北师大版高中数学高一必修4课时跟踪检测(二十二)向量应用举例

课时跟踪检测（二十二） 向量应用举例
层级一 学业水平达标
1．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为 ( )
A ．v 1－v 2
B ．v 1＋v 2
C ．|v 1|－|v 2| D.⎪⎪⎪
⎪v 1v 2 解析：选B 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量．
2．过点A (2,3)，且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为 ( )
A ．2x ＋y －7＝0
B ．2x ＋y ＋7＝0
C ．x －2y ＋4＝0
D ．x －2y －4＝0
解析：选A 设P (x ，y )是所求直线上除A 点外的任一点，则AP ·a ＝0，又AP ＝(x －2，y －3)，
∴2(x －2)＋(y －3)＝0，当x ＝2，y ＝3时也成立，
∴所求的直线方程为2x ＋y －7＝0.
3．已知△ABC 中，BC 边最长，AB ＝a ，AC ＝b ，且a·b ＞0，则△ABC 的形状为 ( )
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等腰直角三角形
解析：选C ∵a·b ＝|a |·|b |·cos ∠ABC ＞0，
∴cos ∠BAC ＞0，∴0°＜∠BAC ＜90°，
又∵BC 边最长，则∠BAC 为△ABC 中最大的角，故△ABC 为锐角三角形．
4．已知作用在A 点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，且A (1,1)，则合力F ＝
F 1
＋F 2＋F 3的终点坐标为
( )
A ．(9,1)
B ．(1,9)
C ．(9,0)
D ．(0,9) 解析：选A F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)．
∵起点坐标为A (1,1)，
∴终点坐标为(9,1)．故选A.
5．在△ABC 中，AB ＝3，AC 边上的中线BD ＝5，AC ·AB ＝5，则AC 的长为 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选B ∵BD ＝AD －AB ＝12
AC －AB ， ∴2BD ＝⎝⎛⎭⎫12AC －AB 2＝14
2AC －AC ·AB ＋2AB ， 即14
2AC ＝1.∴|AC |＝2，即AC ＝2. 6．若菱形ABCD 的边长为2，则|AB －CB ＋CD |等于________．
解析：|AB －CB ＋CD |＝|AB ＋BC ＋CD |＝|AC ＋CD |＝|AD |＝2.
答案： 2
7．如图，作用于同一点O 的三个力F 1，F 2，F 3处于平衡状态，已知|F 1|＝1，
|F 2|＝2，F 1与F 2的夹角为2π3
，则F 3的大小为________． 解析：∵F 1，F 2，F 3三个力处于平衡状态，
∴F 1＋F 2＋F 3＝0，即F 3＝－(F 1＋F 2)，
∴|F 3|＝|F 1＋F 2|
＝
(F 1＋F 2)2＝F 21＋2F 1·F 2＋F 22 ＝ 1＋2×1×2×cos 2π3
＋4＝ 3. 答案： 3
8．一艘船从点A 出发以2 3 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的行驶速度
为4 km/h ，则河水速度的大小为________km/h.
解析：如图所示，船实际行驶的速度实际上是船速与水速的合成，
由向量加法的几何意义知，|v 水|＝
42－(23)2＝2.
答案： 2
9．如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，
求证：AD ⊥BC .
证明：设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝e ， DB ＝c ，DC ＝d ，
则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ，
所以a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知可得a2－b2＝c2－d2，
所以c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，
所以e·(c－d)＝0.
因为BC＝BD＋DC＝d－c，
所以AD·BC＝e·(d－c)＝0，
所以AD⊥BC，即AD⊥BC.
10．两个力F1＝i＋j，F2＝4i－5j作用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点B(7,0)(其中i，j分别是与x轴，y轴同方向的单位向量)．求：
(1)F1，F2分别对该质点所做的功；
(2)F1，F2的合力F对该质点所做的功．
解：AB＝(7－20)i＋(0－15)j＝－13i－15j.
(1)F1所做的功W1＝F1·s＝F1·AB
＝(i＋j)·(－13i－15j)
＝－28(J)，
F2所做的功W2＝F2·s＝F2·AB
＝(4i－5j)·(－13i－15j)＝23(J)．
(2)因为F＝F1＋F2＝5i－4j，
所以F所做的功W＝F·s＝F·AB
＝(5i－4j)·(－13i－15j)＝－5(J)．
层级二应试能力达标
1．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为() A．－1 B．1
C．2 D．－1或2
解析：选D l的方向向量为v＝(－2，m)，
由v与(1－m,1)平行得－2＝m(1－m)，∴m＝2或－1.
2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为() A．40 N B．10 2 N
C．20 2 N D．10 3 N
解析：选B|F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝102，
当θ＝120°时，由平行四边形法则知
|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 2 N.
3．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生的位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为() A．lg 2 B．lg 5
C．1 D．2
解析：选D∵F1＋F2＝(1,2lg 2)，
∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)
＝2lg 5＋2lg 2＝2.
4．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|OC|，NA＋NB＋NC＝0，PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，则点O，N，P依次为△ABC的() A．重心、外心、垂心B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心D．外心、重心、内心
解析：选C由|OA|＝|OB|＝|OC|，
知点O为△ABC的外心．
如图，∵NA＋NB＋NC＝0，
∴NB＋NC＝－NA.
依向量加法的平行四边形法则，
知|NA|＝2|ND|(D为BC的中点)，
同理可得|NB|＝2|NE|，|NC|＝2|NF|，
故点N为△ABC的重心．
∵PA ·PB ＝PB ·
PC ， ∴(PA －PC )·PB ＝CA ·PB ＝0，∴PB ⊥CA ，
同理，得PC ⊥AB ，PA ⊥BC ，
∴点P 为△ABC 的垂心．
5．某物体做斜抛运动，初速度|v 0|＝10 m /s ，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物
体在水平方向上的速度是________m/s.
解析：设该物体在竖直方向上的速度为v 1，水平方向上的速度为v 2，
如图所示，由向量的平行四边形法则以及直角三角形的知识可知，
|v 2|＝|v 0|cos 60°＝10×12
＝5(m /s)，所以该物体在水平方向上的速度是5 m/s. 答案：5
6．如图所示，两块斜边长相等的直角三角形板拼在一起．
若AD ＝x AB ＋y AC ，则x ＝________，y ＝____________.
解析：作DF ⊥AB ，交AB 的延长线于点F .设AB ＝AC ＝1，则BC
＝DE ＝ 2.
又∠DEB ＝60°，∴BD ＝62
. 由∠DBF ＝45°，得DF ＝BF ＝
62×22＝32， ∴AD ＝AF ＋FD ＝⎝⎛⎭⎫1＋
32AB ＋32AC ， ∴x ＝1＋32，y ＝32
. 答案：1＋
32 32 7．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)．
(1)求AB ·AC 和∠ACB 的大小，并判断△ABC 的形状；
(2)若M 为BC 边的中点，求|AM |.
解：(1)由题意得AB ＝(3，－1)，AC ＝(－1，－3)，
AB ·AC ＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0.
所以AB ⊥AC ，即∠A ＝90°.因为|AB |＝|AC |，
所以△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝45°.
(2)因为M为BC中点，所以M(2,0)．
又A(1,2)，所以AM＝(1，－2)．
所以|AM|＝12＋(－2)2＝ 5.
8．如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂线的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.
(1)判断|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
解：(1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝
|G| cos θ，
|F2|＝|G|tan θ，
当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
(2)由|F1|＝G
cos θ，|F1|≤2|G|，得cos θ≥1 2.
又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°.。