圆的标准方程 课件-人教A版高中数学选择性必修第一册

②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;
③解——解方程组,求出a,b,r;
④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.
跟踪训练
跟踪训练 1．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，
－4)，求该三角形的外接圆的方程．
[解] 法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
又疑瑶台镜,
飞在青云端。
月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中
也大量描写、如果把天空看作一个平面,月亮当做一个圆,建立一个平面直角坐标系,那知
思考1
圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？
各要素与圆有怎样的关系？
定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆,
A.在圆上
B.在圆外
C.在圆内
D.以上都不对
)
解析:将点P的坐标代入圆的方程,则(-2)2+(-2)2=8>4,故点P在圆外.
答案:B
典例解析
例1.求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的标准方程.
思路分析:解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径,再写方程,也可
-2-3 = 0,
= -1,
解得 = -2,
2 = 10.
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
-3-(-5) 1
(方法 3)线段 AB 的中点为(0,-4),kAB= 2-(-2) = 2,
所以弦 AB 的垂直平分线的斜率 k=-2,
所以线段 AB 的垂直平分线的方程为:y+4=-2x,即 y=-2x-4.
定点称为圆心,定长称为圆的半径.
确定圆的因素：圆心和半径
圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.
思考2
已知圆心为A(a,b),半径为你能推导出圆的方程吗？
|MA|＝r,由两点间的距离公式,得 x－a2＋y－b2＝r,
化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
y
M
r
A
O
x
新知探究
一、 圆的标准方程
点睛：(1)当圆心在原点即A(0,0)时,方程为x2+y2=r2.
(2)当圆心在原点即A(0,0),半径长r=1时,方程为x2+y2=1,称为单位圆.
(3)相同的圆,建立坐标系不同时,圆心坐标不同,导致圆的方程不同,
但是半径是不变的.
小试牛刀
1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是
＝0.
x－7y＋10＝0，
由
2x＋y＋5＝0
得圆心的坐标为(－3,1)，
又圆的半径长 r＝ －3－02＋1－52＝5，
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
(1)几何法
它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半
径,代入圆的标准方程,从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三
个参数,从而确定圆的标准方程.它是求圆的方程最常用的方法,一
般步骤是:
①设——设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
人教2019 A版 选择性必修 一
第二章
直线和圆的方程
2.4.1圆的标准方程
学习目标
1.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特
征.(数学抽象)
2.能根据所给条件求圆的标准方程.(数学运算)
3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题.(数学运算)．
情境导学
《古朗月行》
唐 李白
小时不识月,
呼作白玉盘。
法二：因为 A(0,5)，B(1,－2)，所以线段 AB
1 3
的中点的坐标为2，2，直


－2－5
3
线 AB 的斜率 kAB＝
＝－7，因此线段 AB 的垂直平分线的方程是 y－2＝
1－0
1 1
x－ ，即 x－7y＋10＝0.同理可得线段 BC 的垂直平分线的方程是 2x＋y＋5
7 2
(
)
A.x2+(y-2)2=1
B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1
D.x2+(y-3)2=1
解析:设圆心为(0,b),则圆的方程为x2+(y-b)2=1,
又点(1,2)在圆上,所以1+(2-b)2=1,b=2,故方程为x2+(y-2)2=1.
答案:A
二、点与圆的位置关系
圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),设
以设出方程用待定系数法求解,也可以利用几何性质求出圆心和半径.
解:(方法1)设点C为圆心,
∵点C在直线:x-2y-3=0上,
∴可设点C的坐标为(2a+3,a).
又∵该圆经过A,B两点,∴|CA|=|CB|.
∴ (2 + 3-2)2 + ( + 3)2 = (2 + 3 + 2)2 + ( + 5)2 ,
因为 A(0,5)，B(1,－2)，C(－3,－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标
准方程，
0－a2＋5－b2＝r2，

于是有1－a2＋－2－b2＝r2，
－3－a2＋－4－b2＝r2.

a＝－3，

解得b＝1，
r＝5.

故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
解得 a=-2.
∴圆心坐标为 C(-1,-2),半径 r= 10.
故所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
(方法2)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心坐标为(a,b),
(2-)2 + (-3-)2 = 2 ,
由条件知 (-2-)2 + (-5-)2 = 2 ,
d=|PC|= (x0 -a)2 + (y0 -b)2 .
位置关系 d 与 r 的大小
图
示
点 P 的坐标的特点
点在圆外 d>r
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点在圆上 d=r
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点在圆内 d<r
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
2.点P(-2,-2)和圆x2+y2=4的位置关系是(
故圆心是直线 y=-2x-4 与直线 x-2y-3=0 的交点,
= -2-4,
= -1,
由
得
= -2.
-2-3 = 0,
即圆心为(-1,-2),圆的半径为 r= (-1-2)2 + (-2 + 3)2 = 10,
所以所求圆的标准方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
归纳总结
圆的标准方程的两种求法