2022-2023学年山东省青岛市青岛高二年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省青岛市青岛高二上学期期中数学试题
一、单选题
1．已知向量1)2(0a =，，，112()b =--，，，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．0°
B ．45°
C ．90°
D ．180°
C
【分析】根据向量夹角的坐标运算公式可求得答案. 【详解】解：∵cos a b 〈，〉＝||||
a b
a b ⋅＝2256-⨯＝0，0180a b ︒≤≤︒〈，〉， ∴90a b =︒〈，〉.
故选：C.
2．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，若CA a =，CB b =，1CC c =，则1A B 等于（ ）
A ．a b c +-
B ．a b c -+
C ．b a c -+
D ．b a c --
D
【分析】由空间向量的线性运算求解． 【详解】因为三棱柱111ABC A B C 是直三棱柱， 所以四边形11ACC A 是平行四边形，故11AA CC =，
所以()()
1111A B CB CA CB CA AA CB CA CC a b c =-=-+=-+=-+-． 故选：D ．
3．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知ABC ∆的顶点(0,0),(0,2),( 6.0)A B C -，则其欧拉线的一般式方程为（ ） A ．31x y += B ．31x y -=
C ．30x y +=
D ．30x y -=
C
【分析】根据题意得出ABC 为直角三角形，利用给定题意得出欧拉线，最后点斜式求出方程即可. 【详解】显然ABC 为直角三角形，且BC 为斜边， 所以其欧拉线方程为斜边上的中线， 设BC 的中点为D ，由(0,2),( 6.0)B C -， 所以()3,1D -，由101
303
AD k -=
=--- 所以AD 的方程为1
3
y x =-，
所以欧拉线的一般式方程为30x y +=. 故选：C.
4．已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且=++NM xAB y AD z AP ，2=PM MC ，=PN ND ，则x y z ++的值为（ ）
A ．23
-
B ．23
C ．1
D ．56
B
【分析】将PM 、PN 用AB 、AD 、AP 加以表示，利用空间向量的减法法则可得出NM 关于AB 、
AD 、AP 的表达式，由此可求得x y z ++的值.
【详解】因为PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，故AB 、AD 、AP 为空间向量的一个基底，
2PM MC =，故()()
222
333
PM PC AC AP AB AD AP ==-=+-， PN ND =，则()
11
22
PN PD AD AP =
=-， 因此，()()
21211
32366
NM PM PN AB AD AP AD AP AB AD AP =-=+---=+-， 所以，23x =，16y =，16
z =-，所以，2112
3663x y z ++=+-=. 故选：B.
5．设1F 、2F 为椭圆22
143
x y +=的左、右焦点，动点P 在椭圆上，当12PF F △面积最大时，12PF PF ⋅的
值等于（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
C
【分析】根据面积公式可知当P 为上或下顶点时，12PF F △面积取最大值，求出点P 坐标，由数量积公式即可求出结果．
【详解】根据对称性不妨设点(),,0P x y y >， 因为224,3,a b ==所以1c
则12PF F △面积为121
2
S F F y cy cb =⨯⨯=≤=
当y b ==12PF F △面积取最大值，此时(P ，又()()121,0,1,0F F -
则()(121,3,1,PF PF =--=-，所以12132PF PF ⋅=-+= 故选：C ．
6．设双曲线22
221(0)x y a b a b
-=<<的半焦距为c ，直线l 过(,0)a ，(0,)b 两点．已知原点到直线l 的距
，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2 B
C D A
【分析】易得直线l 的方程为1x y
a b +=，然后由原点到l 的距离d ==求解. 【详解】因为直线l 过(,0)a ，(0,)b 两点． 所以直线l 的方程为1x y
a b
+=，即0bx ay ab +-=，
所以原点到l 的距离
d =
=
①． 又222(0)c a b a b =+<<②，
所以2
ab =，即224b c a a ⋅=，
故2=，解得2e =或e =
当e =
223a b ，与a b <矛盾，
所以2e =． 故选：A
7．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等边三角形， AA 1＝AB ，M 是A 1C 1的中点，则AM 与平面11
BCC B
所成角的正弦值为（ ） A ．710
B ．
1510
C ．
8510
D ．1510
-
B
【分析】取AC 的中点D ，以D 为原点，,,BD DC DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，即可根据线面角的向量公式求出．
【详解】如图所示，取AC 的中点D ，以D 为原点，,,BD DC DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，
不妨设2AC =，则()()()
310,1,0,0,0,2,3,0,0,,22A M B N ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭
， 所以()0,1,2AM =，平面11BCC B 的一个法向量为33,,022n ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
设AM 与平面11BCC B 所成角为α，向量AM 与n 所成的角为θ，
所以3
152sin cos 53AM n
AM n
αθ⋅====
⨯⋅ 即AM 与平面11BCC B 15 故选：B ．
8．如果圆()()22
:8C x a y a -+-=2a 的取值范围是（ ）
A ．()()3,11,3--⋃
B ．()3,3--
C ．[]1,1-
D ．(][)3,11,3--⋃
A
【分析】根据条件转化为圆22
1:2C x y +=与圆()()22
:8C x a y a -+-=有两个交点，利用圆与圆的位
置关系，即可求a 的取值范围.
22
1
:2
C x y
+=，
因此圆()()
22
:8
C x a y a
-+-=
转化为圆22
1
:2
C x y
+=与圆()()
22
:8
C x a y a
-+-=有两个交点，
∵两圆的圆心和半径分别为()
1
0,0
C
，
1
r=(),
C a a
，r=
∴
111
r r C C r r
-<<+，
<
解得实数a的取值范围是()()
3,11,3
--⋃.
故选：A.
二、多选题
9．下列关于曲线22
:1(0,0)
C mx ny m n
+=>>的说法正确的是（）
A．当m n
=时，曲线C表示圆；
B．当m n
>时，曲线C表示焦点在x轴的椭圆；
C．点()
0,0是曲线C的对称中心；
D．曲线C
表示椭圆时，其焦距为
ACD
【分析】根据给定的方程，结合圆、椭圆的定义、性质逐项判断作答.
【详解】曲线22
:1(0,0)
C mx ny m n
+=>>，
对于A，当m n
=时，方程为221
x y
m
+=
A正确；
对于B，当m n
>时，方程为
22
1
11
x y
m n
+=
，
11
m n
<<，则曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，B不正确；对于C，曲线22
:1
C mx ny
+=上任意点(,)
x y，显然有2222
()()1
m x n y mx ny
=
-+-+=，
即点(,)
x y
--也在曲线C上，因此点()
0,0是曲线C的对称中心，C正确；
对于D，曲线C表示椭圆，则m n
≠，令曲线
22
1
11
x y
m n
+=
的半焦距为c，则2
11
||
c
m n
=-，
因此椭圆C
的焦距2c=D正确.
故选：ACD
10．已知直线l 的一个方向向量为(),1,3a m =，平面α的一个法向量为()2,,1b n =-，则（ ） A ．若//l α，则23m n -= B ．若l α⊥，则23m n -= C ．若//l α，则20mn += D ．若l α⊥，则20mn +=
AD
【分析】根据直线的方向向量和平面的法向量，以及线面的位置关系求得正确答案.
【详解】若//l α，则a b ⊥，即有0a b ⋅=，即230m n -++=，即有23m n -=，故A 正确，C 错误； 若l α⊥，则//a b ，即有b a λ=，可得2,,13m n λλλ-===，
解得11
,6,33
m n λ==-=，则2220mn +=-+=，故B 错误，D 正确．
故选：AD
11．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆22
194
x y +=有相同的焦距，且一条渐近线
方程为20x y -=，则双曲线C 的方程可能为（ ） A ．2
214
x y -=
B ．2
214
y x -=
C ．2
214y x -=
D ．2
2
14
x y -=
AD
【分析】求出椭圆的焦距即双曲线的焦距，从而可设双曲线方程为2
24
x y λ-=()0λ≠，分0λ> 和
0λ<两种情况讨论，即可求出双曲线的标准方程．
【详解】解：椭圆22
194x y +
=中，c == ∴
焦距12||2F F c ==
双曲线C 与椭圆22
194x y +
=有相同的焦距，一条渐近线方程为20x y -=， ∴设双曲线的方程为22
4
x y λ-=()0λ≠，即2214x y λλ-=，
当0λ>时，c ，解得1λ=， ∴双曲线的方程为
2
214
x y -=；
当0λ<时，c 1λ=-， ∴双曲线的方程为2
2
14
x y -=；
综上，双曲线的方程可能为2214x y -=或22
14
x y -=．
故选：AD.
12．设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且112PF F F ⊥，
14||3PF =，
214
||3
PF =
，过点(2,1)M -的直线交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，则下列结论正确的有（ ）
A ．椭圆的方程为22
194
x y +=
B
C ．椭圆上存在2个点Q ，使得120QF QF ⋅=
D ．直线l 的方程为89250x y -+= AD
【分析】根据112PF F F ⊥，14||3PF =
，214
||3
PF =，利用勾股定理和椭圆的定义求得a ，b ，c ,得得到焦距和椭圆方程判断选项AB ；然后根据120QF QF ⋅=，得到点Q 在以12F F 为直径的圆上，再根据
c b >，判断选项C ；根据过点(2,1)M -的直线交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称，得到点
(2,1)M -为弦AB 的中点，利用点差法求解判断选项D.
【详解】因为112PF F F ⊥，14||3PF =，214||3PF =，
所以()121
32
c a PF PF =
==
+=， 则2b =，
所以椭圆的方程为22
194x y +
=
，椭圆的焦距为A 正确；B 错误； 由120QF QF ⋅=知：1290FQF ∠=，所以点Q 在以12F F 为直径的圆上，
因为c b >，所以圆与椭圆有4个交点，故C 错误；
因为过点(2,1)M -的直线交椭圆于A ，B 两点，且A ，B 关于点M 对称， 所以点(2,1)M -为弦AB 的中点， 设1122(,),(,)A x y B x y ，
则22
1122111941
94x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：121212124899AB
y y x x k x x y y -+==-⋅=-+， 所以直线l 的方程为()8
129
y x -=+，即89250x y -+=，故D 正确， 故选：AD
三、填空题
13．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．
22(1)(1)5x y -++=
【分析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程. 【详解】[方法一]：三点共圆 ∵点M 在直线210x y +-=上，
∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上， ∴点M 到两点的距离相等且为半径R ，
R ， 222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，
∴(1,1)M -，R =
M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.
故22(1)(1)5x y -++= [方法二]：圆的几何性质
由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线210x y +-=的交点
(1,-1).R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.
故22
(1)(1)5x y -++=
14．已知(2,1,2)=-a ，(2,2,1)b =，则a 在b 上的投影向量为_______（用坐标表示） 884(,,)999
【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】因为(2,1,2)=-a ，(2,2,1)b =， 所以4,3a b b ⋅==， 设a 在b 上的投影向量为m ， 则884,,999a b b m b b ⋅⎛⎫
=
⋅= ⎪⎝⎭
， 故884(,,)999
15．如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1||||1===AB AD AA ，∠BAD ＝∠BAA 1＝120°，
∠DAA 1＝60°，则线段AC 1的长度是_______．
2
【分析】利用11AC AB AD AA =++，即可求解． 【详解】
11AC AB AD AA =++，
∴22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++++
111
111211()211()211222
=+++⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯
2=，
12AC ∴=
2．
本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
四、双空题
16．已知不经过坐标原点O 的直线l 与圆C ：22440x y x y +-+=交于A ，B 两点，若锐角ABC 的面积为23AB =___________，cos AOB ∠= ___________. 2233
【分析】根据已知利用面积公式可求得60ACB ∠=︒，即可求得22AB r ==等于圆心角的一半及圆内接四边形的对角互补，可求得30AOB ∠=︒或150°，计算即可得出结果. 【详解】因为圆C 的半径22r = 所以ABC 的面积2
1sin 4sin 232
S r ACB ACB =∠=∠= 所以3
sin ACB ∠=
.又ABC 为锐角三角形，所以60ACB ∠=︒， ∴22AB r ==因为点O 在圆C 上，所以30AOB ∠=︒或150°， 故3cos AOB ∠=
3
故22；
32
或32-
五、解答题
17．如图，直三棱柱111ABC A B C 的体积为4，1A BC 的面积为22．
(1)求A 到平面1A BC 的距离；
(2)设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值． 23
【分析】（1）由等体积法运算即可得解；
（2）由面面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.
【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C 中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，
则111111
11221
14
3
3333
A A BC A A ABC A ABC A
B B
C C C B V S
h h V S A A V ---=⋅=
==⋅==， 解得2h =，
所以点A 到平面1A BC 的距离为2；
（2）取1A B 的中点E ,连接AE ,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥, 又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =， 且AE ⊂平面11ABB A ，所以⊥AE 平面1A BC ， 在直三棱柱111ABC A B C 中，1BB ⊥平面ABC ，
由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥， 又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，
所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，
由（1）得2AE =12AA AB ==，122A B =2BC =， 则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1A C 的中点()1,1,1D ， 则()1,1,1BD =，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,
设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z =，则0
20m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩，
可取()1,0,1m =-，
设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c =，则0
20n BD a b c n BC a ⎧⋅=++=⎨⋅==⎩，
可取()0,1,1n =-， 则11
cos ,2
2m n m n m n
⋅=
=
=⨯⋅，
所以二面角A BD C --
18．已知点(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)A B C ---，设,a AB b AC == (1)若||3,//c c BC =，求c ； (2)求cos ,a b ；
(3)若ka b +与2ka b -垂直，求k ． (1)(2,1,2)c =--或(2,1,2)c =-
(2)(3)5
2
k =-或2k =
【分析】（1）利用向量平行设c 的坐标，结合向量的模的坐标表示可得； （2）由向量夹角的坐标表示直接可求； （3）根据向量垂直其数量积为0可解. 【详解】（1）解：由题知(2,1,2)BC =--， 因为c BC ∥，故设(2,,2)c λλλ=--， 又因为3c =，
3==，得1λ=±， 故(2,1,2)c =--或(2,1,2)c =-
（2）解：由题知，(1,1,0)a AB ==，(1,0,2)b AC ==-
所以1cos ,2a b a b a b
⋅-<>=
=
=⨯，
（3）解：因为(1,1,0)a AB ==，(1,0,2)b AC ==-
所以,,01,)0,21,,()()(2ka b k k k k +=+-=-，2,,02,)0,42,,()()(4ka b k k k k -=--=+- 又ka b +与2ka b -互相垂直，
所以2()(2)(1)(2)80ka b ka b k k k +⋅-=-++-=，解得5
2k =-或2k =
所以5
2
k =-或2k =
19．已知圆C 的圆心在直线1y x =+上，且圆C 与x 轴相切，点(5,2)P --在圆C 上，点(4,5)Q --在圆C 外．
（1）求圆C 的方程；
（2）若过点(2,4)--的直线l 交圆C 于A ，B 两点，且||AB =l 的方程． （1）22
(3)(2)4x y +++=；（2）2x =-或34220x y ++=．
【分析】（1）由题意设圆的方程为222()(1)(1)x a y a a -+--=+，再将点(5,2)P --的坐标代入方程中可求出a 的值，众而可求出圆的方程；
（2）利用圆心距、弦和半径的关系求出圆心距的长，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况，利用点到直线的距离公式列方程求解即可
【详解】（1）设圆心(,1)+C a a ，半径|1|r a =+，
则圆C 的方程可设为222()(1)(1)x a y a a -+--=+，因为点(5,2)P --在圆C 上， 所以222(5)(3)(1)a a a +++=+，解得3a =-或11-． 因为点(4,5)Q --在圆C 外，经检验11a =-不符，舍去． 所以圆C 的方程为22
(3)(2)4x y +++=．
（2）由（1）可知圆C 的半径2r =，||AB =
1d ==．
当k 不存在时，直线方程2x =-，符合题意；
当k 存在时，设直线方程为4(2)y k x +=+，整理得240kx y k -+-= 所以圆心C 到直线l 的距离
1d =
=，即22(2)1k k +=+，解得34
k =-，
所以3
4(2)4
y x +=-+，所以直线l 的方程为34220x y ++=．
∴综上，直线方程为2x =-或34220x y ++=．
20．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，四边形11ABB A 为矩形，122BC BB AB ===，1120CBB ∠=︒，点E 为棱1CC 的中点，2AE =.
(1)求证：平面ABC ⊥平面11BCC B ； (2)求平面AEB 与平面11A EB 夹角的余弦值. (1)证明见解析 21
【分析】（1）根据矩形及勾股定理的逆定理可得线面垂直的条件，再由AB ⊂平面ABC ，即可证明面面垂直；
（2）建立空间直角坐标后，求出相关法向量，再用夹角公式即可.
【详解】（1）证明：由三棱柱的性质及12BC BB ==可知四边形11BCC B 为菱形 又∵1120CBB ∠=︒ ∴1CBC △为等边三角形 ∴3BE =1AB =
又∵2AE =，∴222AE BE AB =+，∴AB BE ⊥ 又∵四边形11ABB A 为矩形 ∴1AB BB ⊥ 又∵1BE BB B ⋂= ∴AB ⊥平面11BCC B 又∵AB ⊂平面ABC ∴平面ABC ⊥平面11BCC B .
（2）以B 为原点BE 为x 轴，1BB 为y 轴，BA 为E 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
()0,0,1A ，)3,0,0E
，()10,2,0B ，()10,2,1A ，()110,0,1A B =-，()
13,2,0EB =-
设平面11A EB 的法向量为(),,n x y z =. 则1110,0A B n EB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,
320,z x y =⎧⎪⎨
+=⎪⎩
∴()
2,3,0n =，
又∵平面ABE 的法向量为()10,1,0n =， ∴1223
21
cos ,|2(3)0|1
n n =
=++⨯ ∴平面ABE 与平面11A EB 21. 21．已知点(2,1)A 在双曲线22
22:1(1)1
x y C a a a -=>-上．
(1)求双曲线的方程；
(2)是否存在过点11,2P ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的直线l 与双曲线相交于A ,B 两点，且满足P 是线段AB 的中点？若存在，
求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． (1)2
212
x y -=
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）代入点(2,1)A 的坐标，解方程可得a 的值，即可得双曲线方程；
（2）假设存在，设过11,2P ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的直线方程为：1(1)2y k x =--，A ，B 两点的坐标为1(x ，1)y ，2(x ，
2)y ，代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可得到所求直线
的斜率，进而得到直线方程，代入双曲线方程，检验判别式即可判断． 【详解】（1）解：已知点(2,1)A 在双曲线22
22
:1(1)1
x y C a a a -=>-上
所以
22
11
14a a -=-，整理得：42440a a -+=，解得：22a =
，则a =所以双曲线方程为.2
212
x y -=
（2）解：由题可知若直线存在则直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为：1
(1)2
y k x =--
且设交点1122(,),(,)A x y B x y
则2
2112
222
=12
=1
2
x y x y --⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ，两式相间得：()()()()121212122x x x x y y y y -+=-+ 由于11,2P ⎛
⎫- ⎪⎝⎭为AB 中点，则12122,1x x y y +=+=-
则12
12
1y y k x x -=
=-- 即有直线l 的方程：1(1)2y x =---，即1
2
y x =-+
22
21=+2
24+5=0=12
y x x x x y -⇒--⎧
⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 检验判别式为()2
4425240∆=--⨯⨯=-<，方程无实根．
故不存在过点11,2P ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的直线l 与该双曲线相交A ,B 两点，且满足P 是线段AB 的中点.
22．已知直线1y x =-+与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>相交于A B 、两点.
（1
2，求线段AB 的长； （2）若OA OB ⊥（共中O 为坐标原点）
，当椭圆的离心率12e ⎡∈⎢⎣⎦
时，求椭圆的长轴长的最大值.
（1
（2
【分析】(1)根据椭圆中基本量的关系计算椭圆的方程,再联立直线与椭圆的方程,利用弦长公式求解线段AB 的长即可.
(2) 设()11,A x y ,()22,B x y ,根据OA OB ⊥可得12120x x y y +=,再联立方程利用韦达定理表达出12120x x y y +=关于椭圆的基本量,a b 的关系,
再根据椭圆的离心率12e ⎡∈⎢⎣⎦可列出不等式求解关于
a 的不等式,从而得到长轴长的最大值.
【详解】解：（1
）e =
22c =
,a ∴=1c =,
则b =
∴椭圆的方为
22
1 32
x y
+=,
联立
22
1,
32
1,
x y
y x
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=-+
⎩
消去y得：2
5630
x x
--=,设()
11
,
A x y,()
22
,
B x y,
则
126 5
x x
+=
123 5
x x=-
||
AB
∴=,
（2）设()
11
,
A x y,()
22
,
B x y,
OA OB
⊥,0
OA OB
∴⋅=,即12120
x x y y
+=,
由
22
22
1
1
x y
a b
y x
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=-+
⎩
,消去y得()()
222222
210
a b x a x a b
+-+-=,
由()()()
2
22222
2410
a a a
b b
∆=--+->,整理得221
a b
+>,
又
2
1222
2a
x x
a b
+=
+
,
()
22
1222
1
a b
x x
a b
-
=
+
,
()()()
12121212
111
y y x x x x x x
∴=-+-+=-++,
由12120
x x y y
+=,得：()
1212
210
x x x x
-++=,
()
222
2222
212
10
a b a
a b a b
-
∴-+=
++
,
整理得：2222
20
a b a b
+-=,222222
b a
c a a e
=-=-,代入上式得
2
2
1
21
1
a
e
=+
-
,2
2
11
1
21
a
e
⎛⎫
∴=+
⎪
-
⎝⎭
,
12
22
e,2
11
42
e
∴,
2
13
1
24
e
∴-,
2
41
2
31e
∴
-
,
2
71
1+3
31
∴
-e
,
2
73
62
a
∴,适合条件221
a
b
+>,
6
2
a ,26
a,.
本题主要考查了椭圆中基本量的计算以及联立直线与椭圆的方程,根据韦达定理求解基本量参数的关系,进而求得基本量的最值问题.属于难题.
23．在平面直角坐标系xOy中，过方程221(,,,0)
mx ny m n m n
+=∈≠
R所确定的曲线C上点
()
00
,
M x y的直线与曲线C相切，则此切线的方程
00
1
mx x ny y.
（1）若4
1
m n ==
，直线l 过(3,2)点被曲线C 截得的弦长为2，求直线l 的方程； （2）若1m =，1
3
n =-，点A 是曲线C 上的任意一点，曲线过点A 的切线交直线130l x y -=于M ，
交直线230l x y +=于N ，证明：0MA NA +=； （3）若1
4m =
，12
n =，过坐标原点斜率0k >的直线3l 交C 于P 、Q 两点，且点P 位于第一象限，点P 在x 轴上的投影为E ，延长QE 交C 于点R ，求PQ PR ⋅的值. （1）3x =3
3)2y x =
+；
（2）证明见解析；（3）0. 【分析】（1）利用圆的弦长公式计算求解，注意先验证直线斜率不存在的情况；
（2）设()00,A x y ,根据已知求得切线方程，联立方程组求得M ，N 的坐标，证明1202x x x +=,得到A 为线段MN 的中点，进而证得结论；
（3）设P (x 1,y 1),R (x 2,y 2),则Q (-x 1,-y 1),E (x 1,0),写出EQ 的方程，与曲线C 的方程联立，根据Q ，R 的横
坐标-x 1,x 2是这个方程的两实数根，利用韦达定理求得21121221124ny x x x mx ny -=+，进而计算可得0PQ PR ⋅=.
【详解】（1）当4
1
m n ==时，曲线C 的方程为224x y +=,这是以原点为圆心，r =2为半径的圆， 直线l 过点
)
3,2,当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为3x =代入圆的方程得21y =,1y =±，
∴直线l 被圆所截得弦长为2，符合题意；
当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ,则直线l 的方程为(23y k x -=，即230kx y k -+=, 由弦长为2，半弦长为1，圆的半径为2，所以圆心到直线l 2213-=22331
k k -+解得3
k =
所以直线l 的方程为：374y =+；
（2）当1
1,3
m n ==-时 ，设()00,A x y ,则过A 点的切线方程为：001mx x
ny y ,
即001
13x x y y -=,由直线l 1的方程得3y x =,代入切线方程得到0031x y x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
,
设()11,M x y ,()22,N x y ,
则0011x y x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,
同理0021x y x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
, 因为A 在曲线C 上，
2200113
x y ∴-=
,0120
22002213x x x x x y ∴+===-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
,所
以A 为线段MN 的中点，所以0MA NA +=; （3）设()()1122,,,P x y R x y ,则()111,,(,0Q x y E x --), 则直线EQ :()1
11
,2y y x x x =
- 代入曲线C 的方程221mx ny +=并整理得：
()
222222************mx
ny x ny x x nx y x +-+-=,
Q ，R 的横坐标12,x x -是这个方程的两实数根，
∴211
2122
1124ny x x x mx ny -=+,
∴()3
112212211124y ny y x x x mx ny =-=
+, 211
2122
1144mx y y y mx ny -=-+,
()()()()1121211211212,2,2[PQ PR x y x x y y x x x y y y =--⋅--=--+-⋅
()222222111111222222
111111224242444x y n m ny x mx y mx ny mx ny mx ny -⎡⎤
=--=-⎢⎥+++⎣⎦, 由于11
,,2411042
m n n m ==∴-=-=,
∴0PQ PR ⋅=
本题考查已知圆的弦长求直线方程，双曲线和椭圆中的直线与直线，直线与曲线的交点坐标问题，属较难试题，关键难点是第（3）小题中根据Q ，R 的横坐标-x 1,x 2是方程的两实数根，灵活使用韦达定理求21x x -，要注意准确运算.。