人教版七年级下册第九章不等式和一元一次不等式的定义、性质、解法

不等式和一元一次不等式的定义、性质、解法
不等式
知识点讲解1：不等式的概念
不等式：用不等号连接起来的式子，叫不等式。

常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”．
注意：“不大于”与“不小于”
“不大于”指的是“等于或小于”，通常用符号“”表示．例如，不大于
可以表示为
（读作“小于或等于
”）．
类似地，“不小于”指的是“等于或大于”，通常用符号“”表示（读作“大于或等于”）．
例1【判断不等式】
1.式子：①3＜5；②4x+5＞0；③x=3；④x2+x；⑤x≠﹣4；⑥x+2≥x+1．其中是不等式的有（）A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
2.下列式子①
；②；③；④2x ＋3y ≤12；⑤m ≠2中，是不等式的有（填编号）：
．
例2【题类:由文字列不等式】
1.用不等式表示数量的不等关系：的倍不小于．
学生/课程年级学科授课教师
日期
时段
教学目标
1、掌握不等式的概念及其解集；
2、掌握不等式的基本性质；
3、掌握一元一次不等式的基本解法；掌握含字母参数的一元一次不等式的解法.
重、难点
不等式的解法和含参求解问题
2.列出下列不等式：
（1）a是非负数；（2）x与1的和为正数；（3）x、y的和不小于2z2；（4）a的与b的3倍的差的绝对值小于2；（5）x、y的平方和大于1
针对练习
1.下列各式中，不是不等式的是（）
A．B．C．D．
2.已知“①x+y=1；②x>y；③x+2y；④x2-y≥1；⑤x<0”属于不等式的有（）
2个 B.3个 C.3个 D.4个
3.下面列出的不等式中，正确的是（）
A．a不是负数，可表示成a＞0B．x不大于3，可表示成x＜3
C．m与4的差是负数，可表示成m﹣4＜0D．x与2的和是非负数，可表示成x+2＞0
4.用不等式表示数量的不等关系：
(1)的与的差大于；(2)的与的和小于；
(3)的倍与的的差是非负数；(4)与的和的不大于．
知识点讲解2：不等式的解与解集
1、与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
例如，和是不等式的解；和不是不等式的解．
2、一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．
例如，是的解集．
3.不等式的解集在数轴上的表示
在数轴上表示不等式解集方法：
（1）画数轴
（2）定边界点，含等号的用实心，不含等号的用空心；
（3）定方向，大于向右画，小于向左画
图表示图表示图表示．例1【题类:在数轴上表示解集】
1.在数轴上表示不等式的解集，正确的是（）
A．B．
C．D．
例2【题类:由数轴判断不等式的解集】
1.如图，在数轴上表示的解集对应的是()．
A．－2＜x＜4B．－2＜x≤4C．－2≤x＜4D．－2≤x≤4
2.如图，数轴上所表示的的取值范围为（）
A．B．C．D．
例3【题类:从不等式的解集判断解】 1.在下列所表示的不等式的解集中，不包括的是（
）
A．
B．
C．
D．
2.不等式：的非负整数解为．知识点讲解2：不等式的性质
性质1：不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a>b，那么a±c>b±c．
性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a>b，c>0，那么ac>bc（或
c
b
c a >）．性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a>b，c<0，那么ac<bc（或
c
b
c a <）．不等式的其他性质：①若a>b，则b<a；②若a>b，b>c，则a>c；③若a≥b，且b≥a，则a=b；④若a≤0，则a=0．
例1【题类:判断不等式变形是否成立】1.下列不等式变形正确的是（）A．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2
C．由﹣
＞﹣1，得﹣
＞﹣a
D．由a＞b，得c﹣a＜c﹣b
2.已知，则下列四个不等式中，正确的个数有（）
A．个B．个C．个D．个
例2【题类:由解集判定参数问题】
1.如果关于x的不等式（a﹣1）x＞a﹣1的解集为x＜1，那么a的取值范围是（）A．a≤1
B．a≥1
C．a＜1
D．a＜0
2.由，得
的条件是（
）A．
B．
C．
D．
3.已知不等式4x-a≤0的正整数解是1，2，则a的取值范围是（
）
A ．8＜a ＜12
B ．8≤a ＜12
C ．8＜a ≤12
D ．8≤a ≤12
针对练习
1.利用不等式的基本性质，用“”或“>”号填空．若
，
，则
．
2.已知，，均为实数，若，．下列结论不一定正确的是（）
A．
B．
C．
D．
3.已知a<b，则下列四个不等式中，正确的个数有（）
①4a-5<4b-5；②-2a+c <-2b+c；
③ad 2
<bd 2
；④
02
3
a 23>-
b .A.0个
B.1个
C.2个
D.3个4.以下说法正确的个数是（）⑴若，则
⑵若，则⑶若，则⑷若
，则
A．个
B．个
C．个
D．个
5.若关于x的的不等式(1－a)x＞1可化为x＜，则a的取值范围是_____________．
6.如果关于x的不等式（a+2014）x＞a+2014的解集为x＜l．那么a的取值范围是（）
A．a＞﹣2014B．a＜﹣2014C．a＞2014D．a＜2014
7.如图，是关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集，则a的取值范围是（）
8.已知关于x的不等式3m-2x<5的解集是x>2，则m的值是．
9.如果不等式ax+b＞0的解集是x＞2，则不等式bx-a＜0的解集是______
一元一次不等式
知识点讲解1：一元一次不等式的定义
类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式．
例如，，都是一元一次不等式．
注：其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)．
例1.【题类：判断一元一次不等式】
1.下列不等式中，一元一次不等式有（）
①x2+3＞2x②﹣3＞0③x﹣3＞2y④≥5π⑤3y＞﹣3．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2.下列各式是一元一次不等式的有（填序号）．
例2.【题类:一元一次不等式定义求参】1.若5＞1﹣ x
)2﹣(m 1
+2m 是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为
．
2.若是关于的一元一次不等式，则．
针对练习
1.下列不等式中：①x >-3；②xy ≥1；③x 2
<3；④132≤-x x ；⑤11
>+x
x A．1个
B．2个
C．3个
D．4个2.下列各式中，属于一元一次不等式的是（）
A．3x－2>0
B．2>－5
C．3x－2>y＋1
D．3y＋5<
3.下列数学表达式中，是不等式的有，是一元一次不等式的有。

（1）3x﹣7＞0；（2）2x+y＞3；（3）2x2﹣x＞2x2﹣1；（4）+1＜7；（5）﹣8＜0；
（6）a=3A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
4.若不等式（k﹣1)2
k x
+2＞
3
1
是一元一次不等式，则k=．
5.若是关于的一元一次不等式，则．
6.已知是关于的一元一次不等式，求的值；
知识点讲解2：解一元一次不等式
一元一次不等式的解的全体叫做一元一次不等式的解集．
例如，所有比小的数都是不等式的解，不等式的解集为．
2、解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）未知数的系数化为1。

通过这些步骤把一元一次不等式转化为x＞a（x≥a）或x＜a（x≤a）的形式的过程叫做解一元一次不等式。

说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．
例1【题类：解不等式求解集】
1.解下列不等式，并在数轴上表示出来．
①15－9x≤10－4x②
③④
例2【题类:常规一元一次不等式求整数解】
1.不等式的所有非负整数解的和等于．
2.x为何值时，代数式的值是非负数？
3.解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来，并求它的最小整数解.
例5【题类：知解集，求系数含参不等式中参数的值或取值范围】
1.关于x的方程3x+2m=x-5的解为正数，则m的取值范围是多少．
2.当k取何值时，关于x的方程2k＝3(x k)＋1的解为非负数？
3.已知关于x的不等式x+4＜2x-a的解也是不等式＜的解，求a的取值范围．
例5【题类：知系数含参不等式的解集求新系数含参不等式解集】
1.如果关于x的不等式（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，试求关于x的不等式mx＞n的解集．
2.已知关于x的不等式（4a－3b）x>2b－a的解集为x<，求不等式ax>b的解集．
3.已知，n为常数，若的解集为，则的解集是（）A．B．C．D．
针对练习
1、解不等式并用数轴表示解集．
①4x-5<10x+7②③﹣1＞6x
④1-≤2+⑤
2.已知：不等式≤2+x
（1）解该不等式，并把它的解集表示在数轴上；
（2）若实数a满足a＞2，说明a是否是该不等式的解．
3.取哪些非负整数时，的值大于与的差．
4.不等式的正整数解有（）
A．个B．个C．个D．个
5.若实数3是不等式2x﹣a﹣2＜0的一个解，则a可取的最小正整数为（）
A．2B．3C．4D．
6.已知关于的不等式，只有三个负整数解，求的范围．
7.已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．
8.设a，是常数，不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（）A．B．C．D．
10.关于的不等式的解集如图所示，则的取值是（）
A．B．C．D．
11.如果关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是．
12.已知关于的不等式的解集是，求的取值范围．
13.已知不等式的正整数解恰是，，，求的取值范围．
14.已知，求关于x的不等式的解
15.已知是方程的解，那么不等式的解集是_____________．
知识点讲解3：系数含参的一元一次不等式求解集（分类讨论选讲）【系数含参不等式的解法】
系数含参不等式，解集分类讨论：
关于的不等式，有：
①当时，不等式的解集为：；
②当时，不等式的解集为：；
③当且时，不等式的解集为任意数；
④当且时，不等式无解．
例1【题类:系数含参不等式，解集分类讨论】
1.解关于的不等式：＜．
针对练习
1.若a＜0，则不等式ax－b≥0的解集是________．
2.分别就的不同取值，讨论关于的不等式的解的情况．
3.已知关于的不等式．
(1)当时，求该不等式的解集；
(2)取何值时，该不等式有解，并求出解集．
能力展示
1.数学表达式：①﹣2＜0；②3x﹣5＞0；③x=1；④x2﹣x；⑤x≠﹣2；⑥x+2＞x﹣1中，不等式有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2.下列各式：（1）﹣x≥5；（2）y﹣3x＜0；（3）+5＜0；（4）x2+x≠3；（5）+3≤3x；（6）x+2＜0是一元一次不等式的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3.已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（）
A．a2＜b2B．2a＜2b C．a+2＜b+2D．﹣a＜﹣b
4.若a＜b，则下列各式中一定正确的是（）
A．ab＜0B．ab＞0C．a﹣b＞0D．﹣a＞﹣b
5.根据不等式的基本性质，用不等号填空.
（1）若；（2）若
（3）若（4）若
（5）若x<y，则
6.若m＞n，则下列不等式中成立的是（）．
A．m＋a＜n＋a B．ma＜na C．ma2＞na2D．a m＜a n
7.若关于x的不等式（1﹣a）x＞2可化为x＜，则a的取值范围是．
8.2015年2月1日宿迁市最高气温是8℃，最低气温是﹣2℃，则当天宿迁市气温变化范围t℃是（）A．t＞8B．t＜2C．﹣2＜t＜8D．﹣2≤t≤8
9.某校男子跑的记录是，在今年的校田径运动会上，肖华的跑的成绩是，打破了该校男子跑的记录．上述数量关系可用不等式表示为．
10.下列是一元一次不等式的是（）
A．B．x2﹣2＜1C．3x+2D．2＜x﹣2
11.下列各式中，一元一次不等式是（）
A．x≥B．2x＞1﹣x2C．x+2y＜1D．2x+1≤3x
12.关于x的不等式x﹣m＞0，恰有两个负整数解，则m的取值范围是（）
A．﹣3＜m＜﹣2B．﹣3≤m＜﹣2C．﹣3≤m≤﹣2D．﹣3＜m≤﹣2
13.不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解为（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
14.若（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m=．
15.如果关于的不等式的正整数解为，，，则应取怎样的值？
16.已知关于的不等式的解集是，求的值．
17.不等式的解集为，则的值为（）
A．B．C．D．
18.不等式的解集为，则的值为（）
A．B．C．D．
19.已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值是．
19.已知不等式的解集为，则a的值为．
21.已知、为常数，若的解集是，求不等式的解集．
15.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为。