高中数学人教A版选修2-3模块综合测评1 Word版含解析

模块综合测评(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四
个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2016·山西大学附中月考)某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有()
A．510种B．105种
C．50种D．3 024种
【解析】每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有510种可能的下车方式，故选A.
【答案】 A
2．(1－x)6展开式中x的奇次项系数和为()
A．32B．－32C．0D．－64
【解析】(1－x)6＝1－C16x＋C26x2－C36x3＋C46x4－C56x5＋C66x6，
所以x的奇次项系数和为－C16－C36－C56＝－32，故选B.
【答案】 B
3．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)
^＝7.19x＋73.93，用此方程预测儿子10岁的身对年龄(单位：岁)的线性回归方程y
高，有关叙述正确的是()
A．身高一定为145.83 cm
B．身高大于145.83 cm
C．身高小于145.83 cm
D．身高在145.83 cm左右
^＝7.19x＋73.93，得y^＝145.83，但这种预测不一定【解析】将x＝10代入y
准确．实际身高应该在145.83 cm 左右．故选D.
【答案】 D
4．随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于()
A.16 B．11 C．2.2
【解析】由表格可求E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.故选A.
【答案】 A
5．正态分布密度函数为f(x)＝
1
2 2π
e－
(x－1)2
8，x∈R，则其标准差为()
A．1 B．2 C．4 D．8
【解析】根据f(x)＝
1
σ2π
e－
(x－μ)2
2σ2
，对比f(x)＝1
2 2π
e－
(x－1)2
8
知σ＝2.
【答案】 B
6．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(K2≥6.635)＝0.010表示的意义是()
A．变量X与变量Y有关系的概率为1%
B．变量X与变量Y没有关系的概率为99.9%
C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%
D．变量X与变量Y有关系的概率为99%
【解析】由题意知变量X与Y没有关系的概率为0.01，即认为变量X与Y 有关系的概率为99%.
【答案】 D
7．三名教师教六个班的数学，则每人教两个班，分配方案共有()
A．18种B．24种C．45种D．90种
【解析】不妨设三名教师为甲、乙、丙．先从6个班中任取两个班分配甲，再从剩余4个班中，任取2个班分配给乙，最后两个班分给丙．由乘法计数原理得分配方案共C26·C24·C22＝90(种)．
【答案】 D
8．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x －x n 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的
常数项等于( )
A ．15
B ．－15
C ．20
D ．－20
【解析】 由题意知n ＝6，T r ＋1＝C r 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 6－r ·(－x )r
＝(－1)r C r 6
x 32r －6，由32r －6＝0，得r ＝4， 故T 5＝(－1)4C 46＝15，故选A. 【答案】 A
9．设随机变量ξ～B (n ，p )，若E (ξ)＝2.4，D (ξ)＝1.44，则参数n ，p 的值为( ) 【导学号：97270066】
A ．n ＝4，p ＝0.6
B ．n ＝6，p ＝0.4
C ．n ＝8，p ＝0.3
D ．n ＝24，p ＝0.1 【解析】 由二项分布的均值与方差性质得 ⎩⎪⎨⎪⎧ np ＝2.4，np (1－p )＝1.44，解得⎩⎪⎨⎪⎧
n ＝6，
p ＝0.4，故选B. 【答案】 B
10．小明同学在网易上申请了一个电子信箱，密码由4位数字组成，现在小明只记得密码是由2个6,1个3,1个9组成，但忘记了它们的顺序．那么小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，则他恰好能输入正确进入邮箱的概率是( )
A.16
B.18
C.112
D.124
【解析】 由2个6,1个3,1个9这4个数字一共可以组成A 44
A 22＝12种不同的
密码顺序，因此小明试着输入由这样4个数组成的一个密码，他恰好能输入正确进入邮箱的概率是P ＝112.
【答案】 C
11．有下列数据：
x 1 2 3 Y
3
5.99
12.01
A ．y ＝3×2x －1
B ．y ＝log 2x
C ．y ＝3x
D ．y ＝x 2
【解析】 当x ＝1,2,3时，代入检验y ＝3×2x －1适合．故选A. 【答案】 A 12.
图1
(2016·孝感高级中学期中)在如图1所示的电路中，5只箱子表示保险匣，箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，若各保险匣之间互不影响，则当开关合上时，电路畅通的概率是( )
A.551720
B.29144
C.2972
D.2936
【解析】 “左边并联电路畅通”记为事件A ，“右边并联电路畅通”记为事件B .
P (A )＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＝56.
P (B )＝1－15×16＝29
30.
“开关合上时电路畅通”记为事件C . P (C )＝P (A )·P (B )＝56×2930＝29
36，故选D. 【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)
13．(2016·石家庄二模)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则使关
于x 的一元二次方程x 2－x ＋a ＝0无实根的概率为________．
【解析】 ∵方程无实根，∴Δ＝1－4a <0，∴a >1
4， ∴所求概率为3
4. 【答案】 3
4
14．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X 近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P (400<X <450)＝0.3，则P (550<X <600)＝________.
【解析】 由下图可以看出P (550<X <600)＝P (400<X <450)＝0.3.
【答案】 0.3
15．(2015·重庆高考)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3
＋
12x 5的展开式中x 8的系数是________(用数字作答)．
【解析】 ∵T r ＋1＝C r 5·
(x 3)5－r ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x r ＝C r 5·x 15－3r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12r
·x －r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12r ·C r 5·x 30－7r 2(r
＝0,1,2,3,4,5)，
由30－7r 2＝8，得r ＝2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 25＝5
2.
【答案】 5
2 16.
图2
将一个半径适当的小球放入如图2所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是1
2，则小球落入A 袋中的概率为________. 【导学号：97270067】
【解析】 记“小球落入A 袋中”为事件A ，“小球落入B 袋中”为事件B ，则事件A 的对立事件为B ，若小球落入B 袋中，则小球必须一直向左落下或一直向右落下，故P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫123＝1
4，从而P (A )＝1－P (B )＝1－14＝34.
【答案】 3
4
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)6男4女站成一排，求满足下列条件的排法： (1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？ (2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？ (3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？
(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？
【解】 (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女
生插到男生的空中，共有A 6
6·A 47＝604 800(种)不同排法．
(2)法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A 99种排法，若
甲不在末位，则甲有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，综上共有(A 99＋A 18A 18A 88)＝2 943 360(种)排法．
法二：无条件排列总数
A 10
10－⎩⎪⎨⎪⎧
甲在首，乙在末A 88，甲在首，乙不在末A 99－A 88，
甲不在首，乙在末A 9
9－A 8
8，
甲不在首，乙不在末，共有A 1010－2A 99＋A 8
8＝2 943 360(种)排法．
(3)10人的所有排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，又对应
甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有A 1010
A 33
＝604 800(种)．
(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有1
2A 1010＝1 814 400(种)排法．
18．(本小题满分12分)某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布N (70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：
(1)成绩不及格的学生人数占总人数的比例； (2)成绩在80～90分内的学生人数占总人数的比例．
【解】 (1)设学生的得分为随机变量X ，X ～N (70,102)，则μ＝70，σ＝10. 分数在60～80之间的学生的比例为 P (70－10<X ≤70＋10)＝0.683， 所以不及格的学生的比例为
1
2×(1－0.683)＝0.158 5，即成绩不及格的学生人数占总人数的15.85%. (2)成绩在80～90分内的学生的比例为12[P (70－2×10<X ≤70＋2×10)]－1
2[P (70－10<X ≤70＋10)]
＝1
2(0.954－0.683)＝0.135 5.
即成绩在80～90分内的学生人数占总人数的13.55%.
19．(本小题满分12分)口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则
(1)第一次取出的是红球的概率是多少？
(2)第一次和第二次取出的都是红球的概率是多少？
(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的也是红球的概率是多少？
【解】 记事件A ：第一次取出的是红球； 事件B ：第二次取出的是红球． (1)第一次取出红球的概率 P (A )＝
4×56×5＝2
3
. (2)第一次和第二次取出的都是红球的概率P (A ∩B )＝
4×36×5＝2
5
. (3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的也是红球的概率为 P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )
＝2
523
＝3
5.
20．(本小题满分12分)已知⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中，第4项和第9项的二项式
系数相等．
(1)求n ；
(2)求展开式中x 的一次项的系数．
【解】 (1)由第4项和第9项的二项式系数相等可得C 3n ＝C 8
n ，
解得n ＝11.
(2)由(1)知，展开式的第k ＋1项为 T k ＋1＝C k 11(
x )11－k ⎝
⎛
⎭
⎪⎫－
2x k
＝(－2)k C k
11x 11－3k 2. 令11－3k
2＝1，得k ＝3.
此时T 3＋1＝(－2)3C 311x ＝－1 320x ， 所以展开式中x 的一次项的系数为－1 320. 21．(本小题满分12分)对于表中的数据：
(1)作散点图，你从直观上得到什么结论？ (2)求线性回归方程．
【解】 (1)如图，x ，y 具有很好的线性相关性． (2)因为x ＝2.5，y ＝5，∑4
i ＝1x i y i ＝60，
∑4
i ＝1x 2
i ＝30，∑4
i ＝1y 2i ＝120.04. 故b ^＝60－4×2.5×530－4×2.52＝2，
a
^＝y －b ^ x ＝5－2×2.5＝0， 故所求的回归直线方程为 y ^
＝2x .
22．(本小题满分12分)(2016·丰台高二检测)“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子．”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：
男性 女性 总计 爱好 10 不爱好 8 总计
30
已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是815.
(1)请将上面的列联表补充完整(在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析能否有把握认为爱好运动与性别有关？
(2)若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为X，求X的分布列、数学期望．
【解】(1)
k＝30×(10×8－6×6)2
16×14×16×14
≈1.158<3.841，所以没有把握认为爱好运动与性别有
关．
(2)X的取值可能为0,1,2.
P(X＝0)＝C28
C214
＝4
13
，
P(X＝1)＝C16C18
C214
＝48
91
，
P(X＝2)＝C26
C214
＝15
91.
所以X的分布列为：
X的数学期望为
E(X)＝0×4
13
＋1×48
91
＋2×15
91
＝6
7.。