固体物理--第三章 晶格振动

三、周期性边界条件 周期性边界条件：
N n n
e
iNaq
1
2 q h Na
q的分布密度：
h =整数， N：晶体链的原胞数
Na L q const. 2 2
{
简约区中q的取值总数 ＝ q
2 N ＝晶体的原胞数 a 晶格振动的格波总数＝2N＝晶体的自由度数
与晶格的相互作用过程产生，在相互作用的过程中，声
子数不守恒。
§3.2 一维双原子链的振动
考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链
一、运动方程及其解
a
只考虑近邻原子间的弹性相互作用 运动方程：
{ m
试 解：
{
{
n
M m n-1 n n n+1
M n n n 1 2n
2 1
两个色散关系即有两支格波：（＋：光学波； －：声学波）

简约区：

a
q

a

π a
π a
对于不在简约区中的波数q’ ，一定可在简约区中 找到唯一一个q，使之满足：
2 q q G a
G 为倒格矢
二、光学波和声学波的物理图象 第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比
1 * 2 * H Q q , t Q q , t q Q q, t Q q , t 2 q
Q(q, t)代表一个新的空间坐标，它已不再是描述某个原
子运动的坐标了，而是反映晶体中所有原子整体运动的
坐标，称为简正坐标。
运动方程：
2 Qj q, t j qQj q, t 0
N+1
1 2
n
N N+2
N+n

Ae
N n

n
i t N n aq
Ae
it naq
e
iNaq
i 2 h e 1 1
2 q h Na
h =整数
在q轴上，每一个q的取值所占的空间为
2 Na
q的分布密度：
Na L q 2 2
i 1 2 aq

M m M 2 m2 2 Mm cos aq
R ei


a
a 1 aq 2
q

cos 1 2 aq 0
3 2 2

＋在Ⅱ、Ⅲ象限之间，属于反位相型。
物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反， 即原胞中的两种原子基本上作相对振动，而 原胞的质心基本保持不动。 当q0时，＋，原胞中两种原子振动位相完全相反。
i 1 aq 2

i 1 aq 2 2m cos 1 2 aq e M 2 m2 2 Mm cos aq M m
i R e
1 aq 2
即：


2


2
－在Ⅰ、Ⅳ象限，属于同位相型
物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞 基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原 子基本上无相对振动。 当q0时， 0, 原胞内两种原子的振动位相完全相同。

第n个原子的运动方程：
mn n1 n 1 2n
试解
n Ae
2
i t naq
—— 格波方程
m Ae
i t naq
Ae

i t naq iaq
Ae
i t naq iaq
2 Ae
i t naq
力常数
第l个原子的运动方程：
U m C , ,
这里考虑了晶体中所有原子的相互作用。晶体中各 力常数之间并不全是独立的，而必须满足：
C , 0

由晶格的周期性，得
，＝1，2，3

m 2 eiaq eiaq 2 2 cos aq 1
解得
2
1 sin aq m 2

—— 色散关系
二、格波的简约性质、简约区
1 2 sin aq m 2
(q)

—— 色散关系


a
q

a
—— 简约区
- 2a - a
0
a
2 a
q
的形式在整个晶体中传播，称为格波。
q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同。 2 则 q 与 q描述同一晶格振动状态 若 q q a
1 4a
例：
q1
q2
2
1



2 a
5
4
2
2a 5
2a
2
2 q2 q1 a
三、周期性边界条件（Born－Karman边界条件）
2 Mm
M m
1 aq 2 2 2


2 2 1 2 aq M m
1 2 a q q 2 M m
这与连续介质的弹性波 ＝vq 一致。 当q0时
n n

1 q 0
在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振 幅和位相均相同，非常类似于声波，故将这种晶格振动称 为声学波或声学支。
1 U C , 2
, ,
, 1,2,3
, 0,1,2, , N 1
(l)和(l’) 是第l和第l’个原子分别沿和方向的位移。
2U C , C , 0
晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为 一种振动模式。 能量本征值： 声子的概念： • 声子是晶格振动的能量量子
1 Ej nj j 2
nj 0,1,2,
j
• 一种格波即一种振动模式称为一种声子， nj：声子数。 • 当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以 单元交换能量。
n m M n q0
离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这 种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。
对于单声子过程（一级近 似），电磁波只与波数相同的格
(q)
=c0q +
+(0)
波相互作用。如果它们具有相同
2 cos e n A i1 2 aq e 2 B 2 M n
1 aq 2
i1 2 aq

2m cos
1 2 aq
e
i1 aq 2
M m M 2 m2 2 Mm cos aq
R ei
R:大于零的实数，反映原胞中P、Q两种原子的振幅比
C

, C

,0 C


设格波解：

i t q R A e


带入运动方程得：
m A 0
2
，＝1，2，3
其中
＝ C

i q R R e
光学波原子 振动模型
声学波原子 振动模型
1 1 2 M m

2 m 2 M

π a
π a
q0
1 1 0 2 M m
0 0
q

a
2 a m
2 a M
的频率，就会发生共振。
0
q
光波： ＝c0q， c0为光速
对于实际晶体， ＋(0)在1013 ~ 1014Hz，对应于远
红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外
光在 ＋(0)附近的强烈吸收。
2. 声学波（acoustic branch）
1 aq e n 2 m cos 2 M m M 2 m 2 2 Mm cosaq n
频率为j的特解： nj Aje
i jt naqj

方程的一般解： n Aje
j
i jt naqj


1 inaq Q q , t e Nm q
线性变换系数正交条件： 系统的总机械能化为：
1 N
e
n
ina q q
q , q
j为
• 声子具有能量 j ，也具有准动量 q ，但它不能 脱离固体而单独存在，并不是一种真实的粒子, 只是一 种准粒子。 • 声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒。 • 由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为：
1 E nj j 2 j=1
N
• 声子可以通过热激发产生，也可以通过光子或其他粒子
L＝Na ——晶体链的长度
2 Na 2 简约区中波数q的取值总数 q a 2 a
＝N＝晶体链的原胞数
晶格振动格波的总数=N· 1 =晶体链的自由度数
四、格波的简谐性、声子概念
1 2 晶体链的动能： T mn 2 n 2 1 晶体链的势能： U n n1 2 n 2 1 1 2 系统的总机械能： H mn n n1 2 n 2 n
: 两原子的振动位相差
1. 光学波（optical branch）
2m cos e n 2 2 M m M m 2 Mm cos aq n
1 aq 2
i1 2 aq
1 e
i

2m cos
1 aq 2

e
n n 1 2 n
1 i t n aq 2
(设 M > m)
n Aeit naq
n Be
代入方程:
{
2 2 cos 1 aq A 2 m B 0 2
1 aq B 0 2 M A 2 cos 2
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
§3.1 一维单原子链的振动
一、运动方程及其解
n-2 n-1 n n+1 n+2
a
n-2 n-1
a
n
：力常数
n+1 n+2


只考虑最近邻原子间的相互作用：
fn n n 1 n n 1 n1 n 1 2n
2
久期方程：
2 M 2 2 cos 1 2 aq
2 cos 1 2 aq 2 m
2
0
2
M m M 2 m2 2Mm cos aq
Mm
＝
M m
Mm
1 1 2 sin 2 aq M m 4 Mm
格
波：
Ae
i t naq
连续介质弹性波： Ae
i t xq
对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动 对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相 q的物理意义：沿波的传播方向（即沿q的方向）上，单 位距离两点间的振动位相差。 格波解：晶体中所有原子共同参与的一种频率相同的振 动，不同原子间有振动位相差，这种振动以波
q0时

2
M m
Mm
M m
Mm
4 Mm 2 1 1 1 M m 2 sin 2 aq
4 Mm
2

1 1 1 2 2 aq M m

2
M m
Mm

推广：若每个原胞中有s个原子，一维晶格振动有s个色散关系 式（s支格波），其中：1支声学波,（s-1）支光学波。 晶格振动格波的总数＝sN＝晶体的自由度数。
§3.3 三维晶格振动
一、三维简单晶格的振动 l
l’ 0 第ℓ个原子的位矢:
l-l’
R 1 a1
2
a 2 3a3
在简谐近似下，系统的势能为（取平衡时U0＝0）：