八年级数学下册课件(冀教版)平行四边形的性质

别是A (a，b)，B (4，－2)，C (－a，－b)，则关于点D 的说法
正确的是( B )
甲：点D 在第一象限．
乙：点D 与点A 关于原点对称．
丙：点D 的坐标是(－4，2)．
丁：点D 与原点距离是2 5 .
A．甲乙 B．丙丁
C．甲丁 D．乙丙
知识点 3 平行四边形的性质——对边相等
探究 根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边
读作“平行四边形 ABCD ”．
AB∥CD 3. 数学表达： AD∥BC
⇔四边形ABCD 是平行四边形.
即：若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD 是平行
四边形；若四边形ABCD 是平行四边形，则AB∥CD，
AD∥BC.
例1 如图，在▱ABCD 中，过点P 作直线EF，GH 分别平
行于AB，BC，那么图中共有__9____
解：在▱ABCD 中，AB＝CD， ∠B＝∠D，
AB＝CD,
在△ABE 和△CDF 中，B＝D,
BE＝DF，
所以△ABE ≌△CDF，所以AE＝CF.
7 如图，在▱ABCD 中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°， AB＝2，则BC 的长是( C )
A. 2 B．2 2 C．2 D．4 2
8 如图，在▱ABCD 中，CE⊥AB，E 为垂足，如果∠A＝120°， 那么∠BCE 的度数是( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
导引：根据BM 平分∠ABC 和AB∥CD 可以判定△BCM 是等腰三 角形，从而得到BC＝MC＝2，再结合▱ABCD 的周长是14 得到CD 的长，进而得到DM 的长．具体过程如下： ∵在▱ABCD 中，AB∥CD，BM 是∠ABC 的平分线， ∴∠CBM＝∠ABM＝∠CMB.∴BC＝MC＝2. 又∵▱ABCD 的周长是14，∴AB＝CD＝5.∴DM＝3.
解：如图，记AD 与CE 交于点F，在▱ABCD 中，因为BA∥CD， 所以∠D＝∠EAD＝46°.因为CE⊥BA，所以∠AEC＝90°. 所以∠AFE＝90°－46°＝44°.又因为AD∥BC，所以∠BCE ＝∠AFE＝44°.
5 如图，在▱ ABCD 中，点E，F 在对角线BD上，且 BE=DF .猜想AE 与CF 有怎样的数量关系，并对你的
总结
当题目中平行线和角平分线同时出现时，极有可能出
现等腰三角形，如本题中由AB∥CD 和BM 平分∠ABC 就得 到△BCM 是等腰三角形；在平行四边形的边的计算中，
“平行四边形相邻两边之和等于平行四边形的周长的一半” 会经常用到．
1 在▱ ABCD 中，已知AB=3，AD=2，求▱ ABCD 的周长.
2 如图，▱ABCD 中，EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四
边形的个数是( D ) A．13 B．14 C．15 D．18
知识点 2 平行四边形的中心对称性
1. 如图，在半透明的纸上画一个▱ABCD，再复制一个.将两个图形
完全重合，用大头针钉在中心处.使下面的图形不动，将上面的图
形绕中心O 旋转180°.这两个图形能完全重合？平行四边形是不是
如图，四边形ABCD 是平行四边形，记作 “□ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”.线段AC， BD 为□ABCD 的两条对角线，点O 为它的中心.
1. 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
2. 表示方法：平行四边形用符号“▱ ”表示，如图，平
行四边形ABCD 记作“▱ABCD ”，
1 如图，在▱ABCD 中，AC 平分 ∠DAB，AB=3.求▱ABCD 的周长.
解：在▱ABCD 中，AB＝DC，BC＝AD，AD∥BC，所 以∠DAC＝∠BCA.因为AC 平分∠DAB，所以∠DAC ＝∠BAC.所以∠BAC＝∠BCA.所以AB＝CB.又因为 AB＝3，所以AD＝DC＝BC＝AB＝3.所以▱ABCD 的周长为AD＋DC＋BC＋AB＝3＋3＋3＋3＝12.
为BC 的中点，所以BE＝CE.
FBE＝DCE，
在△FBE 和△DCE 中，BE＝CE ,
BEF＝CED，
所以△FBE ≌△DCE.所以BF＝CD.
又因为AB＝CD，所以BF＝AB，即点B 为AF 的中点．
3 如图，在▱ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别交AD，
BC 于点E，F，连接CE，若△CED 的周长为6，则▱ABCD
即共有9个平行四边形．
总结
平行四边形的定义的功能：平行四边形的定义既是平行四 边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行；又是平行四边 形判定的一种方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边 形．对于任何一个几何定义，都具有两种功能，顺用是判定， 逆用是性质．
对于几何计数问题，要按照一定的顺序(如从小到大等)分 类计数，做到不重复不遗漏．
3. 把你的发现写出来，说明理由，并将结果与大家交流.
归纳
平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角 线的交点.
例2 下列所述图形中，是中心对称图形的是( B )
A．直角三角形 B．平行四边形
C．正五边形
D．正三角形
解析：根据中心对称图形的定义对各选项分析判断即可
得解．A、直角三角形不是中心对称图形，故本选
角的性质：平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补． 数学表达式：如图，
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°， ∠C＋∠D＝180°，∠A＋∠D＝180°.
例4 如图，在▱ABCD 中，已知∠A＋∠C＝120°，求平
行四边形各角的度数．
22.1 平行四边 形的性质
第1课时
从本节开始，我们将进一步认识一些特殊的四边形， 并探究这些四边形的一些基本性质.
知识点 1 平行四边形的定义
在我们的周围存在着许多四边形.观察下列图片，从 中找出四边形，并就它们的共同特性和不同特性，和大 家交流你的看法.
教室
瓷砖图案
伸缩门
晾衣架
我们把两组对边分别平行的四边形叫做平行四边 形(parallelogram).连接平行四边形不相邻的两个顶点 的线段叫做平行四边形的对角线(diagonal). 两条对角 线的交点叫做平行四边形的中心(center).
项错误；B、平行四边形是中心对称图形，故本选
项正确；C、正五边形不是中心对称图形，故本选
项错误；D、正三角形不是中心对称图形，故本选
项错误.故选B．
总结
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形 是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.
1 在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标分
解： 在▱ABCD 中，因为AB＝CD，AD＝BC，AB＝3， AD＝2，所以CD＝3，BC＝2. 所以▱ABCD 的周长为AB＋CD＋AD＋BC＝3＋3
＋2＋2＝10.
2 已知：如图，在▱ ABCD 中， E 为BC 的中点，DE 与AB 的延 长线相交于点F.求证：B 为 AF 的中点.
证明：在▱ABCD 中，因为AB∥CD，所以∠FBE＝∠DCE.因为E
猜想给与证明.
解：AE＝CF.
证明：在▱ABCD 中，因为AB∥CD， 所以∠ABE＝∠CDF.
AB＝CD,
在△ABE 和△CDF 中，ABE＝CDF ,
BE＝DF，
所以△ABE ≌△CDF. 所以AE＝CF.
6 已知：如图，在▱ ABCD 中，E，F 分别是BC，AD上的点， 且BE=DF.求证AE=CF.
个平行四边形．
导引： 根据平行四边形的定义，知AB∥CD，AD∥BC，由 已知可知，EF∥AB，GH∥BC，所以根据平行四边 形的定义可以判定四边形ABFE 是平行四边形，同理 可判定四边形EFCD、四边形AGHD、四边形GBCH、 四边形AGPE、四边形EPHD、四边形GBFP、四边 形PFCH 都是平行四边形，最后还要加上▱ABCD，
通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对角相 等；下面我们对它进行证明.
证明：如图，连接AC. ∵AD//BC，AB//CD，
CDA 的公共边， ∴ △ABC ≌△CDA. ∴∠B=∠D. 请同学们自己证明∠BAD=∠DCB.
结论
这样我们证明了平行四边形具有以下性质： 平行四边形的对角相等.
总结
平行四边形中求有关角度的基本方法是利用平行四边 形对角相等，邻角互补的性质，并且已知一个角或已知两 邻角的关系可求出其他三个角的度数．
1 在▱ ABCD 中，已知∠A， ∠B 的度数之比为5：4.求∠C 的度数.
解：在▱ABCD 中，因为AD∥BC，所以∠A＋∠B＝180°.
5
又因为∠A∶∠B＝5∶4，所以∠A＝180°× 5 4 ＝ 100°.所以∠C＝∠A＝100°.
导引：由平行四边形的对角相等，
得∠A＝∠C，结合已知条件 ∠A＋∠C＝120°，即可求出∠A 和∠C 的度数； 再根据平行线的性质，进而求出∠B，∠D 的度数． 解： 在▱ABCD 中，∠A＝∠C，∠B＝∠D. ∵∠A＋∠C＝120°，∴∠A＝∠C＝60°. ∵∠D＝180°－∠A＝180°－60°＝120°. ∴∠B＝∠D＝120°.
在上面的问题中，销售员的月工资数y (元)与他当月销售产 品数x (件)之间的函数关系式为: y =10x+3 000.
当销售员的工资为4 100元时，有4100=10x+3 000. 解得y =110.
要想使月工资超过4 500元，只要使此10x+3 000 > 4 500即可.解得 x >150.
的周长为( B )
A．6
B．12
C．18
D．24
4 如图，在▱ABCD中，BM 是∠ABC 的平分线，交CD 于点 M，且MC＝2，▱ABCD 的周长是14，则DM 等于( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
知识点 4 平行四边形的性质——对角相等
探究 根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组
对边分别平行”外，它的角之间还有什么关系？度量一 下，和你的猜想一致吗？
这样我们证明了平行四边形具有以下性质： 平行四边形的对边相等.
1. 边的性质：平行四边形对边平行；平行四边形对边相等． 2. 数学表达式：如图，
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB＝CD，AD＝BC.
例3 如图，在▱ABCD 中，BM 是∠ABC 的平分线， 交CD 于点M，且MC＝2，▱ABCD 的周长是14， 则DM 等于( C )
2 已知一个平行四边形，其相邻两角的差是40°.求 平行四边形各角的度数.
解：略.
3 求平行四边形四个内角的度数和.
解：如图所示，在▱ABCD 中，因为AD∥BC，所以 ∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°.所以平行四 边形ABCD 的四个内角的和为2×180°＝360°.
4 如图，在▱ ABCD 中， CE⊥BA， 交BA 延长线于点E， ∠EAD＝46°. 求∠BCE 和∠D 的度数.
A．80° B．50° C．40° D．30°
在▱ABCD 中，∠DAB 的平分线分边BC 为3 cm和4 cm
两部分，则▱ABCD 的周长为( D )
A．20 cm
B．22 cm
C．10 cm
D．20 cm或22 cm
易错点：不注意分情况讨论，造成漏解
1 如图，E，F 分别是▱ABCD 的边AD，BC 上的点，EF＝6， ∠DEF＝60°，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到四边形EFC′D ′， ED ′交BC 于点G，则△GEF 的周长为( C )
A．6
B．12
C．18
D．24
2 如图，在▱ABCD 中，∠DAB 的平分线交CD 于点E，交BC 的延长 线于点G，∠ABC 的平分线交CD 于点F，交AD 的延长线于点H， AG 与BH 交于点O，连接BE，下列结论错误的是( D ) A．BO＝OH B．DF＝CE C．DH＝CG D．AB＝AE
中心对称图形？如果是中心对称图形，哪个点是它的对称中心？
被对角线分成的三角形中，关于点O 成中心对称的三角形有几对？
2. 在上面的活动过程中，你发现了▱ABCD 的对边AD 与CB， AB 与CD 之间具有怎样的数量关系？对角∠BAD 与∠DCB， ∠ABC 与∠CDA 之间具有怎样的数量关系？线段OA与OC，OB 与OD 之间具有怎样的数量关系?
分别平行”外，它的边之间还有什么关系？ 通过观察和度量，我们猜想：平行四边形的对边相等；
下面我们对它进行证明.
证明：如图，连接AC. ∵AD//BC，AB//CD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又AC 是△ABC 和△CDA 的公共边， ∴ △ABC ≌△CDA. ∴AD =CD，AB =CD.
归纳