黑龙江省佳木斯市桦南县培黎学校高三数学上学期期末试卷 文(含解析)

黑龙江省佳木斯市桦南县培黎学校201 5届高三上学期期末数学试卷
（文科）
一、选择题：（每小题5分，共60分.）
1．（5分）若A={x|x2=1}，B={x|x2﹣2x﹣3=0}，则A∩B=（）
A．3 B．1 C．∅D．﹣1
2．（5分）如果复数z=，则（）
A．|z|=2 B．z的实部为1
C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i
3．（5分）设条件p：a≥0；条件q：a2+a≥0，那么p是q的（）
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
4．（5分）已知△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，则∠BAC=（）
A．150°B．120°C．60°或120°D．30°或150°
5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5=8，S3=6，则a9=（）
A．8 B．12 C．16 D．24
6．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（）
A．10πB．11πC．12πD．13π
7．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
8．（5分）如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（）
A．B．C．D．
9．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）
A．B．C．[﹣1，6] D．
10．（5分）已知函数f（x）=，则f=（）
A．2014 B．C．2015 D．
11．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0），过其右焦点F作图x2+y2=9的两条切线，切点记作C，D，双曲线的右顶点为E，∠CED=150°，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
12．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）
A．（9，25）B．（13，49）C．（3，7）D．（9，49）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）已知=（2，1），=（3，4），则在方向上的投影为．
14．（5分）第十二届全运会于2013年8月31日在沈阳举行，运动会期间从来自A大学的2名志愿者和来自B大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是．
15．（5分）已知向量=（sinx，1），=（t，x），若函数f（x）=•在区间[0，]上是增函数，则实数t的取值范围是．
16．（5分）下列五个命题：
①若一个圆锥的底面半径缩小到原来的，其体积缩小到原来的；
②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等；
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切；
④“10a≥10b”是“lga≥lgb”的充分不必要条件．
其中真命题的序号是：．
三、解答题
17．（12分）在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c向量=（cosA，sinA），向量=（﹣sinA，cosA），若|+|=2．
（1）求角A的大小；
（2）若b=4，且c=a，求△ABC的面积．
18．（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：
组别 A B C D E
人数50 100 150 150 50
（Ⅰ）为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．
组别 A B C D E
人数50 100 150 150 50
抽取人数 6
（Ⅱ）在（Ⅰ）中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
19．（12分）如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．
20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短
半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且k OA•k OB=﹣，求证：△A OB的面积为定值．
21．（12分）已知函数f（x）=xlnx．
（l）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若对任意恒成立，求实数m的最大值．
四、【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分10分）
22．（10分）已知极坐标系的原点在直角坐标系的原点处，极轴为x轴正半轴，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为p=4cosθ．
（1）写出C的直角坐标方程，并说明C是什么曲线？
（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|．
五、【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）
23．设关于x的不等式lg（|x+3|+|x﹣7|）＞a
（1）当a=1时，解这个不等式；
（2）当a为何值时，这个不等式的解集为R．
黑龙江省佳木斯市桦南县培黎学校2015届高三上学期期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题5分，共60分.）
1．（5分）若A={x|x2=1}，B={x|x2﹣2x﹣3=0}，则A∩B=（）
A．3 B．1 C．∅D．﹣1
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
分析：先求出A与B的解集，然后根据交集的定义即可得出答案．
解答：解：∵A={x|x2=1}={﹣1，1}，B={x|x2﹣2x﹣3=0}={﹣1，3}，
∴A∩B={﹣1}，
故选D．
点评：本题考查了交集及其运算，属于基础题，关键是掌握交集的定义．
2．（5分）如果复数z=，则（）
A．|z|=2 B．z的实部为1
C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i
考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
专题：计算题．
分析：直接利用复数的除法运算化简，求出复数的模，然后逐一核对选项即可得到答案．解答：解：由z==，
所以，z的实部为﹣1，z的虚部为﹣1，
z的共轭复数为﹣1+i，
故选C．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．（5分）设条件p：a≥0；条件q：a2+a≥0，那么p是q的（）
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．非充分非必要条件
考点：充要条件．
专题：简易逻辑．
分析：由a2+a≥0，得a≥0，a≤﹣1，根据充分必要条件的定义可判断答案．
解答：解：∵a2+a≥0，
∴a≥0，a≤﹣1，
可判断：若p：a≥0；则条件q：a2+a≥0成立．
根据充分必要条件的定义可判断：p是q的充分不必要条件，
故选：A
点评：本题考查了解不等式，以及充分必要条件的定义可判断，属于容易题．
4．（5分）已知△ABC中，||=2，||=3，且△ABC的面积为，则∠BAC=（）
A．150°B．120°C．60°或120°D．30°或150°
考点：三角形的面积公式．
专题：解三角形．
分析：根据S△ABC=||•||•sin∠BAC，代入求出sin∠BAC=，从而求出答案．
解答：解：∵S△ABC=||•||•sin∠BAC，
∴=×2×3×sin∠BAC，
∴sin∠BAC=，
∴∠BAC为30°，或150°，
故选：D．
点评：本题考查了三角形的面积根式，是一道基础题．
5．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5=8，S3=6，则a9=（）
A．8 B．12 C．16 D．24
考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由给出的等差数列的第5项和前3项和代入通项公式及前n项和公式求等差数列的首项和公差，然后直接运用通项公式求a9．
解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
则，解得：a1=0，d=2，
所以a9=a1+8d=0+8×2=16．
故选C．
点评：本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了计算能力，此题属基础题．6．（5分）如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（）
A．10πB．11πC．12πD．13π
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由题意可知，几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，分别求表面积即可．
解答：解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，球的半径为1，圆柱的高为3，底面半径为1．
所以球的表面积为4π×12=4π．圆柱的侧面积为2π×3=6π，圆柱的两个底面积为
2π×12=2π，
所以该几何体的表面积为4π+2π+6π=12π．
故选C．
点评：本题考查由三视图求面积，考查学生的空间想象能力．
7．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
考点：平面与平面平行的判定．
专题：证明题．
分析：通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D
正确，从而得出结论．
解答：解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；
B、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故B错误；
C、α，β平行与同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行，故C错误；
D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．
故选 D．
点评：本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题．
8．（5分）如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是（）
A．B．C．D．
考点：循环结构．
专题：常规题型．
分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量n的值，并输出循环3次后变量n的值．
解答：解：当i=1时，执行循环体后，
i=2，m=1，n=，
当i=2时，执行循环体后，
i=3，m=2，n=，
当i=3时，执行循环体后，
i=4，m=3，n=，
故选B
点评：本题考查的知识点是循环结构，分析题目中的框图，求出程序的功能并模拟执行是解答本题的关键．
9．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）
A．B．C．[﹣1，6] D．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围
解答：解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示
由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小
结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大
由可得B（，3），
由可得C（2，0），z max=6
∴
故选A
点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解题的关键是准确理解目标函数的几何意义
10．（5分）已知函数f（x）=，则f=（）
A．2014 B．C．2015 D．
考点：函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据分段函数，直接代入进行求解即可．
解答：解：当x≥0时，f（x）=f（x﹣1）+1，即此时函数的周期是1，
则f=f+1=…=f（0）+2014=f（﹣1）+2015==，
故选：D．
点评：本题主要考查函数值的计算，根据函数的表达式是解决本题的关键，比较基础．
11．（5分）已知双曲线﹣=1（b＞0），过其右焦点F作图x2+y2=9的两条切线，切点记作C，D，双曲线的右顶点为E，∠CED=150°，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据已知条件，作出图形，结合图形，由双曲线的性质得到∠FOC=30°，∠OCF=90°，OC=a，OF=c，CF=c，
利用勾股定理求出a，c间的等量关系，由此能求出双曲线的离心率．
解答：解：如图，∵双曲线﹣=1（b＞0），
过其右焦点F作圆x2+y2=9的两条切线，切点记作C，D，
双曲线的右顶点为E，∠CED=150°，
∴∠FOC=180°﹣2∠OEC=30°，∠OCF=90°，
∴OC=a，OF=c，CF=c，
∴a2+（c）2=c2，
解得c=a，
∴e==．
故选：D．
点评：本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，是中档题．
12．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）
A．（9，25）B．（13，49）C．（3，7）D．（9，49）
考点：函数恒成立问题．
专题：综合题；函数的性质及应用．
分析：由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f （x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x2﹣6x+21）+f （y2﹣8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4，即可求．
解答：解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，
∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，
即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），
又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立
∴f（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2）恒成立，
∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2，
∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立，
设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，
则d=表示区域内的点和原点的距离．
由图可知：d的最小值是OA=，OB=OC+CB，5+2=7，
当x＞3时，x2+y2的范围为（13，49）．
故选B．
点评：本题考查了函数图象的平移、函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识，解决问题的关键是把“数”的问题转化为“形”的问题，借助于图形的几何意义减少了运算量，体现“数形结合及”转化”的思想在解题中的应用．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．（5分）已知=（2，1），=（3，4），则在方向上的投影为2．
考点：向量的投影．
专题：计算题．
分析：根据向量的数量积的几何意义可知，向量在向量上的投影为，代入数据计算即可．
解答：解：∵=（2，1），=（3，4），∴•=2×3+1×4=10，||==5
∴向量在向量方向上的投影为||cos＜＞===2．
故答案为2
点评：本题考查向量的投影，关键是牢记定义与公式，分清是哪一个向量在哪一个向量上的投影．
14．（5分）第十二届全运会于2013年8月31日在沈阳举行，运动会期间从来自A大学的2名志愿者和来自B大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大
学志愿者的概率是．
考点：分层抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从6个人中随机的抽取一个人，共有15种结果，满足条件的事件是包括两种情况，根据古典概型概率公式得到结果．
解答：解：由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是从6个人中随机的抽取二个人，共有15种结果，
满足条件的事件是包括两种情况，
∴P=+==，
故答案为：
点评：本题考查古典概型概率计算公式，考查利用概率知识解决实际问题，本题是一个比较典型的概率题目．
15．（5分）已知向量=（sinx，1），=（t，x），若函数f（x）=•在区间[0，]上是增函数，则实数t的取值范围是[﹣1，+∞）．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：根据平面向量的数量积运算，可得f（x）=tsinx+x在区间[0，]上是增函数．由导数与函数单调性的关系，得不等式
f'（x）≥0即tcosx+1≥0区间[0，]上恒成立，结合此时cosx的值域即可得到实数t的取值范围．
解答：解：∵=（sinx，1），=（t，x），
∴•=sinx•t+1•x=tsinx+x，
由此可得f（x）=•=tsinx+x，在区间[0，]上是增函数，
∴f'（x）≥0区间[0，]上恒成立，
∵对函数f（x）求导数，得f'（x）=tcosx+1，
∴不等式tcosx+1≥0区间[0，]上恒成立，
结合在区间[0，]上0≤cosx≤1，可得t≥﹣1
即实数t的取值范围是：[﹣1，+∞）
故答案为：[﹣1，+∞）
点评：本题以向量数量积运算为载体，求函数恒成立时实数t的取值范围，着重考查了运用导数研究函数的单调性、不等式恒成立等知识，属于中档题．
16．（5分）下列五个命题：
①若一个圆锥的底面半径缩小到原来的，其体积缩小到原来的；
②若两组数据的中位数相等，则它们的平均数也相等；
③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切；
④“10a≥10b”是“lga≥lgb”的充分不必要条件．
其中真命题的序号是：①③．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：根据圆锥的体积公式，求出变换后圆锥的体积与原体积的关系，可判断①；根据中位数与平均数的关系，可判断②；判断直线与圆的位置关系，可判断③；根据充要条件的定义，可判断④．
解答：解：对于①，若一个圆锥的底面半径缩小到原来的，其底面积缩小到原来的，由于高不变，其体积缩小到原来的，故正确；
对于②，若两组数据的中位数相等，则它们的平均数不一定相等，故错误；
对于③，圆x2+y2=的圆心（0，0）到直线x+y+1=0的距离为：=，等于圆的半径，故直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切，故正确；
对于④，“10a≥10b”⇔“a≥b”，“lga≥lgb”⇔“a≥b≥0”，故“10a≥10b”是
“lga≥lgb”的必要不充分条件，故错误．
其中真命题的序号是：①③，
故答案为：①③．
点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了圆锥的体积，中位数和平均数，直线与圆的位置关系，充要条件，难度不大，属于基础题．
三、解答题
17．（12分）在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c向量=（cosA，sinA），向量=（﹣sinA，cosA），若|+|=2．
（1）求角A的大小；
（2）若b=4，且c=a，求△ABC的面积．
考点：余弦定理的应用．
专题：综合题．
分析：（1）先根据向量模的运算表示出，然后化简成y=Asin（wx+ρ）+b的形式，再根据正弦函数的性质和||=2可求出A的值．
（2）先根据余弦定理求出a，c的值，再由三角形面积公式可得到最后答案．
解答：解：（Ⅰ）∵
∴
=
==
∵∴
又∵0＜A＜π∴∴，
∴
（Ⅱ）由余弦定理，
，
即∴c=8
∴
点评：本题主要考查向量的求模运算、余弦定理和三角形面积公式的应用．向量和三角函数的综合题是2015届高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．
18．（12分）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为5组，各组的人数如下：
组别 A B C D E
人数50 100 150 150 50
（Ⅰ）为了调查评委对7位歌手的支持状况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．
组别 A B C D E
人数50 100 150 150 50
抽取人数 6
（Ⅱ）在（Ⅰ）中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
考点：相互独立事件的概率乘法公式；分层抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）利用分层抽样中每层所抽取的比例数相等直接计算各层所抽取的人数；
（Ⅱ）利用古典概型概率计算公式求出A，B两组被抽到的评委支持1号歌手的概率，因两组评委是否支持1号歌手相互独立，由相互独立事件同时发生的概率公式计算从这两组被抽到的评委中分别任选1人，2人都支持1号歌手的概率．
解答：解：（Ⅰ）按相同的比例从不同的组中抽取人数．
从B组100人中抽取6人，即从50人中抽取3人，从150人中抽取6人，填表如下：
组别 A B C D E
人数50 100 150 150 50
抽取人数 3 6 9 9 3
（Ⅱ）A组抽取的3人中有2人支持1好歌手，则从3人中任选1人，支持1号歌手的概率为
．
B组抽取的6人中有2人支持1号歌手，则从6人中任选1人，支持1号歌手的概率为．
现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，则2人都支持1号歌手的概率p=．
点评：本题考查了分层抽样方法，考查了相互独立事件同时发生的概率乘法公式，若事件A，B是否发生相互独立，则p（AB）=p（A）p（B），是中档题．
19．（12分）如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE，AB的中点．
（Ⅰ）证明：PQ∥平面ACD；
（Ⅱ）求AD与平面ABE所成角的正弦值．
考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定．
专题：空间角．
分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理，又已知，可得，再
利用线面平行的判定定理即可证明；
（Ⅱ）利用线面、面面垂直的判定和性质定理得到CQ⊥平面ABE，再利用（Ⅰ）的结论可证明DP⊥平面ABE，从而得到∠DAP是所求的线面角．
解答：（Ⅰ）证明：连接DP，CQ，在△ABE中，P、Q分别是AE，AB的中点，∴，又，
∴，好
又PQ⊄平面ACD，DC⊂平面ACD，
∴PQ∥平面ACD．
（Ⅱ）解：在△ABC中，AC=BC=2，AQ=BQ，∴CQ⊥AB．
而DC⊥平面ABC，EB∥DC，
∴EB⊥平面ABC．
而EB⊂平面ABE，
∴平面ABE⊥平面ABC，
∴CQ⊥平面ABE
由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，∴DP∥CQ．
∴DP⊥平面ABE，
∴直线AD在平面ABE内的射影是AP，
∴直线AD与平面ABE所成角是∠DAP．
在Rt△APD中，==，
DP=CQ=2sin∠CAQ=2sin30°=1．
∴=．
点评：熟练掌握三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、线面与面面垂直的判定和性质定理、线面角的定义是解题的关键．
20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短
半轴长为半径的圆与直线x﹣y+=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且k OA•k OB=﹣，求证：△AOB的面积为定值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）由椭圆的离心率等于，原点O到直线的距离等于b及隐含条件
c2=a2﹣b2联立方程组求解a2，b2的值，则椭圆C的标准方程可求；
（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，消去y后利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由点到直线的距离公式求得O到AB的距离，代入三角形的面积公式证得答案．
解答：（Ⅰ）解：由题意得⇒a2=4，b2=3．
∴椭圆的方程为：；
（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
则A，B的坐标满足，消去y化简得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．
，
由△＞0，得4k2﹣m2+3＞0．
y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
==．
∵=，
∴，即．
∴，即2m2﹣4k2=3．
∵=
=．
又O点到直线y=kx+m的距离d=，
∴=
==为定值．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题，这是处理这类问题的最为常用的方法，考查了弦长公式及点到直线的距离公式，是2015届高考试卷中的压轴题．
21．（12分）已知函数f（x）=xlnx．
（l）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若对任意恒成立，求实数m的最大值．
考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．
专题：导数的综合应用．
分析：（l）求函数的导数，利用函数单调性和极值之间的关系即可求f（x）的单调区间和极值；
（2）利用不等式恒成立，进行参数分离，利用导数即可求出实数m的最大值．
解答：解（1）∵f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1，
∴f'（x）＞0有，∴函数f（x）在上递增，f'（x）＜0有，
∴函数f（x）在上递减，
∴f（x）在处取得极小值，极小值为．
（2）∵2f（x）≥﹣x2+mx﹣3
即mx≤2x•lnx+x2+3，又x＞0，
∴，
令，
令h'（x）=0，解得x=1或x=﹣3（舍）
当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，函数h（x）在（0，1）上递减
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上递增，
∴h（x）min=h（1）=4．
∴m≤4，
即m的最大值为4．
点评：本题主要考查函数单调性和极值的求解，利用函数单调性，极值和导数之间的关系是解决本题的关键．将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决不等式恒成立问题的基本方法．
四、【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分10分）
22．（10分）已知极坐标系的原点在直角坐标系的原点处，极轴为x轴正半轴，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为p=4cosθ．
（1）写出C的直角坐标方程，并说明C是什么曲线？
（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，求|PQ|．
考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：（1）把曲线C的极坐标方程利用x=ρcosθ，y=ρsinθ化为直角坐标方程，可得它表示的曲线．
（2）把直线l的参数方程消去参数，化为普通方程为x﹣y+1=0，求出弦心距d的值，再利用弦长公式求得弦长
解答：解：（1）曲线C的极坐标方程为p=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，
表示以（2，0）为圆心、半径等于2的圆．
（2）把直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，化为普通方程为x﹣
y+1=0，
弦心距d==，故弦长为 2=2=．
点评：本题主要考查把参数方程、极坐标化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于基础题．
五、【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）
23．设关于x的不等式lg（|x+3|+|x﹣7|）＞a
（1）当a=1时，解这个不等式；
（2）当a为何值时，这个不等式的解集为R．
考点：绝对值不等式的解法．
专题：计算题．
分析：（1）转化成绝对值不等式，令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．
（2）解决恒成立问题，可将问题转化为研究函数f（x）的最小值大于a即可．
解答：解：（1）由题意得：|x+3|+|x﹣7|＞10，
当x≥7时x+x﹣4＞10得：x＞7（3分）
当﹣3＜x＜7时，x+10﹣x＞10不成立（5分）
当x≤﹣3时﹣x+4﹣x＞10得：x＜﹣3（7分）
解得：x＜﹣3或x＞7（6分）
（2）设t=|x+3|+|x﹣7|，
则由对数定义及绝对值的几何意义知t≥10，
因y=lgx在（0，+∞）上为增函数，
∵|x+3|+|x﹣7|的最小值为10，
∴lg（|x+3|+|x﹣7|）的最小值为1（8分）
要使不等式的解集为R，则须a＜1（10分）
点评：本题考查了对数的运算性质，以及绝对值不等式的解法，所谓零点分段法，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集．。