 等边对等角）.
注意： 在同一个三角形中，等边对等角. B
在△ABC中，AB=AC. (1)∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，AD⊥BC； (2)∵AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD；
C (3)∵BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC.
例题讲解 例1 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD， 求证: ∠ADB＝∠BAC．
问方题法31 你利能用用等腰我三们角学形过的的轴知对识称来性证证明明.这两个猜想吗？
证明：如图，在△ABC中，AB=AC，沿∠BAC
A
的平分线AD把△ABD翻折.
∵∠BAD=∠CAD， ∴AB落在射线AC上． ∵AB=AC，
如果AD是高或者角 平分线，你会说明 理由吗？
∴点B与点C重合，
从而△ABD与△ACD重合.
A
如果∠BAD=∠CAD，那么 AD⊥BC ，BD=CD；
如果BD=CD，那么∠_B__A_D__=∠__C_A_D___,
__A__D___⊥__B__C__;
B
D
C
如果AD⊥BC，那么_∠__B__A_D__=_∠__C_A_D____，__B_D__=_C_D__.
新知巩固
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，
A M
E
O
10°
F
H
B
当堂检测
7.如图，在△ABC中，点D在BC上，AD=BD，AB=AC=CD.
求∠BAC的度数. A
B
D
解：设∠B=x°. ∵AD=BD， ∴∠BAD=∠B=x°. ∴∠ADC=∠BAD+∠B=(2x)°. ∵DC=AC， ∴∠DAC=∠ADC=(2x)°. ∵AB=AC， ∴∠C=∠B=x°.
∠B=∠C，∠ADB=∠ALeabharlann C，BD=CD.BD
C
探索与思考
活动二 探究等腰三角形的性质
方法2 利用三角形全等证明.
AD是中线？高？角平分线？
A
如何构造两个全 等的三角形?
B
D
C
探索与思考
活动二 探究等腰三角形的性质
猜想1 等腰三角形的两个底角相等. 先变成符号形式
已知：△ABC 中，AB=AC．
B
D
C ∴∠ADB＝∠C+∠2.
∴∠ADB＝∠1+∠2=∠BAC.
例题讲解
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E、F.
求证：DE=DF. A
方法一：
要证DE=DF
只要证△DBE≌△DCF
已知DE⊥AB, DF⊥AC D是BC的中点
只要证∠B=∠C
E
F
B
D
C
∴ △DBE ≌ △DCF(AAS). ∴ DE=DF .
例题讲解
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E、F.
求证：DE=DF. A
方法二：连接AD.
要证DE=DF
已知DE⊥AB, DF⊥AC 只要证AD平分∠BAC
E
F
B
D
C
已知AB=AC， D是BC的中点
操作 如图，把等腰三角形ABC沿顶角平分线AD折叠，你有什么发现？
A
等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线
（底边上的高、中线）所在的直线是它
的对称轴.
B
D
C
探索与思考
活动二 探究等腰三角形的性质
找出等腰三角形ABC对折后重合的线段和角.
重合的线段 AB=AC BD=CD AD=AD
重合的角 ∠B=∠C ∠ADB=∠ADC ∠BAD=∠CAD
(1)如果∠B＝70°，那么∠C＝_7_0_°_，∠A＝_4_0_°_．
A
(2)如果∠A＝70°，那么∠B＝_5_5_°_，∠C＝ 5_5_°_．
(3)如果有一个角等于120°,
那么∠A＝ _1_2_0_°，∠B＝_3_0_°，∠C ＝_3_0_°． B
D
C
(4)如果有一个角等于50°，那么另两个角等于多少度？
A
12
这“三线”所在 的直线也是等腰 三角形的对称轴
∵AB=AC， AD⊥BC (已知)，
B
∴BD=CD，∠1=∠2 (等腰三角形三线合一).
D
C
探索与思考
活动二 探究等腰三角形的性质 问题4 作出等腰三角形腰上的中线、角平分线、高，它们重合吗？ 三线合一指的是底边上的三线合一，
A 腰的三线不一定合一.
第2章 · 轴对称图形
2.5 等腰三角形的轴对称性
第1课时 等腰三角形及其性质
学习目标
1. 探索并证明等腰三角形的性质定理；
2.能用等腰三角形性质定理进行计算或说理；
3. 会利用基本作图作三角形：已知底边及底边上的 高作等腰三角形.
知识回顾
1.具备什么条件的三角形是等腰三角形？ 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
例题讲解
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E、F.
求证：DE=DF .
A
证明：∵ AB＝AC，D是BC的中点，
∴ AD平分∠BAC（三线合一）.
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
E
F
∴ DE=DF.
B
D
C
新知巩固
1. 如图，在△ABC中，点D在BC上，AD=BD，AB=AC=CD.
2．作线段BC的垂直平分线MN，MN 交BC于点D． 3．在MN上截取线段DA，使AD＝h．
4．连接AB、AC．
△ABC就是所求作的等腰三角形．
新知归纳
文字语言
图形语言
A
等边对等角
B
底边上的高、
A
中线及顶角
平分线重合
B
D
符号语言
在△ABC中， ∵AC = AB (已知)， ∴∠B =∠C ( 等边对等角）. C
新知巩固
2.如图的房屋人字梁架中，AB＝AC ，BD=DC， ∠BAC＝110°，
(1) 求∠B、∠C、∠1、∠2的度数；
(2) 求证：AD⊥BC .
12
(2) 证明：∵AB=AC，BD=DC（已知） ∴ AD⊥BC（三线合一）
课堂小结
等 等边对等角 腰 三 角 形 的 性 三线合一 质
注意是指同一个三角形中
A C
D
探索与思考
活动二 探究等腰三角形的性质
问题2 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的哪些性质
呢？说一说你的猜想.
两底角相等
A
重合的两线腰段相等 重合的角
A底B=边AC中线
∠B=∠底C边上的高
BD=CD
∠ADB=∠顶A角D的C平分线
AD=AD
∠BAD=∠CAD
C D
探索与思考
活动二 探究等腰三角形的性质
注意是指顶角的平分线,底边 上的高和中线才有这一性质.
常用辅助线：作顶角平分线、底边上的高、底边上的中 线是常见的辅助线
当堂检测
1.等腰三角形的对称轴是 ( D )
A.底边上的中线 C.底边上的高
2.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的
是( D )
A
A. ∠B=∠C
B. AD⊥BC
找出图中相等的角并说明理由.
解：∠BAD=∠B=∠C；∠BAC=∠ADB；
∠ADC=∠DAC.
∵AD=BD，
A
∴∠BAD=∠B.
∵AB=AC，
∴∠C=∠B.
∴∠BAD=∠B=∠C
B
D
∵DC=AC，
C ∴∠DAC=∠ADC.
∵∠ADB＝∠C+∠DAC， ∠BAC＝∠BAD+∠DAC，
∴∠ADB=∠BAC.
∴ △BAD ≌ △CAD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
B
D
C
探索与思考
活动二 探究等腰三角形的性质
猜想1 等腰三角形的两个底角相等.
已知：△ABC 中，AB=AC．
求证：∠B=∠C．
A
证法3：作底边的高线AD，则∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△BAD和Rt△CAD中，
E
F
B
D
C
已知AB=AC
例题讲解
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E、F.
求证：DE=DF. A
证明： ∵AB=AC， ∴ ∠B= ∠C (等边对等角). ∵D是BC的中点， ∴ DB=DC .
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB=∠DFC=90°.
则底角的大小为__7_0_°__或__2_0_°_．
B
B
C
A C
注意：当题目未给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三 角形两种情况进行讨论.
当堂检测 6.如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其
内部添一些钢管EF、FM、MH……，添加的 钢管长度都与OE相等，
添加这样的钢管4根时，则∠AHB 的度数为___5__0_°____.
C. AD平分∠BAC
D. AB=2BD
B DC
当堂检测
3.已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列
说法正确的有( C )个
A
（1）AD平分∠EDF；
（2）△EBD≌△FCD；
（3）BD=CD；
E
F
（4）DE⊥AB．
A. 1个 C. 3个
B. 2个 D. 4个
B
C
D
当堂检测 4.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为__7_5_°_, _3_0_°____；
问题2 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的哪些性质 呢？说一说你的猜想.
A 猜想重1合等的腰线三段角形的两重个合底的角角相等.
AB=AC
∠B=∠C
猜想2 等腰三角形的顶角平分线，底边上
BD=CD
∠ADB=∠ADC
的中线，底边上的高互相重合.
AD=AD
∠BAD=∠CAD
C D
探索与思考
活动二 探究等腰三角形的性质
2.等腰三角形的有关概念 边：相等的两条边叫做腰,
另一条边叫做底边,
A 顶角
腰
腰
角： 两腰所夹的角叫做顶角, 底边与腰的夹角叫做底角.
B
底边
C
底角
探索与思考
活动一 探究等腰三角形的轴对称性 问题1 等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
分组讨论，交流结果．
A
B
C
探索与思考
活动一 探究等腰三角形的轴对称性