第一讲 1.1平面直角坐标系(高中数学人教版选修4-4)
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y=sin2x
2
x
O
y=sinx
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标不变, 1 将横坐标x缩为原来的 ,就得到正弦曲线y=sin2x. 2 上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换,即: 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标 不变,将横坐标x缩为原来 1 ,得到点 p x, y 2 坐标对应关系为:
1 x x 2 y y
1
通常把 1 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。 y y=3sinx
y=sinx 2
O
x
(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出 其坐标变换。 在正弦曲线上任取一点P(x,y),保持横坐标x不变, 将纵坐标伸长为原来的3倍,就得到曲线y=3sinx。 设点P(x,y)经变换得到点为 p x, y
1.平面直角坐标系
y
Y=f(x)
(1)平面直角坐标系的作用:使平面
上的点与 坐标 、曲线与 方程 建立联系, 从而实现 数与形 的结合. (2)坐标法解决几何问题的“三部曲”:
O
x
第一步:建立适当坐标系,用坐标和方
程表示问题中涉及的 几何 元素,将几何
曲线的方程
问题转化为 代数 问题;第二步:通过 代数运算解决代数问题;第三步:把代 数运算结果翻译成 几何 结论.
x′=λx(λ>0), 解:设变换为 代入第二个方程,得 2λx-μy y′=μy(μ>0), x′=x, =4, 与 x-2y=2 比较系数得 λ=1, μ =4, 即 因此, y′=4y. x′=x, 经过变换 后,直线 x-2y=2 变成直线 2x′-y′=4. y′=4y
课堂小结:
(1)体会坐标法的思想,应用坐标 法解决几何问题; (2)掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。
作业:
1.在同一直角坐标系下,求满足下列图形的伸缩变换:
曲线4x2+9y2=36变为曲线
x y 1
2 2
2 x′=3x, y 2 2.求双曲线 C:x - =1 经过 φ: 变换后所得曲 64 2y′=y
解:设AB=6,以AB所在直线为X轴,AB的中点为坐标原点为, 建立平面直角坐系,则A(3,0),B(-3,0),设M(x,y),由
MA2 MB2 26
2 2
即
2 2
( x 3) y ( x 3) y 26
化简得
x y 4
2 2
即为所求M点的轨迹方程
练习:
1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
注 (1) 0, 0 (2)把图形看成点的运动轨迹,平面图 形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到; (3)在伸缩变换下,平面直角坐标系不 变,在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
例2:在直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过 伸缩变换 x 2 x 后的图形。 (1)2x+3y=0; (2)x2+y2=1 1 x x x 2 x 2 解: 1由伸缩变换 得 y 3y y 1 y 3 代入2x+3y=0
问题2: 2(1).怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx? 写出其坐标变换。
(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
2.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考:
(1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
1 x x x 2 x 2 2 由伸缩变换 得 y 3y y 1 y 3 2 y2 x 代入x2 +y2 =1得 4 + 9 =1
y 3 y
得x+y=0
练习: 1. (P8 4. )在同一直角坐标系中,求下列方程所对应的图形 经过伸缩变换
即 x2 y2 c2 5[( x c)2 y2 ]. 2 2 2 整理得 2x 2 y 2c 5cx 0.
因为
x c y 所以BE CF ( c)( x) 0. 因此,BE与CF互相垂直. 2 2 2
x y c BE ( c, ), CF ( x, y ), 2 2 2 2
1 x x 3 得 y 1 y 2
2 x′=3x, y 2 2.求双曲线 C:x - =1 经过 φ: 变换后所得曲 64 2y′=y
线 C′的焦点坐标.
[解 ]
设曲线 C′ 上任意一点 P′(x′ , y ′ ),由上述可知,将
1 2 2 2 2 x=3x′, x ′ 4 y ′ x ′ y 代入 x2- =1,得 - =1,化简得 - 64 9 64 9 y=2y′, y′2 x2 y2 =1,即 - =1 为曲线 C′的方程,可见仍是双曲线, 16 9 16 则焦点 F1(-5,0),F2(5,0)为所求.
线 C′的焦点坐标.
1.在同一直角坐标系下,求满足下列图形的伸缩变换: 曲线4x2+9y2=36变为曲线
x y 1
2 2
x x 1解:设伸缩变换 , 0 y y
代入x +y =1得 x y 1
2 2
2 2 2 2
1 3 2 2 则 又4 x 9 y 36 1 2
问题: 1.两个定点的距离为6,点M 到这两个定点 的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程。
求轨迹的常用方法:如果题目中的条件有明显的等量关系或者可 以推出某个等量关系,即可用求曲线方程的五个步骤直接求解.
问题: 1.两个定点的距离为6,点M 到这两个定点的距离的平 方和为26,求点M的轨迹方程。
1 x x 2 3 y 3 y
通常把 叫做平面直角坐标系中 的一个坐标伸缩变换。
定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点, 在变换 ( 0) x' x : 4 ( 0) y' y 的作用下,点P(x,y)对应 p x, y 称
边AC,AB上的中线,建立适当的平面直角坐标系探究
BE与CF的位置关系
2.已知点 A为定点,线段BC在定直线l上滑动,已
知|BC|=4,点A到直线l的距离为3,求△ABC的外
心的轨迹方程.
1(例1).已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF 分别为边AC,AB上的中线,建立适当的平面直角坐标 y 系探究BE与CF的位置关系。 解:以△ABC的顶点A为原点O, C 边AB所在的直线x轴,建立直角 坐标系,由已知,点A、B、F的 E 坐标分别为 c A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( 2 ,0 ). (A) B O xFy x 设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为( ,). 2 22 2 2 2 2 2 由b c 5a ,可得到 | AC | | AB | 5 | BC | ,
x x y 3 y
2
通常把 2 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸 长变换。
(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。 y y=3sin2x y=sinx 2
O
x
(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。 在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐 1 标不变,将横坐标x缩为原来的 2 ,在此基础上, 将纵坐标变为原来的3倍,就得到正弦曲线 y=3sin2x. 设点P(x,y)经变换得到点为
3. (P8 6).在同一直角坐标系中,求满足下列图形的伸缩变换: (1)直线 x-2y=2变成直线 2 x y 4
2 2 2 2 x 16 y 4x 0 x y 2 x 0 (2)曲线 变成曲线
3(1).在同一平面直角坐标系中,将直线 x-2y=2 变成直线 2x′-y′=4,求满足图象变换的伸缩变换.
根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则: (1)如果图形有对称中心,可以选择对称中心为坐标原点;
(2)如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴;
(3)使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。
P8第2题
A
y
P (x,y) C
B (x-2,0)
x
(x+2,0)
2.已知点 A为定点,线段BC在定直线l上滑动,已知|BC|=4,
x2 y2 (1) 9 4 1
x y 1 x 3 1 y 2
后的图形。
x2 y2 (2) 18 12 1
(3)
y 2x
2
x 3x 2. (P8 5).在同一直角坐标系中经过伸缩变换 y y 后,
曲线C变为 x2 9 y2 9 ,求曲线C的方程并画出图形。
点A到直线l的距离为3,求△ABC的外心的轨迹方程
1.解:以直线l为x轴,过点A与l垂直的直线为 y轴建立直角坐标系,则 点A(0,3)。 设ABC的外心为P ( x, y ),因为P是线段BC的垂直 平分线上的点,所以 B、C的坐标分别为 ( x 2,0) ( x 2,0) 因为P也在线段AB的垂直平分线上,所以 PA PB 即 x 2 ( y 3) 2 22 y 2 整理得x 2 6 y 5 0 这就是所求的轨迹方程 。
方程的曲线
(3)建立平面直角坐标系的原则:
根据图形的几何特点选择适当 的直角坐标系的一些规则:
(4)建立平面直角坐标系步骤: ①设点(点与坐标的对应) ②列式(方程与坐标的对应) ③化简
①如果图形有对称中心,选对称中心为原点.
②如果图形有对称轴,可以选对称轴为坐标轴,
③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.④说明(即得所要求的方程)