高考数学二轮复习 考前数学思想领航 三 分类与整合思想讲学案 理

三、分类与整合思想
方法一 公式、定理分类整合法
模型解法
公式、定理分类整合法即利用数学中的基本公式、定理对研究对象进行分类，然后分别对每类问题进行解决的方法．此方法多适用于公式、定理自身需要分类讨论的情况．破解此类题的关键点：
①分类转化，结合已知所涉及的知识点，找到合理的分类标准．
②依次求解，对每个分类所对应的问题，逐次求解．
③汇总结论，汇总分类结果，得结论．
典例1 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0 (n ＝1,2,3，…)，则q 的取值范围是________．
解析 由{a n }是等比数列，S n >0，
可得a 1＝S 1>0，q ≠0，当q ＝1时，S n ＝na 1>0.
当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q
>0， 即1－q n 1－q
>0(n ＝1,2,3，…)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－q >0，1－q n >0，
① 或⎩⎪⎨⎪⎧ 1－q <0，1－q n <0. ②
由①得－1<q <1，由②得q >1.
故q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．
答案 (－1,0)∪(0，＋∞)
思维升华 公式、定理的分类整合法的分类一般比较固定，由定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．
跟踪演练1 S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4，S 3，S 5成等差数列，则{a n }的公比为( ) A.12 B ．2 C ．－12
D ．－2 答案 D
解析 设{a n }的公比为q (q ≠0)，由等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4，S 3，S 5成等差数列，得2S 3＝S 4＋S 5.
当q ＝1时，S 4＝4a 1，S 3＝3a 1，S 5＝5a 1，
此时2S 3≠S 4＋S 5，不满足题意；
当q ≠1时，有2a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 4)1－q ＋a 1(1－q 5
)1－q
，即q 2＋q －2＝0， 解得q ＝－2或q ＝1(舍去)．
方法二 位置关系的分类整合法
模型解法
对于几何中位置关系的分类讨论问题常采用分类整合法，这种方法适用于解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系，以及几何图形中点、线、面的位置关系的研究．破解此类题的关键点： ①确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定．
②分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类．
③得出结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理． 典例2 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4
下，当3≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是
( ) A ．[6,15] B ．[7,15]C ．[6,8] D ．[7,8]
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4－s ，y ＝2s －4，
由图，可得A (2,0)，B (4－s ,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4)．
①当3≤s <4时，不等式组所表示的可行域是四边形OABC 及其内部，此时，z ＝3x ＋2y 在点
B处取得最大值，且z max＝3(4－s)＋2(2s－4)＝s＋4，由3≤s<4，得7≤z max<8.
②当4≤s≤5时，不等式组所表示的可行域是△OAC′及其内部，此时z＝3x＋2y在点C′处取得最大值，且z max＝8.
综上可知，z＝3x＋2y的最大值的变化范围是[7,8]，故选D.
答案 D
思维升华(1)在解析几何位置关系的研究中，不能仅仅关注直线与圆锥曲线的位置关系中的相交、相离和相切三种情况，还要注意焦点在不同位置时的关系的探究．
(2)在几何图形的相关问题中，要充分发挥空间想象能力，将所有可能出现的关系“一网打尽”．如本题随着s取值的变化，目标函数值是会随着变化的，如果考虑不全，就会得出错误结论．
跟踪演练2 抛物线y2＝4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的点P的个数为________．
答案 4
解析当|PO|＝|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|＝|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|＝|FP|的情形，点P不存在．事实上，F(p，0)，若设P(x，y)，则|FO|＝p，|FP|＝(x－p)2＋y2，
若(x－p)2＋y2＝p，则有x2－2px＋y2＝0，
又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，
当x＝0时，不构成三角形．当x＝－2p(p>0)时，与点P在抛物线上矛盾．∴符合要求的点P有4个．
方法三含参问题的分类整合法
模型解法
含参问题的分类整合法是分类讨论问题中最重要、最常见也是最复杂的一种方法，在解决问题中一般根据参数的取值范围进行分类．此模型适用于某些含有参数的问题，如含参的方程、不等式等，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的方法进行求解或证明，因此要分类讨论．破解此类题的关键点：
①确定范围，确定需要分类问题中参数的取值范围．
②确定分类标准，这些分类标准都是在解题过程中根据解决问题的需要确定的，注意有些参数可能出现多级分类，要做到不重不漏．
③分类解决问题，对分类出来的各相应问题分别进行求解．
④得出结论，将所得到的结论进行汇总，得出正确结论．
典例3 函数f(x)＝ax2＋4x－3在[0,2]上有最大值f(2)，则实数a的取值范围为( ) A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
解析 方法一 当a ＝0时，f (x )＝4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．
当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a 2－3－4a ，其对称轴为x ＝－2a
. 当a >0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．
当a <0时，只有当－2a
≥2，即－1≤a <0时，f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，最大值为f (2)，满足题意．
综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)．
故选B.
方法二 由f (x )＝ax 2＋4x －3，得f ′(x )＝2ax ＋4，
要使函数f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)，
需使f (x )＝ax 2＋4x －3在[0,2]上为单调递增函数，则f ′(x )＝2ax ＋4≥0在[0,2]上恒成立，
当x ＝0时成立，当x ≠0时，由x ∈(0,2]，得a ≥－2x
， 因为－2x
在(0,2]上的最大值为－1，所以a ≥－1. 综上，当a ≥－1时，函数f (x )＝ax 2
＋4x －3在[0,2]上有最大值f (2)．故选B. 答案 B
思维升华 对于含参问题的分类讨论主要有以下三种类型：(1)概念型，即问题所涉及的数学概念是分类进行定义的，如|a |的定义分a >0，a ＝0，a <0三种情况．
(2)性质型，即问题中涉及的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制、或者是分类给出的，如等比数列的前n 项和公式，分q ＝1和q ≠1两种情况．
(3)含参型，求解含有参数的问题时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论．另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都需要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性．
跟踪演练3 已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且F 2到直线x －3y －9＝0的距离等于椭圆的短轴长．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若圆P 的圆心为P (0，t )(t >0)，且经过F 1，F 2两点，Q 是椭圆C 上的动点且在圆P 外，
过Q 作圆P 的切线，切点为M ，当|QM |的最大值为322时，求t 的值． 解 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，
依题意可得2b ＝|1－9|2
＝4， 所以b ＝2，又c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝5， 所以椭圆C 的方程为x 25＋y 24＝1. (2)设Q (x ，y )⎝ ⎛⎭
⎪⎫满足x 25＋y 24＝1， 圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝t 2
＋1， 连接PM ，因为QM 为圆P 的切线， 所以PM ⊥QM ，
所以|QM |＝|PQ |2－t 2－1 ＝x 2＋(y －t )2－t 2－1 ＝－14(y ＋4t )2＋4＋4t 2. ①若－4t ≤－2，即t ≥12
时， 当y ＝－2时，|QM |取得最大值，
且|QM |max ＝4t ＋3＝322
， 解得t ＝38<12
(舍去)． ②若－4t >－2，即0<t <12
， 当y ＝－4t 时，|QM |取得最大值，
且|QM |max ＝4＋4t 2＝322
， 解得t 2＝18，又0<t <12，所以t ＝24
. 综上，当t ＝24时，|QM |的最大值为322.。