高考理科数学二轮考前复习：专题三 高考解答题的审题与答题示范(三) 立体几何类解答题

高考解答题的审题与答题示范(三)
立体几何类解答题
［解题助思·快速切入］
[思维流程]——立体几何问题重在“建”——建模、建系
[审题方法]——审图形
图形或者图象的力量比文字更为简洁而有力，挖掘其中蕴含的有效信息，正确理解问题
是解决问题的关键．对图形或者图象的独特理解很多时候能成为问题解决中的亮点．［满分示例·规范答题］
典例
(本题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面P AB⊥平面P AD；
(2)若P A＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A-PB-C的余弦值.
审题
路线
(1)∠BAP＝∠CDP＝90°―→AB⊥AP，CD⊥PD AB∥CDAB⊥PD―→AB⊥平面
P AD―→结论
(2)由(1)的结论―→AB⊥平面P AD在平面P AD作PF⊥ADAB⊥PF―→PF⊥平面
ABCD―→以F为坐标原点建系―→一些点的坐
标―→平面PCB、平面P AB的法向量―→二面角的余弦值
标准答案阅卷现场
(1)由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，
CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，又PD∩P A＝P，
PD，P A⊂平面P AD，
所以AB⊥平面P AD.①
又AB⊂平面P AB，②
所以平面P AB⊥平面P AD
垂直模型．③
第(1)问第(2)问
得①②③④⑤⑥⑦⑧⑨
分21121112 1
点4分8分
第(1)问踩点得分说明
①证得AB⊥平面P AD得2分，直接写出不
得分；
②写出AB⊂平面P AB得1分，此步没有扣1
分；
(2)在平面P AD 内作PF ⊥AD ，垂足为点F ，AB ⊥平面P AD ，故AB ⊥PF ，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，F A →
的方向为x 轴正方
向，|AB →|为单位长度，建立空间直角坐标系．④ 由(1)及已知可得A ⎝⎛⎭⎫22，0，0，
P ⎝
⎛⎭⎫0，0，22，B ⎝⎛
⎭
⎫22，1，0， C ⎝
⎛⎭⎫－
22，1，0.所以PC →＝⎝⎛⎭⎫－22
，1，－22，CB →＝(2，0，0)，P A →
＝⎝⎛⎭⎫22，0，－22，AB →＝
(0，1，0)．⑤
设n ＝(x ，y ，z )是平面PCB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·
PC →＝0，n ·CB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－22x ＋y －22z ＝0，2x ＝0，可取n ＝
(0，－1，－2)．⑥
设m ＝(x ′，y ′，z ′)是平面P AB 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·
P A →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧22x ′－22z ′＝0，y ′＝0，可取m ＝(1，
0，1)．⑦
则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－33，⑧
由图知二面角A -PB -C 为钝二面角， 所以二面角A -PB -C 的余弦值为－33
.⑨ ③写出结论平面P AB ⊥平面P AD 得1分. 第(2)问踩点得分说明
④正确建立空间直角坐标系得2分； ⑤写出相应的坐标及向量得1分(酌情)；
⑥正确求出平面PCB 的一个法向量得1分，错误不得分；
⑦正确求出平面P AB 的一个法向量得1分，错误不得分；
⑧写出公式cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |得1分，正确求出值再得1分；
⑨写出正确结果得1分，不写不得分.。