周世勋量子力学课件第8章

ˆ = H ( q1 , q 2 , L q i L q j L q N , t ) Φ ( q1 , q 2 , L q j L q i L q N , t )
表明： （q i , q j ) 调换前后的波函数都是Schrodinger 方程的解。 根据全 同性原 理：
⎧ Φ (q1 , q 2 ,L q i L q j L q N , t ) ⎪ 描写同一状态。 ⎨ ⎪ Φ (q1 , q 2 ,L q j L q i L q N , t ) ⎩
所以 对称波函数是
λ = ± 1，
ˆ Ρ ij 本征值 ˆ Ρ ij 本征值
λ = + 1 的本征态；
反对称波函数是
λ = − 1 的本征态。
（三）波函数的对称性不随时间变化
全同粒子体系波函数的这种对称性不随时间变化， 即初始时刻是对称的，以后时刻永远是对称的； 初始时刻是反对称的，以后时刻永远是反对称的。
2 对称和反对称波函数
考虑全同粒子体系的 含时Schrodinger 方程
∂ ih Φ ( q1 , q 2 ,L q i L q j L q N , t ) ∂t ˆ = H ( q1 , q 2 , L q i L q j L q N , t )Φ ( q1 , q 2 , L q i L q j L q N , t )
将方程中（q i , q j ) 调换，得：
∂ ih Φ(q1 , q2 , L q j L qi L q N , t ) ∂t ˆ = H (q1 , q2 , L q j L qi L q N , t )Φ(q1 , q2 , L q j L qi L q N , t )
由于Hamilton量 对于（q i , q j ) 调 换不变
例如：
2 1
H（氘核）和 1
3 1
4 2
He （ α 粒子）是 2
3 2
Bose 子
例如：
H （氚核）和 1
He 1 是 Fermi 子
奇数个 Fermi子组成
奇数个Fermi子组成
§2 全同粒子体系波函数 Pauli 原理
（一）2 个全同粒子波函数 （二）N 个全同粒子体系波函数 （三）Pauli 原理
1
⎧ 位置 ⇒ 轨道 ⎨ ⎩ 速度
2 1
2
可判断哪个是第一个粒子哪个是第二个粒子
3 微观粒子的不可区分性 服从 微观粒子运动 量子力学 用 波函数描写
在波函数重叠区粒子是 不可区分的 4 全同性原理 全同粒子所组成的体系中，二全同粒子互相代 换不引起体系物理状态的改变。 全同性原理是量子力学的基本原理之一。
所以
λ =1
λ2 = 1
⇒
λ = ±1
对称波函数
变，即
二粒子互换后波函数不
Φ ( q1 , q 2 ,L q i L q j L q N , t ) = Φ ( q1 , q 2 ,L q j L q i L q N , t )
λ = −1
二粒子互换后波函数变 号，即 Φ ( q1 , q 2 ,L q i L q j L q N , t ) = − Φ ( q1 , q 2 ,L q j L q i L q N , t )
§1 全同粒子的特性
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（一）全同粒子和全同性原理 （二）波函数的对称性质 （三）波函数的对称性不随时间变化 （四）Fermi 子和 Bose 子
（一）全同粒子和全同性原理
1 全同粒子 质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。 2 经典粒子的可区分性 经典力学中，固有性质完全相同的两个粒子，是可 以区分的。因为二粒子在运动中，有各自确定的轨 道，在任意时刻都有确定的位置和速度。
ˆ ˆ ˆ ˆ [ H 0 ( q 1 ) + H 0 ( q 2 )] Φ （ q 1 , q 2 ) = [ H 0 ( q 1 ) + H 0 ( q 2 )] φ i ( q 1 )φ j ( q 2 )
ˆ ˆ = [ H 0 ( q 1 )φ i ( q 1 )] φ j ( q 2 ) + φ i ( q 1 )[ H 0 ( q 2 )φ j ( q 2 )]
aq1q21q1q2?q2q12上述讨论是适用于二粒子间无相互作用的情况当粒子间有互作用时??q1q2iq1jq2???q2q1iq2jq1但是下式仍然成立?qqqqeqq??h121212??qqqqeqq?h122121?归一化的sa依旧sq1q2a1q1q2q2q12因h的对称性二n个全同粒子体系波函数1schrodinger方程的解上述对2个全同粒子的讨论可以推广到n个全同粒子体系设粒子间无互作用单粒子h0不显含时间则n体系h?h?qh?qlh?q?qh01020n0nn1单粒子本征方程
第五条基本假设
（二）波函数的对称性质
1 Hamilton 算符的对称性 N 个全同粒子组成的体系，其Hamilton 量为：
⎡ h2 2 ⎤ ˆ (q , q ,L q L q L q , t ) = H 1 2 ∑1 ⎢ − 2 μ ∇ i + U ( q i , t ) ⎥ + i j N i= ⎣ ⎦ r 其中 q i ≡ { ri , s i } 为第 i 个粒子的坐标和自旋。
= ε i φ i ( q 1 )φ j ( q 2 ) + ε j φ i ( q 1 )φ j ( q 2 )
= ( ε i + ε j )φ i ( q 1 )φ j ( q 2 ) = E Φ （ q 1 , q 2 )
粒子1 在 i 态，粒子2 在 j 态，则体系能量和波函数为：
⎧E = εi + ε j ⎪ ⎨ ⎪ Φ （ q 1 , q 2 ) = φ i ( q 1 )φ j ( q 2 ) ⎩
（2）Fermi 子 凡自旋为 h 半奇数倍（s =1/2，3/2，……) 的粒 子，其多粒子波函数对于交换 2 个粒子总是反对 称的，遵从Fermi 统计，故称为Fermi 子。 例如：电子、质子、中子（ s =1/2）等粒子。
（3）由“基本粒子”组成的复杂粒子 如：α 粒子（氦核）或其他原子核。 如果在所讨论的过程中，内部状态保持不变， 即内部自由度完全被冻结，则全同概念仍然适用，可 以作为一类 全同粒子来处理。 偶数个Fermi 子组成
φ i (qn )
( n = 1,2.)
称为单粒子波函数。
III 交换简并 粒子1 在 i 态，粒子2 在 j 态，则体系能量和波函数为：
⎧E = εi + ε j ⎪ ⎨ ⎪ Φ （ q 1 , q 2 ) = φ i ( q 1 )φ j ( q 2 ) ⎩
验证：
ˆ H Φ （ q1 , q 2 ) = E Φ （ q1 , q 2 )
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（一）2 个全同粒子波函数
I 2 个全同粒子Hamilton 量
h2 h2 2 ˆ H = − ∇1 − ∇ 2 + V (q1 ) + V (q 2 ) 2 2μ 2μ ˆ ˆ = H 0 ( q 1 ) + H 0 ( q 2 ) 不考虑粒子间的相互作用
II 单粒子波函数
ˆ H 0 对全同粒子是一样的， 设其不显含时间，则 ⎧ H（ q 1 ) φ i ( q 1 ) = ε i φ i ( q 1 ) ⎪ ˆ 0 ⎨ ˆ ⎪ H（ q 2 ) φ i ( q 2 ) = ε i φ i ( q 2 ) ⎩ 0
∂ Φs + Φ s dt ∂t
在 t+dt 时刻，波函数变化为 对称
对称
二对称波函数之和仍是对称的 依次类推，在以后任何时刻，波函数都是对称的。 同理可证：t 时刻是反对称的波函数Φa ，在t 以后任 何时刻都是反对称的。
方法 II
ˆ ˆ Q Ρ ij , H
[
]= 0
ˆ ∴ Ρ ij 是守恒量，即 变。
证明:
方法 I
设全同粒子体系波函数 Φs 在 t 时刻是对称的，由 体系哈密顿量是对称的，所以 H Φs 在t 时刻也是 对称的。
因为等式两边对称性应 ih ∂ ˆ Φ s = HΦ s ∂t 是一样的，所以 Schrodinge ∂ 中式左的 Φ s 是对称的。 ∂t r 方程
因为等式两边对称性应 是一样的，所以 Schrodinger方程 ∂ ˆ ih Φ s = HΦ s ∂t ∂ 中式左的 Φ s 是对称的。 ∂t
ˆ = H ( q1 , q 2 , L q i L q j L q N , t ) Φ ( q1 , q 2 , L q j L q i L q N , t )
∂ ih Φ(q1 , q2 , L q j L qi L q N , t ) ∂t ˆ = H (q1 , q2 , L q j L qi L q N , t )Φ(q1 , q2 , L q j L qi L q N , t )
E = εi + ε
j
V ΦS 和 ΦA 的归一化 首先 证明 证明：
* Φ （ q 1 , q 2 ) Φ （ q 1 , q 2 ) dq 1 dq 2 ∫∫ * = ∫∫ φ （ q 1 ) φ * ( q 2 ) φ （ q 1 ) φ j ( q 2 ) dq 1 dq i j i
若单粒子波函数是正交归一化的， 则 Φ (q1,q2) 和 Φ (q2 , q1) 也是正交归一化的
因此，二者相差一 常数因子。
Φ ( q1 , q 2 ,L q j L q i L q N , t ) = λ
Φ ( q1 , q 2 ,L q i L q j L q N , t )
再做一次（q
i
, q
j
) 调换
Φ ( q1 , q 2 ,L q i L q j L q N , t ) = λ Φ ( q1 , q 2 ,L q j L q i L q N , t ) = λ 2 Φ ( q1 , q 2 ,L q i L q j L q N , t )
N
∑
N
i< j
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱV (qi , q j )
即：
调换第 i 和第 j 粒子，体系Hamilton 量不变。
ˆ ˆ H (q1 , q 2 ,L q j L q i L q N , t ) = H ( q1 , q 2 ,L q i L q j L q N , t )
表明，N 个全同粒子组成的体系的Hamilton 量具有交 换对称性，交换任意两个粒子坐标（q i , q j ) 后不变。
交换对称性不随时间改
全同粒子体系哈密 顿量是对称的 结论： 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称的或反对 称的，其对称性不随时间改变。如果体系在某一时刻 处于对称（或反对称）态上，则它将永远处于对称 （或反对称）态上。
（四）Fermi 子和 Bose 子
实验表明：对于每一种粒子，它们的多粒子波函数 的交换对称性是完全确定的，而且该对称性与粒子 的自旋有确定的联系。 （1）Bose 子 凡自旋为 h 整数倍（s = 0，1，2，……) 的粒子，其 多粒子波函数对于交换 2 个粒子总是对称的，遵从 Bose统计，故称为 Bose 子 如：γ 光子 （s =1）； π 介子 （s = 0）。
粒子2 在 i 态，粒子1 在 j 态，则体系能量和波函数为：
⎧E = εi + ε j ⎪ ⎨ ⎪ Φ （ q 2 , q 1 ) = φ i ( q 2 )φ j ( q 1 ) ⎩
状态 Φ （ q 1 , q 2 ) 和 Φ （ q 2 , q 1 ) 能量是简并的，由于这 状态可通过 故称该简并为交换简并 两种 。 q 1 ⇔ q 2 互换得到，
引入 粒子 坐标 交换 算符
反对称波函数
ˆ Ρ ij Φ ( i , j ) = Φ ( j , i ) = λ Φ ( i , j ) ˆ ˆ ˆ Ρ ij2 Φ ( i , j ) = Ρ ij Ρ ij Φ ( i , j ) ˆ = λ Ρ ij Φ ( i , j ) = λ 2 Φ ( i , j )
第八章 全同粒子系：多电子原子
教学要求 1 掌握全同粒子的特性和体系的波函数. 2 掌握泡利不相容原理 3 掌握两电子体系的自旋波函数 4 掌握多电子原子的电子壳层结构.理 解电子组态和元素周期表(自学).
教 学 内 容
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§1 全同粒子的特性 §2 全同粒子体系波函数 泡利原理 §3 两个电子的自旋波函数 §4 氦原子(微扰法) §5 自洽场
IV 满足对称条件波函数的构成 全同粒子体系要满足对称性条件，而 Φ (q1,q2) 和 Φ (q2,q1) 仅当 i = j 二态相同时，才是一个对称波函 数； 当 i ≠ j 二态不同时，既不是对称波函数，也不是 反对称波函数。所以 Φ (q1,q2) 和 Φ (q2,q1) 不能用来 描写全同粒子体系。 构造具有对称性的波函数 C 为归一化系数
Φ （ q 1 , q 2 ) = C [ Φ （ q 1 , q 2 ) + Φ （ q 2 , q 1 )] S Φ （ q 1 , q 2 ) = C [ Φ （ q 1 , q 2 ) − Φ （ q 2 , q 1 )] A
显然 ΦS (q1,q2) 和 ΦA (q1,q2) 都是 H 的本征函数，本 征值皆为 ：