高考数学 第4节 三角函数的图象课件

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描点，作出以上各点
用平滑曲线连接各点，得 y＝3sin(12x－π4)在[0,4π]的图象． (2)y＝3sin(12x－π4)的周期 T＝4π. 振幅为 3，初相为－π4.
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(1)当画函数 y＝Asin(ωx＋φ)在 x∈R 上的图象时，一般令 ωx＋φ＝0，π2，π，32π，2π，即 可得到所画图象的特殊点坐标．
＋π6)的图象(
)
(A)向左平移π4个单位长度
(B)向右平移π4个单位长度
(C)向左平移π2个单位长度
(D)向右平移π2个单位长度
思路点拨：先确定平移的方向，再把原函数和新函数的解析式变形，从而得到平移的单
位数．
解析：∵y＝sin(2x－π3)＝sin[2(x－π6)]，y＝sin(2x＋π6)＝sin[2(x＋1π2)]，
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1．函数 y＝sin(2x－π3)在区间[－π2，π]的简图是( A )
解析：当 x＝－π2时，y＝ 23>0，排除 B 和 D，又当 x＝π6时，y＝0，排除 C，故选 A.
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2．(2010 年高考四川卷)将函数 y＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动1π0个单位长度， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( C )
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【例 1】 (2010 年合肥模拟)将函数 y＝sin(2x＋π3)的图象上各点向右平移π6个单位长度， 再把每一点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标保持不变，所得函数图象的一条对称轴是 ()
(A)x＝π8 (B)x＝π6 (C)x＝π3 (D)x＝π2 解析：依题意知变换图象后所得图象对应函数的解析式为 y＝sin 4x，令 4x＝kπ＋π2，k∈ Z，则 x＝k4π＋π8，k∈Z.将各选项代入验证可知只有 A 符合，故选 A.
4．y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中参数的意义 当函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一个振动量时，则 A 叫做振幅，T ＝2ωπ叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx＋φ 叫做相位，φ 叫做初相． 5．三角函数图象的对称特征 (1)y＝sin x 图象的对称中心是：(kπ，0)，k∈Z. 对称轴方程是：x＝π2＋kπ，k∈Z. (2)y＝cos x 图象的对称中心是：(π2＋kπ，0)，k∈Z. 对称轴方程是：x＝kπ(k∈Z)． (3)y＝tan x 图象的对称中心是：(k2π，0)，k∈Z，无对称轴．
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(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴由 ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)确定，对称中心的横坐标由 ωx ＋φ＝kπ(k∈Z)求得；而对于函数 y＝Acos(ωx＋φ)，其对称轴方程由 ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定， 对称中心的横坐标由 ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得．
(2)函数 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的图象的对称轴都经过函数图象的最值点，对 称中心的横坐标都是函数的零点，利用这一关系可以解决相应的问题．
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根据三角函数的图象求函数的解析式，关键是在图象上找到几个确定的点 的坐标，由最高点或最低点确定出 A 的值，再由图象确定出最小正周期，从而求出 ω，最后 根据特殊点的坐标确定出 φ，或根据图象平移的规律，确定 φ 值．
变式探究 31：(2009 年高考辽宁卷)已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，f(π2)＝
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【例 2】 (2010 年高考山东卷)已知函数 f(x)＝12sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－12sin(π2＋φ)(0＜φ ＜π)，其图象过点(π6，12)．
(1)求 φ 的值； (2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x) 的图象，求函数 g(x)在[0，π4]上的最大值和最小值． 解：(1)因为函数 f(x)的图象过点(π6，12)， 所以12＝12sinπ3sin φ＋cos2π6cos φ－12sin(π2＋φ)，
1.三角函数的图象在每年的高考中都有考 查，特别是y＝sin x，y＝cos x和y＝tan x 图象的应用，y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换 、识别及简单性质(如对称性)． 2.高考中多以选择题、填空题的形式考查
图象识别、应用和图象变换，有时也会 在解题中作为一问考查，难度不大.
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令 x＋1π2＋φ＝x－π6，则 φ＝－π4，所以 y＝sin(2x＋π6)的图象向右平移π4个长度单位可得到
y＝sin(2x－π3)的图象，故选 B.
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在进行三角函数图象的左右平移时应注意以下几点：一要弄清楚是平移哪个函数的图象， 得到哪个函数的图象；二要注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公 式化为同名函数；三是由 y＝Asin ωx 的图象得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数 应为|ωφ|而不是|φ|.
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质疑探究：由 y＝Asin x 的图象按顺序：“周期变换→相位变换”得到 y＝Asin(ωx＋φ) 的图象，与按“相位变换→周期变换”得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图象相比，有什么不同？
提示：按“相位变换→周期变换”平移的单位是|φ|个单位长度，而按“周期变换→相位 变换”平移的单位是|ωφ |个单位长度．
(A)y＝sin(2x－1π0) (B)y＝sin(2x－π5) (C)y＝sin(12x－1π0) (D)y＝sin(12x－2π0)
解析：将 y＝sin x 的图象上所有点向右平移1π0个单位长度后，得到函数为 y＝sin(x－1π0)， 再将其图象各点横坐标伸长到原来的 2 倍，可得函数 y＝sin(12x－1π0)，故选 C.
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已知函数图象求解析式或参数值
【例 3】 已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中 A>0，ω>0,0<φ<π2)的图象与 x 轴的交点 中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为 M(23π，－2)．
(1)求 f(x)的解析式； (2)当 x∈[1π2，π2]时，求 f(x)的值域． 思路点拨：求解析式实质就是求 A、ω、φ 的值，A 由最低点纵坐标可求，ω 由函数的周 期确定，φ 的值可通过点 M 坐标求得．
3 3 cos
2x)＋12，
可知
a＝－
3 3.
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法二：显然 x＝π3是函数 y＝sin2(x＋π6)的一条对称轴， 故应有
|sin 23π＋acos 23π|＝ 1＋a2.
即| 23＋a·(－21)|＝ 1＋a2， ∴3a2＋2 3a＋1＝0， ∴( 3a＋1)2＝0，
∴a＝－
3 3.
(2)当画函数 y＝Asin(ωx＋φ)在某个指定区间上的图象时，一般先求出 ωx＋φ 的范围，然 后在这个范围内，选取特殊点，连同区间的两个端点一起列表．
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三角函数图象的变换
【例 2】 (2010 年高考全国卷Ⅱ)为了得到 y＝sin(2x－π3)的图象，只需把函数 y＝sin(2x
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3．(2010 年高考重庆卷)已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则 (D)
(A)ω＝1，φ＝π6 (B)ω＝1，φ＝－π6 (C)ω＝2，φ＝π6 (D)ω＝2，φ＝－π6
解析：由图象可知，T＝4(172π－π3)＝π， ∴ω＝2，所以 y＝sin(2x＋φ)． 又图象过点(π3，1)， ∴23π＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z， ∴φ＝2kπ－π6(k∈Z)，又|φ|<π2， ∴φ＝－π6，故选 D.
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4．(2010 年温州市二模改编)若函数 y＝sin2(x＋π6)与函数 y＝sin 2x＋acos 2x 的图象的对 称轴相同，则 a＝________.
解析：法一：由 y＝sin2(x＋π6)＝1－cos22x＋π3 ＝－12cos(2x＋π3)＋21
＝
3 4 (sin
2x－
答案：－
3 3
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画 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
【例 1】 已知函数 y＝3sin(12x－π4) (1)作函数在[0,4π]的图象； (2)求此函数的周期、振幅、初相． 解：函数 y＝3sin(12x－π4)的周期为 T＝4π. (1)在 x∈[0,4π]上确定关键点列表：
(对应学生用书第 50～最低点为 M(23π，－2)得 A＝2. 由 x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2得T2＝π2，即 T＝π.∴ω＝2Tπ＝2ππ＝2. 由点 M(23π，－2)在图象上得 2sin(2×23π＋φ)＝－2， 即 sin(43π＋φ)＝－1， 故43π＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ－116π(k∈Z)． 又 φ∈(0，π2)，∴φ＝π6，故 f(x)＝2sin(2x＋π6)． (2)∵x∈[1π2，π2]，∴2x＋π6∈[π3，76π]， 当 2x＋π6＝π2，即 x＝π6时，f(x)取得最大值 2；当 2x＋π6＝76π，即 x＝π2时，f(x)取得最小值 －1，故 f(x)的值域为[－1,2]．
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变式探究 21：(2010 年宁波市统考)函数 f(x)＝sin(π3－x)，则要得到其导函数 y＝f′(x)的 图象，只需将函数 f(x)的图象( )
(A)向左平移23π个单位 (B)向右平移23π个单位 (C)向左平移π2个单位 (D)向右平移π2个单位 解析：f′(x)＝－cos(π3－x)＝－cos(x－π3)＝sin(x＋76π)， 又∵f(x)＝sin(π3－x)＝－sin(x－π3)＝sin[π＋(x－π3)] ＝sin(x＋23π)＝sin(x＋76π－π2)， ∴要得到其导函数 y＝f′(x)的图象，只需将函数 y＝f(x)的图象向左平移π2个单位，故选 C.
第4节 三角函数(sānjiǎhánshù)的图象
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(对应学生用书第 49 页)
考纲展示
考纲解读
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的 图象，并能结合图象理解三角函数的性 质．
2.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义． 能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数 A，ω，φ对函数图象变化的影响． 3.会用三角函数解决一些简单实际问题.
1．三角函数(sānjiǎhánshù)的图象
函数
y＝sin x
(对应学生用书第 49～50 页)
y＝cos x
y＝tan x
图象
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2.“五点法”作 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图 五点的取法是：设 X＝ωx＋φ，由 X 取 0，π2，π，32π,2π 来求相应的 x 值及对应的 y 值， 再描点作图． 3．图象变换 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象可由函数 y＝sin x 的图象作如下变换得到： (1)相位变换：y＝sin x→y＝sin(x＋φ)，把 y＝sin x 图象上所有的点向左(φ>0)或向右(φ<0) 平行移动|φ|个单位长度． (2)周期变换：y＝sin(x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把 y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标伸长 (0<ω<1)或缩短(ω>1)到原来的ω1 倍(纵坐标不变)． (3)振幅变换：y＝sin(ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把 y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐标伸 长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍(横坐标不变)．
－23，则 f(0)等于(
)
(A)－23
(B)－12
2 (C)3
1 (D) 2
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解析：由题意可知， 此函数的周期 T＝2(1112π－172π)＝23π， 故2ωπ＝23π，∴ω＝3，f(x)＝Acos(3x＋φ)． f(π2)＝Acos(32π＋φ)＝Asin φ＝－23.又由题图可知 f(172π)＝Acos(3×71π2＋φ)＝0，∴f(0)＝Acos φ ＝23.故选 C.