石家庄市正定中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题及答案

正定中学2015-2016学年高一上学期期末考试
数学试卷
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有．．一项．．
是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．已知全集U
R =， {|21}x A y y ==+， {|ln 0}B x x =≥，则A B =（ ）
A ．{|1}x x ≥
B ．{|1}x x >
C ．{|01}x x <<
D ．∅
2．定义在R 的奇函数)(x f ，当0<x 时，x x x f +-=2
)(，则(2)f 等于（ ）
A ．4
B ．6
C ．4-
D ．6- 3．已知向量()()1,2,23,2a a b =+=，则（ ）
A ．()1,2b =-
B ．()1,2b =
C ．()5,6b =
D ．()2,0b = 4．已知函数()f x 是定义在[)0,+∞上的增函数，则满足()1213f x f ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
的x 取值范围是（ ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-32,
B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,
31 C ．⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞,21 D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,21 5．下列函数中，既在定义域上是增函数且图象又关于原点对称的是（ ） A ．2y x =-
B ．2lg 11y x ⎛⎫
=- ⎪+⎝⎭
C ．x y 2=
D ．22x x y -=+ 6．函数5
()3f x x x =+-零点所在的区间是（ ）
A ．[]1,0
B ．[]2,1
C ．[]3,2
D ．[]4,3 7．若βα,都是锐角，且5
52sin =
α，1010
)sin(=-βα，则=βcos （ ）
A ．
22 B ．102 C ．22或102- D ．22或10
2
8．将函数()sin(2)(||)2
f x x π
ϕϕ=+<
的图象向左平移
6
π
个单位后的图象关于原点对称，
则ϕ的值为（ ） A ．3π-
B ．3π
C ．6π
D ．6
π- 9．函数)82ln(2
+--=x x y 的单调递减区间是（ ） A ．)1,(--∞ B ．)2,1(- C ．)1,4(-- D ．),1(+∞- 10．已知))1(2(a m b m ==-，，，，若()
2a b b -⊥，则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
11．已知函数()sin(
)(0,0,)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><一个周期的图象
如图所示，则ϕ的值为（ ） A.
6π B.4π C.3π D.8
3π 12．已知函数()⎪⎩⎪
⎨⎧≥-<-=,2,1
3,
2,12x x x x f x 若函数()()[]2-=x f f x g 的零点个数为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13．已知三个数3
.0222
,3.0log ,3.0===c b a ，则,,a b c 的大小关系为 ．
14．化简0
2sin15sin 75的值为___________.
15．若αtan ，βtan 是方程2
3340x x -+=的两个根，则()=+βαtan ．
16．在菱形ABCD 中，对角线4AC =，E 为CD 的中点，则AE AC ⋅=_______. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分10分）
已知C B A ,,三点的坐标分别是)0,3(A ，)3,0(B ，)sin ,(cos ααC ，其中2
32
παπ
<
<. （1）若||||BC AC =，求角α的值； （2）若1-=⋅BC AC ，求α2sin 的值.
18.（本小题满分12
分）
(sin ,sin()),(sin ,3sin )2
a x x
b x x π
ωωωω=+=已知()0>ω，记()f x a b =⋅．且()
f x 的最小正周期为π.
（1）求()x f 的最大值及取得最大值时x 的集合； （2）求()x f 在区间2π03
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
，上的取值范围．
19.（本小题满分12分）
学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当(]0,12x ∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点(10,80)A ，过点(12,78)B ；当
[]12,40x ∈时，图象是线段BC ，其中(40,50)C ，根据专家研究，
当注意力指数大于62时，学习效果最佳. （1）试求()y f x =的函数关系式；
（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.
20.（本小题满分12分）
设)(x f 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1=x 对称，对任意⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2
1,0,21x x 都有
)()()(2121x f x f x x f ⋅=+，且0)1(>=a f .
(1)求⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫
⎝⎛41,21f f ； (2)求证：)(x f 是周期函数.
21.（本小题满分12分） 已知函数1
()log ,(0,1)1
a
x f x a a x +=>≠-且. （1）判断()f x 的奇偶性并证明；
（2）若对于[2,4]x ∈，恒有()log (1)(7)
a m
f x x x >-⋅-成立，求m 的取值范围.
22.（本小题满分12分）
函数()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈-+=2,
0,2cos sin 2πθθθθm m g . （1）当3=m 时，求()θg 的单调递增区间； （2）若()01<+θg 恒成立，求m 的取值范围.
参考答案
一、选择题
1-5 BBADC 6-10 BAABB 11-12 CB 二、填空题
13. c a b >> 14. 1 15. 3- 16.12 三、填空题 17.解:（1）54
π
α=
………………………………………………….4分 （2）cos (cos 3)sin (sin 3)AC BC αααα=-+-
13(s i n c o s )αα=-+=-
2
sin cos 9
αα∴+=
……………………………………………6分 25
2sin cos (sin cos )19
αααα∴=+-=- ……………………8分
原式=2sin (sin cos )52sin cos cos sin 9cos αααααααα+==-+ ……………………….10分
18.解：（1）2π()sin 3sin sin 2f x x x x ωωω⎛
⎫=++
⎪⎝
⎭
1cos 23()sin 222x f x x ωω-=
+311
sin 2cos 2222
x x ωω=-+ π1sin 262x ω⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭．
因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以
2π
π2ω
=，解得1ω=． ……….6分 （2）由（1）得π1()sin 262
f x x ⎛⎫=-
+ ⎪⎝
⎭． 因为2π03
x ≤≤
， 所以ππ7π2666
x --≤≤，
所以1πsin 2126x ⎛⎫-
- ⎪⎝
⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛
⎫-
+ ⎪⎝
⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，． …..12分 19.解：（1）当(]0,12x ∈时，设()()2
1080f x a x =-+ 因为这时图像过点(12,78)，代入得1
2
a =-
所以()()2
110802
f x x =-
-+ 当[]12,40x ∈时，设
y kx b =+，过点(12,78)(40,50)B C 、
得1
90
k b =-⎧⎨
=⎩，即90y x =-+ ………6分
故所求函数的关系式为()()(](]21
1080,0,12290,12,40x x f x x x ⎧--+∈⎪
=⎨⎪-+∈⎩
………7分
（2）由题意得()2
012
11080622
x x <≤⎧⎪
⎨--+>⎪⎩或12409062x x <≤⎧⎨-+>⎩ ……………9分 得412x <≤或1228x <<，即428x <<
则老师就在()4,28x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳 ……12分. 20.解：(1)设⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈21,0x ，则⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈2
1,02x
，
于是()02222
≥⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛+
=x f x x
f x f ， ∵()2
2121211⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=f f f ，且0)1(>=a f ，∴a f =⎪⎭⎫
⎝⎛21，
同理，因为2
4121⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=
⎪⎭
⎫
⎝⎛f f ，所以441a f =⎪⎭⎫ ⎝⎛； ……………………6分 (2)∵)(x f 是偶函数，∴ ()()x f x f =-，)(x f 图象关于直线1=x 对称，
∴ ()()x f x f -=+11，
∴对任意实数x ，都有
()()[]()[]()()x f x f x f x f x f =-=+-=++=+11112，∴)(x f 是周期为2的周期函数
…………12分 21.解:（1）因为
1
01
x x +>-解得11x x <->或 所以函数()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞
函数()f x 为奇函数，证明如下：
由（1）知函数()f x 的定义域关于原点对称，又因为
11
()log log ()11
a
a x x f x f x x x -+--===---+所以函数()f x 为奇函数…………4分 （2）若对于[2,4]x ∈,()log (1)(7)
a
m
f x x x >-⋅-恒成立
即1log log 1(1)(7)
a
a x m
x x x +>--⋅-对[2,4]x ∈恒成立 111(1)(7)
x m
a x x x +>>--⋅-当时即
对[2,4]x ∈成立. 1(7)
m
x x +>
-, 即(1)(7)x x m +⋅->成立，所以015m <<
同理111(1)(7)
x m
a x x x +<<--⋅-当0<时,
解得16m > 综上所述：1
a >当时0<m<15 ,1a <当0<时m>16 ………….12分 22.解：（1）令θcos =t []1,0∈，47322313232
2
+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-+-=t t t y 记47
32)23()(2+---=t t g ，)(t g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0上单调递增，在⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡1,23上单调递减. 又θcos =t 在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递减.令123≤≤t ，解得60π
θ≤≤
故函数)(x f 的单调递增区间为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡6,
0π……………………………………6分 （2）由)(θg <－1得θθ2cos 2)cos 2(->-m
即]cos 22
)cos 2[(4cos 2cos 22θθθθ-+--=-->m
]2,1[cos 2]2
,0[∈-∴∈θπ
θ
22cos 22
)cos 2(≥-+
-∴θ
θ，等号成立时.22cos -=θ
故4－θ
θcos 22)cos 2[(-+
-]的最大值是.224- 从而224->m .…………………12分。