必修四1-1-1三角函数的任意角

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(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边 相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍． 提醒 一般地，终边相同的角的表达式形式不唯一，可利用图 形来验证， 如 α＝90° ＋ k· 180° 与 β＝－90° ＋k· 180° (k∈Z)都表示 终边在 y 轴上的角．
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规律方法
解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、
直角、钝角、平角、周角等概念．另外需要掌握判断命题真假 的技巧，判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反 例即可．
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Байду номын сангаас
名师点睛 1．准确理解任意角的概念 掌握角的概念应注意角的三个要素：顶点、始边、终边．角可以是 任意大小的． (1)用旋转的观点来定义角，就可以把角的概念推广至任意角，包括 任意大小的正角、负角以及零角． (2)对角概念的理解关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转方向； ②要明确旋转的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置． 提醒 从现在开始，对角的认识不能仅仅局限于 0° ～360° 的范围．
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3．终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，
360°，k∈Z} 可构成一个集合 S＝ {β|β＝α＋k·
即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角
，
α 与整数个周角的和．如图所示，角 α1、α2、α3 为终边相同的 角． 想一想：终边相同的角是相等的角吗？ 提示 不一定，相等的角的终边一定相同；终边相同的角不一 定相等．终边相同的角有无数个，它们相差 360° 的整数倍．
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②终边落在 x 轴的非正半轴上的角的集合： {α|α＝k· 360° ＋180° ， k∈Z}； ③终边落在 y 轴的非负半轴上的角的集合：{α|α＝k· 360° ＋90° ， k∈Z}； ④终边落在 y 轴的非正半轴上的角的集合： {α|α＝k· 360° ＋270° ， k∈Z}； ⑤终边落在 x 轴上的角的集合：{α|α＝k· 180° ，k∈Z}； ⑥终边落在 y 轴上的角的集合：{α|α＝k· 180° ＋90° ，k∈Z}； ⑦终边落在坐标轴上的角的集合：{α|α＝k· 90° ，k∈Z}；
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1．1 任意角和弧度制 1．1.1 任意角
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【课标要求】 1．了解角的概念． 2．掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义． 3.熟练掌握象限角、轴线角、终边相同的角的概念，会用集合 符号表示这些角． 【核心扫描】 1．各种角的概念．(重点、易混点) 2．终边相同的角的表示．(难点)
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2．准确认识终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内(而且只有这样的角) 可以用式子 α＋k· 360° ，k∈Z 表示． 在运用时，需注意以下几点： (1)k 是整数，这个条件不能漏掉； (2)α 是任意角； (3)k· 360° 与 α 之间用“＋”号连结， 如 k· 360° －30° 应看成 k· 360° ＋(－30° )(k∈Z)；
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自学导引 1．任意角的概念 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线 绕着端点从一个位置 旋转 到另 一个位置所成的图形．
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(2)角的表示：如图 ①顶点：射线的端点 O；. ②始边：射线的起始位置 OA； ③终边：射线的终止位置 OB. (3)角的分类 按旋转方向可将角分为如下三类： ①正角：按 逆时针 ②负角：按 顺时针 方向旋转形成的角； 方向旋转形成的角；
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[思路探索] 解答本题可根据任意角、象限角的概念进行判断． 解析 ①390° 角是第一象限角，可它不是锐角，所以①不正确．
②锐角是大于 0° 且小于 90° 的角，终边落在第一象限，故是第 一象限角，所以②正确． ③－330° 角是第一象限角，但它是负角，所以③不正确． ④120° 角是第二象限角，390° 是第一象限角，显然 390° >120° ， 所以④不正确． ⑤480° 角是第二象限角，但它不是钝角，所以⑤不正确． ⑥0° 角小于 180° ，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑥ 不正确． 答案 ②
③零角：如果一条射线 没有 作任何旋转，我们称它形成了一 个零角．
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想一想：如果一个角的终边和始边重合，那么这个角一定是零 角吗？ 提示 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角；若角 的终边作了旋转，则这个角不是零点．
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2．象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么， 角的终边在第几象限， 就说这个角是 第几象限的角 ． 如果角的 终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
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3．象限角、轴线角的理解 (1)第一象限角的集合：{α|k· 360° <α<k· 360° ＋90° ，k∈Z}； 第二象限角的集合：{α|k· 360° ＋90° <α<k· 360° ＋180° ，k∈Z}； 第三象限角的集合：{α|k· 360° ＋180° <α<k· 360° ＋270° ，k∈Z}； 第四象限角的集合：{α|k· 360° ＋270° <α<k· 360° ＋360° ，k∈Z}； (2)终边落在坐标轴上的角的集合： ①终边落在 x 轴的非负半轴上的角的集合：{α|α＝k· 360° ，k∈Z}；
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题型一 有关角的概念问题
【例 1】 下列命题： ①第一象限角都是锐角； ②锐角都是第一象限角； ③第一象限角一定不是负角； ④第二象限角大于第一象限角； ⑤第二象限角是钝角； ⑥小于 180° 的角是钝角、直角或锐角． 其中真命题的序号为________(把正确命题的序号都写上)．