求直线方程的五种方法11月30

一对一个性化辅导教案
直线方程 复习：
1.倾斜角：X 轴正向与直线L 向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。

0
1800<≤α 2. 斜率：αtan =k 1
21
2x x y y k --=
斜率k 与倾斜角 α之间的关⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧<=⇒<<⇒⇒=>=⇒<<==⇒=0tan 18090)(tan 900tan 90000tan 0a k a k a a a k a k a
不存在不存在
3.两直线平行与垂直的判定：
①两直线平行的判定：
（1）1 ∥2 ⇔ k 1=k 2且21b b ≠或两条直线的斜率都不存在。

（2）1 ∥2 ⇔12210A B A B -=且12210B C B C -≠ ②两直线垂直的判定：
（1）1 ⊥2 ⇔ k 1·k 2=－1或一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在。

（2）1 ∥2 ⇔12120A A B B +=
新课：
直线的方程：
（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。

（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。

（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为1
21
121x x x x y y y y --=
--，它不包括垂直于坐标轴的直线。

（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为
1=+b
y
a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。

5.点点、点线、线线的距离：
（1）点),(111y x P 到点),(222y x P 的距离221221)()(y y x x d -+-=
（2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=
的距离d =
；
（3）两平行线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=
间的距离为d =。

例1.下列命题正确的有:
①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应; ②倾斜角的范围是:0°≤α<180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大; ③过两点A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示; ④过点(1,1),且斜率为1的直线的方程为
1
11
y x -=-; ⑤直线Ax+By+C=0(A,B 不同时为零),当A,B,C 中有一个为零时,这个方程不能化为截距式. ⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等;
⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1.
例 2.若直线062:1=++y ax l 与直线01)1(:2
2=-+-+a y a x l ，则12l l 与相交时，a_________;21//l l 时，a=__________;21l l ⊥时，a=________. 例3．求满足下列条件的直线方程：
(1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；
(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直；
(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；
(4) 经过点N(-1,3)且在x 轴的截距与它在y 轴上的截距的和为零.
例4．已知直线l 过点（1,2），且与x ，y 轴正半轴分别交于点A 、B 求△AOB 面积为4时l 的方程
例5．已知△ABC 的两个顶点A(-10，2)，B(6，4)， 垂心是H(5，2)，求顶点C 的坐标．
例 6.求经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程.
巩固练习：
1、在下列四个命题中，正确的共有（ ）
（1）坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 （2）直线的倾斜角的取值范围是[]π,0
（3）若一条直线的斜率为αtan ，则此直线的倾斜角为α （4）若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为αtan
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2、若两直线21,l l 的倾斜角分别为21,αα，则下列四个命题中正确的是（ ）
A ． 若21αα<，则两直线的斜率：21k k <
B ． 若21αα=，则两直线的斜率：21k k =
C ． 若两直线的斜率：21k k <，则21αα<
D ． 若两直线的斜率：21k k =，则21αα= 3、过两点)1,1(-和)9,3(的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．23-
B ．32-
C ．5
2
D ．2 4、若直线0=++c by ax 在第一、二、三象限，则（ ）
A ．0,0>>bc ab
B ．0,0<>bc ab
C ．0,0><bc ab
D ．0,0<<bc ab 5、已知)3,4(),2,1(N M 直线l 过点)1,2(-P 且与线段MN 相交，那么直线l 的斜率k 的
取值范围是（ ）
A ．[]2,3-
B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
21,31 C ．(][)+∞⋃-∞-,23, D ．⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,2131,
6、直线022=+-k y x 与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么（ ） A ．1-≥k B ．1≤k C ．11≤≤-k 且0≠k D ．1-≤k 或1≥k
7、已知直线01=-+by ax 在y 轴上的截距为1-，且它的倾斜角是直线033=--y x 的倾斜角的2倍，则（ ） A ．1,3==
b a B ．1,3-==b a C ．1,3=-=b a D ．1,3-=-=b a
8、若直线l 与两条直线07,1=--=y x y 分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点坐标为)1,1(-，则l 的方程是（ ）
A ．0523=--y x
B ．0532=--y x
C ．0132=++y x
D ．0123=-+y x 11、如图，直线321,,l l l 的斜率分别为321,,k k k ，则（ ） A ．321k k k << B ．213k k k << C ．123k k k << D ．231k k k << 12、如图，直线a
ax y 1
-
=的图象可能是（ ）
13、直线043=+-k y x 在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k 的值为 16、已知直线():120l kx y k k R -++=∈，证明直线l 过定点。

17、求经过点()1,2A ，并且在2个坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程。

一选择题（共55分，每题5分）
1. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为（ ）
A.3
B.-2
C. 2
D. 不存在 2．过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）
A ．072=+-y x
B ．012=-+y x
C ．250x y --=
D ．052=-+y x 3. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）
x y O x y O x y O x
y
O
A B C D 4．若直线x +a y+2=0和2x +3y+1=0互相垂直，则a =（ ）
A ．32-
B ．3
2 C ．2
3
-
D ．
2
3 5.过(x 1，y 1)和(x 2，y 2)两点的直线的方程是( )
11
212111
2112
211211211211..
.()()()()0.()()()()0
y y x x A y y x x y y x x B y y x x C y y x x x x y y D x x x x y y y y --=
----=
-------=-----=
7、直线2x+3y-5=0关于直线y=x 对称的直线方程为（ ） A 、3x+2y-5=0 B 、2x-3y-5=0 C 、3x+2y+5=0 D 、3x-2y-5=0
8、与直线2x+3y-6=0关于点(1,-1)对称的直线是（ ） A.3x-2y-6=0 B.2x+3y+7=0 C. 3x-2y-12=0 D. 2x+3y+8=0
9、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（ ） A.a=2,b=5; B.a=2,b=5-; C.a=2-,b=5; D.a=2-,b=5-.
10、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1)
11、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ） A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0
二填空题（共20分，每题5分）
12. 过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程___________；
13两直线2x+3y －k=0和x －ky+12=0的交点在y 轴上，则k 的值是
14、两平行直线0962043=-+=-+y x y x 与的距离是。

15空间两点M1（-1,0,3）,M2(0,4,-1)间的距离是
三计算题（共71分） 16、（15分）已知三角形ABC 的顶点坐标为A （-1，5）、B （-2，-1）、C （4，3），M 是BC 边上的中点。

（1）求AB 边所在的直线方程；（2）求中线AM 的长（3）求AB 边的高所在直线方程。

17、（12分）求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程。

18.（12分） 直线062
=++y m x 与直线023)2(=++-m my x m 没有公共点，求实数m 的值。

19．（16分）求经过两条直线04:1=-+y x l 和02:2=+-y x l 的交点，且分别与直线012=--y x （1）平行，（2）垂直的直线方程。

20、（16分）过点（２，３）的直线Ｌ被两平行直线Ｌ１：２ｘ－５ｙ＋９＝０与
Ｌ２：２ｘ－５ｙ－７＝０所截线段ＡＢ的中点恰在直线ｘ－４ｙ－１＝０上，求直线Ｌ的方程。