江西省赣州市章贡区18届高三数学上学期第一次阶段测试试题理

江西省赣州市章贡区2018届高三数学上学期第一次阶段测试试题 理
考试时间：120分钟
第I 卷（选择题）
一、选择题（每一题都只有唯一的答案，每小题5分，共60分） 1．
3i
1i
+=+ ( ) A ．12i +
B ．12i -
C ．2i +
D ．2i -
2．设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=．若{}1A
B =，则B = ( )
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 ( ) A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
4、设p ：x 2
－x －20>0，q ：log 2(x －5)<2，则q 是p 的 ( )
A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 5、已知p ：x ≥k ，q ：
3
x ＋1
<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是 ( ) A ．(2，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．[1，＋∞)
D ．(－∞，－1)
6、已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝e x
＋sin x ，则
( )
A ．f (1)<f (2)<f (3)
B ．f (2)<f (3)<f (1)
C ．f (3)<f (2)<f (1)
D ．f (3)<f (1)<f (2) 8．函数f (x )＝13
x 3
－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，则m 的值为 ( )
A ．7
B ．28
3
C ．3
D ．4
9．已知函数f (x )＝e x
x
2－k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围
为( )
A ．(－∞，e]
B ．[0，e]
C ．(－∞，e)
D ．[0，e)
10．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
( ) A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
11．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我
还
是
不
知
道
我
的
成
绩
．
根
据
以
上
信
息
，
则
( )
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩
12．若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为 ( )
A ．1-
B ．32e --
C ．35e -
D ．1
第II 卷（非选择题）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y
≥0}，则A ⊗B ＝________.
14、已知集合A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪
⎪
x －1
x ＋1<0，B ＝{x |(x －b )2<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则b
的取值范围是________．
15．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则DX =____________．
16．函数2
3()sin 4f x x x =+-
([0,])2
x π
∈的最大值是____________． 三、解答题（6小题，共70分）
17、已知集合A ＝{x |x 2
－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}．
(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．
18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100
个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）．其频率分布直方图如下：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ”，估计A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3）．
附：
，2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19．（本题12分）已知函数25
()log 5
x f x x -=+ （Ⅰ）求函数)(x f 的定义域； （Ⅱ）若4)(=a f ，求a 的值； （Ⅲ）判断并证明该函数的单调性.
20、已知函数f (x )＝e x ＋ax 2－e 2
x .
(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线平行于x 轴，求函数f (x )的单调区间； (2)若x >0时，总有f (x )>－e 2
x ，求实数a 的取值范围．
21．（12分）已知函数2()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥．
（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e ()2f x --<<．
选考题：22、在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的
极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．
23已知3
3
0,0,2a b a b >>+=．证明：（1）5
5
()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤． ．
赣州市厚德外国语学校2018届高三第一次阶段测试数学(理）答案
一、选择题： 1．
3i
1i
+=+ A ．12i +
B ．12i -
C ．2i +
D ．2i -
2．设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=．若{}1A
B =，则B =
A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
【解析】由{}1A
B =得1B ∈，即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140,3m m -+==，
{}1,3B =，故选C ．
3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏
B ．3盏
C ．5盏
D ．9盏
【解析】设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比
数列的求和公式有：
7(12)
38112
x -=-，解得3x =，即塔的顶层共有灯3盏，故选B ． 4、设p ：x 2
－x －20>0，q ：log 2(x －5)<2，则q 是p 的( )
A ．充要条件
B ．充分而不必要条件
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件 ∵x 2
－x －20>0，∴x >5或x <－4，∴p ：x >5或x <－4.
∵log 2(x －5)<2，∴0<x －5<4，即5<x <9，∴q ：5<x <9，∵{x |5<x <9}{x |x >5或x <－4}，故选B. 5、已知p ：x ≥k ，q ：
3
x ＋1
<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．[1，＋∞) D ．(－∞，－1)
解析： ∵
3x ＋1<1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1
<0，即(x －2)(x ＋1)>0， ∴x >2或x <－1，∵p 是q 的充分不必要条件，∴k >2.答案： A
6、已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析： (等价法)因为p ：x ＋y ≠－2，
q ：x ≠－1，或y ≠－1，所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1，且y ＝－1，
因为綈q ⇒綈p 但綈p ⇒/ 綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件． 答案： A
7．已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝e x
＋sin x ，则( )
A ．f (1)<f (2)<f (3)
B ．f (2)<f (3)<f (1)
C ．f (3)<f (2)<f (1)
D ．f (3)<f (1)<f (2) 解析： 由f (x )＝f (π－x )得函数f (x )的图像关于x ＝
π2
对称．由f (x )＝e x
＋sin x 得函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，由f (x )＝f (π－x )得，f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，又1，π－2，π－3均属于⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，∴f (π－2)>f (1)>f (π－3)，∴f (2)>f (1)>f (3)． 答案： D
8．函数f (x )＝13
x 3
－4x ＋m 在[0,3]上的最大值为4，则m 的值为( )
A ．7
B ．28
3 C ．3 D ．4
解析： f ′(x )＝x 2
－4，x ∈[0,3]，
f ′(x )＝0时，x ＝2，f ′(x )<0时，0≤x <2，f ′(x )>0时，2<x ≤3.
∴f (x )在[0,2)上是减函数，在(2,3]上是增函数．又f (0)＝m ，f (3)＝－3＋m . ∴在[0,3]上，f (x )max ＝f (0)＝4，∴m ＝4，故选D.答案： D
9．已知函数f (x )＝e x
x
2－k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，
则实数k 的取值范围为( )
A ．(－∞，e]
B ．[0，e]
C ．(－∞，e)
D ．[0，e)
解析： f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2x 2＋1x ＝(x －2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫e x
x －k x 2(x >0)．设g (x )＝e x
x ，
则g ′(x )＝(x －1)e
x
x
2
，则g (x )在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增． ∴g (x )在(0，＋∞)上有最小值为g (1)＝e ，结合g (x )＝e
x
x
与y ＝k 的图像可知，要满足题意只需k ≤e 选
A.
10．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种
【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成
三份：有24
C 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有23
43C A 36⨯=种． 故选D ． 11．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是
不知道我的成绩．根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩
12．若2x =-是函数21()(1)e x f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为
A ．1-
B ．32e --
C ．35e -
D ．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，
则A ⊗B ＝________.
由已知A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，又由新定义A ⊗B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )，结合数轴得A ⊗B ＝
{0}∪[2，＋∞)．
14、已知集合A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x －1x ＋1<0，B ＝{x |(x －b )2<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则b 的取值范围是________．
解析： 由A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪
⎪
x －1x ＋1<0＝{x |(x －1)·(x ＋1)<0}，得－1<x <1，当a ＝1时，B ＝{x |(x －b )2<1}＝{x |b －1<x <b ＋1}，因为A ∩B ≠∅，所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ＋1>－1，
b －1<1，解得－2<b <2.
15．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到
的二等品件数，则DX =____________．
【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即()~100,0.02X B ，由二项分布的期望公式可得()11000.020.98 1.96DX np p =-=⨯⨯=．
16．函数2
3()sin 4f x x x =-
([0,])2
x π
∈的最大值是____________．
【解析】化简三角函数的解析式，则
()
22311cos cos 44f x x x x x =--=-++=2(cos 1x -+，由[0,]2x π∈可得
cos [0,1]x ∈，当cos 2
x =
时，函数()f x 取得最大值1． 三、解答题：
17、已知集合A ＝{x |x 2
－6x ＋8<0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}． (1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．
解析： A ＝{x |x 2
－6x ＋8<0}＝{x |2<x <4}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )<0}． (1)当a ＝0时，B ＝∅，不合题意． 当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }，要满足题意，
则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤2，3a ≥4，
解得4
3
≤a ≤2.
当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，要满足题意，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
3a ≤2，a ≥4，无解．综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤43，2.
(2)要满足A ∩B ＝∅， 当a >0时，B ＝{x |a <x <3a }， 则a ≥4或3a ≤2，即0<a ≤2
3
或a ≥4.
当a <0时，B ＝{x |3a <x <a }，则a ≤2或a ≥4
3，即a <0.
当a ＝0时，B ＝∅，A ∩B ＝∅.
综上，a 的取值范围为⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，23∪[4，＋∞)． 18．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个
网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）．其频率分布直方图如下：
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3）．
附：，
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
19．（本题12分）已知函数25
()log 5
x f x x -=+ （Ⅰ）求函数)(x f 的定义域； （Ⅱ）若4)(=a f ，求a 的值； （Ⅲ）判断并证明该函数的单调性. 19．（Ⅰ）由
05
5
>+-x x 解得55>-<x x 或. 所以)(x f 的定义域为(,5)(5,)-∞-⋃+∞ --------------3分 （Ⅱ）3
17
,455log )(2
-==+-=a a a a f 解得 -------------------6分 （Ⅲ）)(x f 在(5,)+∞和(,5)-∞-上是单调递增的. ---------------7分 证明：任取(,5)(5,)x ∈-∞-⋃+∞，则(,5)(5,)x -∈-∞-⋃+∞，
)(55
log )55(log 55
log 55
log )(21
222x f x x x x x x x x x f -=+--=+-=-+=+---=--
)(x f ∴为奇函数 ---10分
任取12,(5,)x x ∈+∞，且21x x <，则012>-=∆x x x ，
21212112
2222
212112()()
5555255log log log log 5555255y f x f x x x x x x x
x x x x x x x x
∆=----+-+∆=-=⨯=+++---∆
012>-=∆x x x ，x x x x x x ∆-->∆+-∴5255252121
1)(525)
(52521211221>-+--+-∴x x x x x x x x ，0)
(525)
(525log 212112212>-+--+-∴x x x x x x x x
0>∆∴y
由此证得)(x f 在(5,)+∞上是单调递增的. -------12分
)(x f 是奇函数)(x f ∴在(,5)-∞-上也是单调递增的.
)(x f ∴在(5,)+∞和(,5)-∞-上是单调递增的.
20、已知函数f (x )＝e x ＋ax 2－e 2x .
(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线平行于x 轴，求函数f (x )的单调区间；
(2)若x >0时，总有f (x )>－e 2x ，求实数a 的取值范围．
解析： (1)由f ′(x )＝e x ＋2ax －e 2，得
y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率k ＝4a ＝0，则a ＝0.
此时f (x )＝e x －e 2x ，f ′(x )＝e x －e 2.
由f ′(x )＝0，得x ＝2.
当x ∈(－∞，2)时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，2)上单调递减；
当x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )>0，f (x )在(2，＋∞)上单调递增．
(2)由f (x )>－e 2x ，得a >－e x x 2.设g (x )＝－e x x 2，x >0，则g ′(x )＝e x
(2－x
)
x 3.
∴当0<x <2时，g ′(x )>0，g (x )在(0,2)上单调递增；
当x >2时，g ′(x )<0，g (x )在(2，＋∞)上单调递减．
∴g (x )≤g (2)＝－e
24.因此实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－e
24，＋∞.
21．（12分）已知函数2()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥．
（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且22
0e ()2f x --<<．
所以()220e 2f x --<<．
（二）选考题：在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系学科*网，曲
线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=，求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）设点A 的极坐标为(2,)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值．
23已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）55()()4a b a b ++≥；（2）2a b +≤．
【解析】（1）()()
556556a b a b a ab a b b ++=+++ ()()()
2
333344222244.a b a b ab a b ab a b =+-++=+-≥。