2020-2021学年四川省绵阳市某校高三(上)9月月考数学(文)试卷(有答案)

2020-2021学年四川省绵阳市某校高三（上）9月月考数学（文）
试卷
一、选择题
1. 已知A ={x ∈N ∗|x ≤3}，B ={x|x 2−4x ≤0}，则A ∩B =( ) A.{1,2,3} B.{1,2} C.(0,3] D.(3,4]
2. 已知向量a →
=(3−m,m )，b →
=(1,2)，若a →
//b →
，则实数m 的值为( ) A.−2 B.2 C.−3 D.3
3. 下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A.y =−2x +1 B.y =x 3
C.y =lg x
D.y =1
x
4. “m ≥0”是“x 2+2x +m ≥0对任意x ∈R 恒成立”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5. 设函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )=x 2−2，则f(f (1))=( ) A.−1 B.−2
C.1
D.2
6. 已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f(1)的值为( )
A.−√3
B.−1
C.1
D.√3
7. 函数f(x)=(x +1
x )ln |x|图象的大致形状为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →
=( ) A.34AB →−14AC →
B.14AB →−34AC →
C.34AB →+14AC →
D.14AB →
+34AC →
9. 已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3+a
5a 4
+a 6
的值是
( ) A.√5−1
2
B.
√5+1
2
C.
3−√52
D.
3+√52
10. 已知α∈R ，sin α+2cos α=√10
2
，则tan 2α=( )
A.4
3
B.3
4
C.−34
D.−4
3
11. 已知函数f (x )=cos x −1
2x 2，记a =f (−log 21
5)，b =f (−2−0.3)，c =f(2log 2√3)，则( ) A.a <b <c B.b <a <c C.a <c <b D.b <c <a
12. 已知偶函数f (x )的定义域为(−π2,π
2)，其导函数为f ′(x )，当0<x <π
2时，有
f ′(x )cos x +f (x )sin x <0成立，则关于x 的不等式f (x )<2f (π
3)cos x 的解集为( ) A.(0,π
3
)
B.(π3,π
2
) C.(−π
3,0)∪(0,π
3) D.(−π
2,−π
3)∪(π3,π
2)
二、填空题
设x ，y 满足约束条件 {x −2y ≥−2,
3x −2y ≤3,x +y ≥1, 则x −y 的最大值为________.
已知△ABC 的面积为S ，若4S =AB →
⋅AC →
，则sin A 的值为________.
若两个正实数x ，y 满足2
x +1
y =2，且x +2y >m 2+2m 恒成立，则m 的取值范围是________.
已知函数f (x )=(x −2)e x +e +1，g (x )=a
x +x ln x ，对任意的m ∈[1
e ,3]，总存在n ∈[1
e ,3]使得g (m )≥
f (n )成立，则a 的取值范围为________.
三、解答题
函数f (x )=sin 4x +2√3sin x cos x −cos 4x . (1)求函数f (x )的单调减区间；
(2)将y =f (x )的图象先向左平移π
6
个单位，再将横坐标缩短为原来的1
2
(纵坐标不变)，
得到y =g (x )的图象．当x ∈[0,π
4
]时，求g (x )的值域．
已知等比数列{a n }的首项为2，等差数列{b n }的前n 项和为S n ，且a 1+a 2=6，2b 1+a 3=b 4，S 3=3a 2.
(1)求{a n }，{b n }的通项公式；
(2)设c n =a n −b n ，求数列{c n }的前n 项和．
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin B =3
5 ，a cos B +
(b −√2c)cos A =0. (1)求sin C 的值；
(2)若a =15，D 为边AB 上的一点，且2AD =BD ，求CD 的长．
已知函数f(x)=1
3x 3+ax 2+bx +a 2．
(1)当a =−2，b =3时，若方程f(x)−m =0有1个实根，求m 的值；
(2)当b =4时，若f(x)在(0, +∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．
已知函数f(x)=ae x −sin x ，其中a ∈R .
(1)当a =1时，证明：对∀x ∈[0, +∞)，f(x)≥1；
(2)若函数f(x)在(0, π2)上存在极值，求实数a 的取值范围．
在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3t,
y =−√3t (t 为参数)，曲线C 1的参数方程为
{x =2+2cos θ,y =2sin θ (θ为参数)，以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cos θ−2sin θ． (1)分别求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；
(2)设直线l 交曲线C 1于O ，A 两点，交曲线C 2于O ，B 两点，求|AB|的长．
已知函数g (x )=|x +b|+|x −a|，a ∈R ，b ∈R 且b +a >0. (1)若函数g (x )的最小值为2，试证明点(a,b )在定直线上；
(2)若b =3， x ∈[0,1]时，不等式g (x )≤|x +5|恒成立，求实数a 的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省绵阳市某校高三（上）9月月考数学（文）
试卷
一、选择题 1.
【答案】 A
【考点】 交集及其运算 【解析】
【解答】
解：∵ A ={x ∈N ∗|x ≤3}={1,2,3}， B ={x|x 2−4x ≤0}={x|0≤x ≤4}， ∴ A ∩B ={1,2,3}. 故选A ． 2.
【答案】 B
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】
根据向量平行的性质，结合已知的向量坐标可以求解未知数m . 【解答】
解：∵ 向量a →
=(3−m,m )，b →
=(1,2)，且a →
//b →
， ∴
3−m 1
=m
2，
解得：m =2. 故选B . 3. 【答案】 D
【考点】
函数单调性的判断与证明 【解析】
【解答】
解：A ，∵ y =−2x +1，则y ′=−2<0，
∴ 函数y =−2x +1在定义域R 上单调递减，故A 不符合题意； B ，∵ y =x 3，则y ′=3x 2≥0，
∴ 函数y =x 3在定义域R 上单调递增，故B 不符合题意；
C ，由对数函数的性质可知，函数y =lg x 在定义域(0,+∞)上单调递增，故C 不符合题意；
D，∵y=1
x ，则y′=−1
x2
<0，
∴函数y=1
x
在(−∞,0)和(0,+∞)上均单调递减，
但在定义域上不是单调函数，故D符合题意；
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根根据不等式恒成立可得△≤0得到m≥1，结合充要条件的定义进而求出答案．【解答】
解：x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立⇔Δ≤0⇔m≥1.
∵m≥0推不出m≥1，而m≥1可以推出m≥0，
∴ “m≥0”是x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立”的必要不充分条件.
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
函数奇偶性的性质
函数的求值
【解析】
【解答】
解：∵当x>0时，f(x)=x2−2，
∴f(1)=1−2=−1，
∵函数f(x)为奇函数，
∴f(−1)=−f(1)=1，
∴f(f(1))=1.
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
根据函数的部分图象求出函数解析式f(x)=2sin(πx+5π
6
)，即可求解f(1)=
2sin(π+5π
6
)=−1．
【解答】
解：由图可知，A=2，1
2T=2
3
−(−1
3
)=1，
∴ T =2，ω=
2π2
=π,
∴ f (2
3)=2sin (π×2
3+φ)=−2.
∵ 0<φ<π， ∴ φ=
5π6
，
∴ f (x )=2sin (πx +5π6
)，
∴ f (1)=2sin (π+5π6
)=−1.
故选B ． 7.
【答案】 D
【考点】 函数的图象 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：∵ f(−x)=(−x +1−x )ln |−x|=−(x +1
x )ln |x|=−f(x)， ∴ f(x)是奇函数，关于原点对称，排除A ，B ； 当x =2时，f(2)=5
2ln 2>0，排除C .
故选D . 8.
【答案】 A
【考点】
向量在几何中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：由题意得，
EB →=AB →−AE →=AB →−12AD →
=AB →
−12×12(AB →
+AC →)
=34AB →−14AC →
. 故选A ． 9. 【答案】 A
【考点】 等差中项
等比数列的通项公式
【解析】
设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数
列的通项公式化简后求出q ，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值． 【解答】
解：设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0. ∵ a 3，1
2a 5，a 4成等差数列，
∴ 2×12a 5=a 3+a 4，则a 3q 2=a 3+a 3q ， 化简得，q 2−q −1=0， 解得：q =1+√52
或q =
1−√52
(舍),
则q =
√5+1
2
， ∴ a 3+a
5a 4
+a 6
=a 3+a 5
a
3q+a 5
q
=1
q =√
5+1
=√5−1
2
. 故选A .
10.
【答案】 C
【考点】
二倍角的正切公式
同角三角函数间的基本关系
【解析】
根据同角三角函数关系式和万能公式化简后求出tan α，利用二倍角公式求出tan 2α的值． 【解答】
解：∵ sin α+2cos α=
√10
2
， ∴ (sin α+2cos α)2=52，
即sin 2α+4sin αcos α+4cos 2α=5
2， 整理得，
tan 2α+4tan α+4
tan 2α+1
=5
2
，
解得，tan α=3或−13
． ∴ tan 2α=2tan α
1−tan 2α=−3
4． 故选C .
11. 【答案】 C
【考点】
指数式、对数式的综合比较
奇偶性与单调性的综合
【解析】
利用导数求出函数的单调性，再结合函数为偶函数即可求解．【解答】
解：因为f(x)的定义域为R，
且f(−x)=cos(−x)−1
2(−x)2=cos x−1
2
x2=f(x)，
所以f(x)是偶函数．
因为f′(x)=−sin x−x，f″(x)=−cos x−1≤0，所以f′(x)是减函数．
因为f′(0)=0，
所以当x≥0时，f′(x)≤0，
所以f(x)在[0,+∞）上单调递减．
因为−log
21
5
=log
2
5>2，0<2−0.3<1，
1<2log
2
√3=log23<2，
所以−log
21
5
>2log
2
√3>2−0.3.
又因为f(−2−0.3)=f(2−0.3)，且f(x)在[0,+∞）上单调递减，
所以f(−log
21
5
)<f(2log
2
√3)<f(−2−0.3)，
即a<c<b.
故选C.
12.
【答案】
D
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
利用导数研究不等式恒成立问题函数奇偶性的性质
【解析】
通过构造函数讨论单调性可求解. 【解答】
解：令g(x)=f(x)
cos x
，
∵ f(x)为定义在(−π
2,π
2
)的偶函数，
∴ g(x)为定义在(−π
2,π
2
)的偶函数.
又∵当0<x<π
2
时，有f′(x)cos x+f(x)sin x<0成立，
∴g′(x)=f′(x)cos x+f(x)sin x
cos2x <0在(0,π
2
)上恒成立，
即g(x)=f(x)
cos x 在(0,π
2
)上单调递减.
将f (x )<2f (π
3)cos x 化为 f(x)
cos x <f(π3)
cos π3
，
即g(x)<g(π3)，
∴ |x |>π
3，即x >π
3或x <−π
3. ∵ f (x )的定义域为(−π2,π
2
)，
∴ 不等式的解集为(−π
2,−π
3)∪(π3,π
2). 故选D.
二、填空题
【答案】 1
【考点】 简单线性规划 【解析】
画出可行域，利用目标函数变形为y =x −z ，当直线y =x −z 在y 的截距最小得到z 的最大值． 【解答】
解：画出约束条件表示的平面区域，如下图阴影所示，
令z =x −y ，
则z =x −y 变形为y =x −z ，
当直线y =x −z 经过点A 时，在y 轴的截距最小， 此时z 最大.
由{x +y =1,3x −2y =3,求得：A (1,0)， 所以x +y 的最大值为1−0=1. 故答案为：1. 【答案】
√55
【考点】 正弦定理
平面向量数量积的运算
【解析】
利用三角形面积公式以及数量积运算得到cos A =2sin A ，结合同角基本关系即可得到答案.
【解答】
解：由题知4S =AB →
⋅AC →
，
即4×1
2AB ⋅AC ⋅sin A =|AB →
|⋅|AC →
|⋅cos A ，
整理得：cos A =2sin A . ∵ cos 2A +sin 2A =1， ∴ 5sin 2A =1， ∴ sin A =
√55. 故答案为：√55
. 【答案】
−√5−1<m <√5−1 【考点】
函数恒成立问题
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
x +2y >m 2+2m 恒成立，即m 2+2m <x +2y 恒成立，只需求得x +2y 的最小值即可． 【解答】
解：∵ x >0，y >0，且2
x
+1
y =2，
∴ x +2y =12
(x +2y)(2x
+1y
)=12
(2+
4y x
+x
y
+2)
≥1
2×(4+4)=4（当且仅当x =4，y =2时取到等号）． ∴ (x +2y)min =4．
∵ x +2y >m 2+2m 恒成立， ∴ m 2+2m <(x +2y)min =4，
解得：−√5−1<m <√5−1． 故答案为：−√5−1<m <√5−1． 【答案】 [1,+∞） 【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】
恒成立问题转化为函数最值问题，构造函数，利用导数求出函数的最值，问题即可得到解决. 【解答】
解：根据题干对任意的m ∈[1
e ,3]，总存在n ∈[1
e ,3]， 使得g (m )≥
f (n )成立，可得g(x)≥f(x)min 恒成立. ∵ f (x )=(x −2)e x +e +1， ∴ f ′(x )=(x −1)e x ，
当x <1时，f ′(x)<0，当x >1时，f ′(x)>0，
∴ f (x )在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， ∴ f (x )min =f (1)=1，
即对任意的x∈[1
e
,3]，g(x)≥1，
即a≥(x−x2ln x)，在x∈[1
e
,3)恒成立.
设ℎ(x)=x−x2ln x，x∈[1
e
,3），
则ℎ′(x)=1−x−2x ln x，
∴ℎ′′在[1
e
,3）上单调递减，
∴ℎ′′(x)≤ℎ′′(1
e
)=−1，
∴ℎ′(x)在[1
e
,3）单调递减.
又∵ℎ′(1)=0，
∴ℎ(x)在[1
e
,1)单调递增，在(1,3)上单调递减，
∴a≥ℎ(x)max=ℎ(1)=1，即实数a的取值范围为[1,+∞). 故答案为：[1,+∞).
三、解答题
【答案】
解：(1)f(x)=2√3sin x cos x+(sin2x+cos2x)(sin2x−cos2x)
=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π
6
)，
令2kπ+π
2≤2x−π
6
≤2kπ+3
2
π，
解得：kπ+π
3≤x≤kπ+5π
6
，
∴函数f(x)的单调减区间为[kπ+π
3,kπ+5π
6
]，k∈Z．
(2)根据平移规律，将y=f(x)的图象向左平移π
6
个单位，
得到：y=2sin(2x+π
6
)，
将横坐标缩短为原来的1
2
(纵坐标不变)，
得到：g(x)=2sin(4x+π
6
).
∵x∈[0,π
4
]，
∴4x+π
6∈[π
6
,7π
6
]，
∴−1
2≤sin(4x+π
6
)≤1，
∴−1≤2sin(4x+π
6
)≤2，
故当x∈[0,π
4
]时，g(x)的值域为[−1,2]．
【考点】
二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 两角和与差的正弦公式
函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 正弦函数的单调性 正弦函数的定义域和值域 【解析】 【解答】
解：(1)f(x)=2√3sin x cos x +(sin 2x +cos 2x)(sin 2x −cos 2x) =√3sin 2x −cos 2x =2sin (2x −π
6)，
令2kπ+π
2
≤2x −π
6
≤2kπ+3
2
π，
解得：kπ+π3≤x ≤kπ+
5π6
，
∴ 函数f(x)的单调减区间为[kπ+π
3,kπ+
5π6
]，k ∈Z ．
(2)根据平移规律，将y =f (x )的图象向左平移π
6个单位， 得到：y =2sin (2x +π
6
)，
将横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)， 得到：g(x)=2sin (4x +π6). ∵ x ∈[0,π
4]， ∴ 4x +π
6
∈[π6
,
7π
6
]，
∴ −1
2≤sin (4x +π
6)≤1，
∴ −1≤2sin (4x +π
6
)≤2，
故当x ∈[0,π
4]时，g(x)的值域为[−1,2]．
【答案】
解：(1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ， 由a 1=2，a 1+a 2=6，得a 2=4， ∴ q =2，
∴ a n =a 1q n−1=2n .
由{2b 1+a 3=b 4,S 3=3a 2,得{2b 1+8=b 1+3d,3b 1+3d =12,
解得：{b 1=1,
d =3,
∴ b n =b 1+(n −1)d =3n −2． (2)由(1)知a n =2n ，b n =3n −2， ∴ c n =a n −b n =2n −(3n −2)，
∴ 数列{c n }的前n 项和T n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n−1+a n −(b 1+b 2+b 3+⋯+b n−1+b n ) =2×(1−2n )1−2−(n +n(n −1)×32)
=2n+1−2−
n(3n−1)
2
，n ∈N ∗．
【考点】 数列的求和
等比数列的前n 项和 等比数列的通项公式 等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式 【解析】
【解答】
解：(1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ， 由a 1=2，a 1+a 2=6，得a 2=4， ∴ q =2，
∴ a n =a 1q n−1=2n .
由{2b 1+a 3=b 4,S 3=3a 2,得{2b 1+8=b 1+3d,3b 1+3d =12,
解得：{b 1=1,d =3,
∴ b n =b 1+(n −1)d =3n −2． (2)由(1)知a n =2n ，b n =3n −2， ∴ c n =a n −b n =2n −(3n −2)，
∴ 数列{c n }的前n 项和T n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n−1+a n −(b 1+b 2+b 3+⋯+b n−1+b n ) =2×(1−2n )1−2−(n +n(n −1)×32)
=2n+1−2−
n(3n−1)
2
，n ∈N ∗．
【答案】
解：(1)已知a cos B +(b −√2c)cos A =0， 由正弦定理得：
sin A cos B +(sin B −√2sin C)cos A =0， 即sin A cos B +cos A sin B =√2cos A sin C ⇒sin (A +B )=√2cos A sin C ⇒sin C =√2cos A sin C .
∵ A，B，C是△ABC的内角，∴sin C≠0，
∴cos A=√2
2
.
又0<A<π，
∴A=π
4
.
∵sin B=3
5
<sin A，
∴cos B=4
5
，
∴sin C=sin(B+π
4)=√2
2
(sin B+cos B)=7√2
10
．
(2)由正弦定理得：
15 sinπ
4=
7√2
10
，
解得：c=21，
∴ BD=2
3
c=14.
在△BCD中，由余弦定理可得：
CD2=152+142−2×15×14×4
5
=85，∴ CD=√85．
【考点】
两角和与差的正弦公式
余弦定理
正弦定理
【解析】
【解答】
解：(1)已知a cos B+(b−√2c)cos A=0，由正弦定理得：
sin A cos B+(sin B−√2sin C)cos A=0，
即sin A cos B+cos A sin B=√2cos A sin C
⇒sin(A+B)=√2cos A sin C
⇒sin C=√2cos A sin C.
∵ A，B，C是△ABC的内角，
∴sin C≠0，
∴cos A=√2
2
.
又0<A<π，
∴A=π
4
.
∵sin B=3
5
<sin A，
∴cos B=4
5
，
∴sin C=sin(B+π
4)=√2
2
(sin B+cos B)=7√2
10
．
(2)由正弦定理得：
15 sinπ
4=
7√2
10
，
解得：c=21，
∴ BD=2
3
c=14.
在△BCD中，由余弦定理可得：
CD2=152+142−2×15×14×4
5
=85，
∴ CD=√85．
【答案】
解：(1)∵f(x)=1
3
x3−2x2+3x+4，
∴f′(x)=x2−4x+3，
∴当x∈(−∞,1)∪(3,+∞)时，f′(x)>0，
当x∈(1,3)时，f′(x)<0，
∴f(x)在(−∞,1)，(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减.
∵f(x)=m有1个实根，且f(1)=16
3
，f(3)=4，
∴m<4或m>16
3
.
(2)当b=4时，f(x)=1
3
x3+ax2+4x+a2，
∴f′(x)=x2+2ax+4.
∵f(x)在(0, +∞)上为增函数，
∴x2+2ax+4≥0在(0,+∞)上恒成立，
∴当x>0时，−2a≤x+4
x
恒成立，
而x+4
x ≥2√x⋅4
x
=4，
∴−2a≤4，
∴a≥−2，
故a的取值范围是[−2, +∞)．
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
（1）先求导，利用导数判断函数的单调性，再根据f(x)＝m有1个实根即可求出．（2）根据导数和函数单调性的关系即可求出．
【解答】
解：(1)∵f(x)=1
3
x3−2x2+3x+4，
∴f′(x)=x2−4x+3，
∴当x∈(−∞,1)∪(3,+∞)时，f′(x)>0，
当x∈(1,3)时，f′(x)<0，
∴f(x)在(−∞,1)，(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减.
∵f(x)=m有1个实根，且f(1)=16
3
，f(3)=4，
∴m<4或m>16
3
.
(2)当b=4时，f(x)=1
3
x3+ax2+4x+a2，
∴f′(x)=x2+2ax+4.
∵f(x)在(0, +∞)上为增函数，
∴x2+2ax+4≥0在(0,+∞)上恒成立，
∴当x>0时，−2a≤x+4
x
恒成立，
而x+4
x ≥2√x⋅4
x
=4，
∴−2a≤4，
∴a≥−2，
故a的取值范围是[−2, +∞)．
【答案】
(1)证明：当a=1时，f(x)=e x−sin x，则f′(x)=e x−cos x.
∵x∈[0, +∞)，
∴e x≥1，而cos x≤1，
故f′(x)≥0在[0,+∞)恒成立，
∴f(x)在[0, +∞)单调递增，
故f(x)≥f(0)=1，
∴对∀x∈[0, +∞)，f(x)≥1.
(2)解：若函数f(x)在(0, π
2
)上存在极值，
则f′(x)=ae x−cos x在(0, π
2
)上存在零点，
则方程a=cos x
e x
有解，
令ℎ(x)=cos x
e x ，则ℎ′(x)=−(sin x+cos x)
e x
<0，x∈(0, π
2
)，
故ℎ(x)在(0, π
2
)单调递减，
而x→0时，ℎ(x)→ℎ(0)=1，
x→π
2时，ℎ(x)→ℎ(π
2
)=0，
故ℎ(x)∈(0, 1)，
故当实数a∈(0,1)时，函数f′(x)在(0, π
2
)上存在零点.
下面证明当a∈(0,1)时，函数f(x)在(0,π
2
)上存在极值，
当a∈(0,1)时，f′(x)=ae x−cos x为(0,π
2
)上的增函数，
f′(0)=a−1<0，f′(π
2
)=aeπ2>0，
∴存在唯一实数x0∈(0,π
2
)，使得f′(x0)=0成立，
∴当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，f(x)在(0,x0)上单调递减，
当x∈(x0,π
2)时，f′(x)>0，f(x)在(x0,π
2
)上单调递增，
即x0为f(x)在(0,π
2
)的极小值点，
综上所示，当a∈(0,1)时，函数f(x)在(0,π
2
)上存在极值，
a的取值范围是(0,1).
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的极值
【解析】
(Ⅰ)代入a的值，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；
(Ⅱ)求出函数的导数，问题转化为方程a=cos x
e x 有解，令ℎ(x)=cos x
e x
，根据函数的单调
性求出ℎ(x)的范围，从而求出a的范围．【解答】
(1)证明：当a=1时，f(x)=e x−sin x，则f′(x)=e x−cos x.
∵x∈[0, +∞)，
∴e x≥1，而cos x≤1，
故f′(x)≥0在[0,+∞)恒成立，
∴f(x)在[0, +∞)单调递增，
故f(x)≥f(0)=1，
∴对∀x∈[0, +∞)，f(x)≥1.
(2)解：若函数f(x)在(0, π
2
)上存在极值，
则f′(x)=ae x−cos x在(0, π
2
)上存在零点，
则方程a=cos x
e x
有解，
令ℎ(x)=cos x
e x ，则ℎ′(x)=−(sin x+cos x)
e x
<0，x∈(0, π
2
)，
故ℎ(x)在(0, π
2
)单调递减，
而x →0时，ℎ(x)→ℎ(0)=1， x →π
2
时，ℎ(x)→ℎ(π
2
)=0，
故ℎ(x)∈(0, 1)，
故当实数a ∈(0,1)时，函数f ′(x)在(0, π
2)上存在零点.
下面证明当a ∈(0,1)时，函数f(x)在(0,π
2)上存在极值， 当a ∈(0,1)时，f ′(x)=ae x −cos x 为(0,π
2)上的增函数，
f ′(0)=a −1<0，f ′(π
2)=ae π
2>0，
∴ 存在唯一实数x 0∈(0,π
2)，使得f ′(x 0)=0成立， ∴ 当x ∈(0,x 0)时，f ′(x)<0，f(x)在(0,x 0)上单调递减， 当x ∈(x 0,π
2)时，f ′(x)>0，f(x)在(x 0,π
2)上单调递增， 即x 0为f(x)在(0,π
2)的极小值点，
综上所示，当a ∈(0,1)时，函数f(x)在(0,π
2)上存在极值， a 的取值范围是(0,1). 【答案】
解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =2+2cos θ,
y =2sin θ (θ为参数)，
转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2=4， 将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入整理可得： 曲线C 1的极坐标方程为：ρ=4cos θ.
因为曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cos θ−2sin θ，
所以转换为直角坐标的方程为：x 2+y 2=2√3x −2y ， 整理得，(x −√3)2+(y +1)2=4.
(2)直线l 的参数方程为{x =3t,
y =−√3t (t 为参数)，
转换为直角坐标方程为：y
x =−
√33
， 所以直线的倾斜角为5π
6
，
所以θ=
5π6
.
直线l 交曲线C 1于O ，A 两点， 联立{
θ=
5π6
,
ρ=4cos θ,
解得，A(−2√3, 5π
6)， 直线θ=
5π6
和曲线C 2于O ，B 两点，
联立{
θ=
5π6
,
ρ=2√3cos θ−2sin θ,
解得，B(−4, 5π
6)，
所以|AB|=|ρ1−ρ2|=4−2√3． 【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 圆的极坐标方程 直线与圆的位置关系 两点间的距离公式
【解析】
(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用极径的应用求出结果． 【解答】
解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =2+2cos θ,
y =2sin θ (θ为参数)，
转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2=4， 将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入整理可得： 曲线C 1的极坐标方程为：ρ=4cos θ.
因为曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cos θ−2sin θ，
所以转换为直角坐标的方程为：x 2+y 2=2√3x −2y ， 整理得，(x −√3)2+(y +1)2=4.
(2)直线l 的参数方程为{x =3t,
y =−√3t (t 为参数)，
转换为直角坐标方程为：y
x =−√33
， 所以直线的倾斜角为5π
6，
所以θ=
5π6
.
直线l 交曲线C 1于O ，A 两点， 联立{
θ=
5π6
,
ρ=4cos θ,
解得，A(−2√3, 5π
6)， 直线θ=
5π6
和曲线C 2于O ，B 两点， 联立{
θ=
5π6
,
ρ=2√3cos θ−2sin θ,
解得，B(−4, 5π
6)，
所以|AB|=|ρ1−ρ2|=4−2√3．
试卷第21页，总21页 【答案】
解：(1)由绝对值三角不等式可得，
g (x )=|x +b|+|x −a|=|x +b|+|a −x| ≥|x +b +a −x|=|b +a|，
当且仅当(x +b )(a −x )≥0时，取等号.
∵ 函数g (x )的最小值为2，且b +a >0， ∴ |b +a|=b +a =2，
即点(a,b )在定直线x +y −2=0上．
(2)∵ b =3，
∴ g (x )=|x +3|+|x −a|.
当x ∈[0,1]时，
不等式g (x )≤|x +5|可化为x +3+|x −a|≤x +5， 整理得：|x −a|≤2，
解得：a −2≤x ≤a +2，
由题意，可得： [0,1]⊆[a −2,a +2]，
则{a −2≤0，a +2≥1，
解得：−1≤a ≤2， 即实数a 的取值范围是[−1,2]．
【考点】
不等式恒成立问题
绝对值不等式的解法与证明
绝对值三角不等式
【解析】
【解答】
解：(1)由绝对值三角不等式可得，
g (x )=|x +b|+|x −a|=|x +b|+|a −x| ≥|x +b +a −x|=|b +a|，
当且仅当(x +b )(a −x )≥0时，取等号.
∵ 函数g (x )的最小值为2，且b +a >0， ∴ |b +a|=b +a =2，
即点(a,b )在定直线x +y −2=0上．
(2)∵ b =3，
∴ g (x )=|x +3|+|x −a|.
当x ∈[0,1]时，
不等式g (x )≤|x +5|可化为x +3+|x −a|≤x +5， 整理得：|x −a|≤2，
解得：a −2≤x ≤a +2，
由题意，可得： [0,1]⊆[a −2,a +2]，
则{a −2≤0，a +2≥1，
解得：−1≤a ≤2， 即实数a 的取值范围是[−1,2].。