高数(上)第二章 复习题(含参考答案)
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高数上
第二章 复习题
1. 求下列函数的导数: (1) y =ln(1+x 2); 解 2
22212211)1(11x
x x x x x y +=⋅+='+⋅+='.
(2) y =sin 2x ;
解 y '=2sin x ⋅(sin x )'=2sin x ⋅cos x =sin 2x .
(3)2
2x a y -=;
解[
]2
221
2222121
222
122)2()(21)()(21)(x a x x x a x a x a x a y --
=-⋅-='-⋅-='-='--.
(4)x
x y ln 1ln 1+-=;
解 2
2)ln 1(2)ln 1(1
)ln 1()ln 1(1x x x x x x x y +-=+--+-='.
(5)x
x y 2sin =;
解
222sin 2cos 212sin 22cos x
x
x x x x x x y -=⋅-⋅⋅='.
(6)x y arcsin =;
解
2
222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-=
'.
(7))ln(22x a x y ++=;
解
])(211[1)(12222222222'+++⋅++='++⋅++='x a x
a x a x x a x x a x y
2222221)]2(211[1x a x x a x a x +=++⋅++=
.
(8)x
x y +-=11arcsin .
解 )1(2)1(1)1()1()1(1111)11(11112x x x x x x x
x
x x x x y -+-=+--+-⋅+--='+-⋅+--=
'.
(9)x
x y -+=11arctan ;
解
2
22
211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x x
x x x x x y +=
-++-⋅-++='-+⋅-++=
'.
(10)x x x y tan ln cos 2
tan ln ⋅-=; 解
)(tan tan 1cos tan ln sin )2(tan 2
tan 1'⋅⋅-⋅+'⋅='x x x x x x x y
x x x x x x x x x tan ln sin sec tan 1cos tan ln sin 212sec 2
tan 122⋅=⋅⋅-⋅+⋅⋅.
(11))1ln(2x x e e y ++=;
解
x
x x x x x x x x x x e e
e e e e e e e e e y 2222221)122(11)1(11+=++⋅++='++⋅++=
'.
2. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式: (1) y =sin 2 x ;
解y '=2sin x cos x =sin2x , )22sin(22cos 2π+==''x x y ,
)222sin(2)22cos(222ππ⋅+=+='''x x y ,
)2
32sin(2)222cos(233)4(ππ⋅+=⋅+=x x y , ⋅ ⋅ ⋅,
]2
)1(2sin[21)(π⋅-+=-n x y n n .
(2) y =x ln x ; 解
1ln +='x y ,
11-==''x x
y , y '''=(-1)x -2, y (4)=(-1)(-2)x -3, ⋅ ⋅ ⋅,
y (n )=(-1)(-2)(-3)⋅ ⋅ ⋅(-n +2)x -n +11
12)!2()1()!2()1(-----=--=n n n n x
n x
n . (3) y =x e x .
解 y '=e x +xe x ,
y ''=e x +e x +xe x =2e x +xe x , y '''=2e x +e x +xe x =3e x +xe x , ⋅ ⋅ ⋅,
y (n )=ne x +xe x =e x (n +x ) .
3. 求方程y =1+xe y 所确定的隐函数的二阶导数22
dx
y
d .
解 方程两边求导数得 y '=e y +x e y y ', y
e y e xe e y y
y y y -=--=-='2)1(11,
3
222)2()
3()2()3()2()()2(y y e y y y e y y e y y e y y y y y --=
-'-=-'---'=
''.
4.
求参数方程⎩
⎨⎧-=+=t t y t x arctan )1ln(2所确定的函数的三阶导数3
3dx y d :
解
t t t t t t t dx dy 2112111])1[ln()arctan (222=++-=
'+'-=, t t t t t dx y d 4112)21(2
2
22+=+'
=,
342
2338112)41(t t t t t t dx y d -=+'+=. 5. 注水入深8m 上顶直径8m 的正圆锥形容器中, 其速率为4m 2/min . 当水深为5m 时, 其表面上升的速度为多少?
解 水深为h 时, 水面半径为h r 2
1=, 水面面积为π24
1h S =,
水的体积为3212
4
13
13
1h h h hS V π
π=⋅==,
dt
dh h dt dV ⋅⋅=2312π, dt
dV
h dt dh ⋅=
24π.
已知h =5(m ),4=dt
dV (m 3/min), 因此 π
ππ2516425442=⋅=⋅=dt dV h dt dh (m/min).
6. 求下列函数的微分: (1)2
1arcsin x y -=;
解 dx x x x dx x x dx x dx y dy 2
2221||)12()1(11)1(arcsin --=--⋅--=
'-='=.
(2) y =tan 2(1+2x 2); 解
dy =d tan 2(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)d tan(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)d (1+2x
2
)
=2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)⋅4x dx =8x ⋅tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)dx .
(3)22
11arctan x
x y +-=;
解
)11()11(1111arctan 2
222
222x x d x x x x d dy +-+-+=+-=
dx x x dx x x x x x x
x 4
22222
2214)1()1(2)1(2)11(11+-=+--+-⋅+-+=
. 7. 讨论函数
⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0
00 1sin )(x x x
x x f 在x =0处的连续性与可导性.
解 因为f (0)=0, )0(01sin lim )(lim 0
0f x
x x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续; 因为极限x
x x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim )0()(lim
000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处
不导数.。