山东省菏泽市2014-2015学年高二数学上学期期末考试试卷 理(A)

高二数学（理）试题（A ）
第Ⅰ卷（选择题部分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的4个选项中只有一个
是正确的，请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上） 1. 下列结论正确的是（ ）
A ．若ac bc >，则a b >
B ．若22a b >，则a b >
C ．若a b >,0c <，则a c b c +<+
D
a b <
2．若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ） A ．p 或q 为假
B ．q 假
C ．q 真
D ．不能判断q 的真假
3．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若1AE AA xAB yAD =++，则x ，
y 的值是（ ）
A ．12x =
，12
y = B ．1x =，12y = C ．1
2x =，1y = D ．1x =，1y =
4．在等比数列{a n }中，若4681012=32a a a a a ，则2
1012
a a 的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
5．若不等式201x ax a ≤-+≤有唯一解,则a 的取值为（ ） A ．0
B ．6
C ．4
D ．2
6．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且cos c A b =，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．斜三角形 7．下列命题错误．．
的是（ ） A ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆否命题是“若方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤”；
B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件；
C ．命题“若0xy =，则x ，y 中至少有一个为0”的否命题是“若0xy ≠，则x ，y 中至多有一个为0”；
D ．对于命题p ：x R ∃∈，使210x x ++<；则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x ++≥．
8. 在△ABC 中，若90C =︒，三边为,,,a b c 则
a b
c
+的范围是（ ） A. (2,2) B. (1,2] C. (0,2] D.
2[,2]2
9．若直线2y x =上存在点(x ,y )满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则实数m 的最大值为（ ）
A ．1
2
B ．1
C ．3
2
D ．2
10．如图，从椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>上一点P 向x 轴作垂
线， 垂足恰为左焦点F 1,又点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP ，则椭圆的离心率为（ ） A ．1
2
B ．55
C ．
2
2
D ．
32
第Ⅱ卷（非选择题部分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把下列各题的正确答案填写在答题
卷相应的位置上）
11. 若关于x 的不等式2240x x a -+≤的解集是空集，则实数a 的取值范围是 ．
12. 设变量x ，y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
，则2z x y =+的最大值为 ．
13．已知双曲线C ：22
221x y a b
-=，点P (2，1) 在C 的渐近线上，则C 的率心率为
.
14. 已知双曲线C 经过点()
3,22，渐近线方程为2
3
y x =±，则双曲线的标准方程为________．
15．若(1,)x ∈+∞，则2
1
y x x =+
-的最小值是 . 三、解答题（本大题共6小题，满分75分,须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 16. （本小题满分12分）
已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，且222c a b ab =+-．
（1）求角C 的值；
（2）若2=b ，△ABC
的面积S a 的值．
17. （本小题满分12分）
在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，90BAC ∠=︒，
异面直线1A B 与11B C 所成的角等于60︒，设1AA a =． （1）求a 的值；
（2）求平面11A BC 与平面11B BC 所成的锐二面角的大小．
18．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的首项为1，前n 项和为S n ，且2+11n n S n a +=+（*n N ∈）． （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求n T ．
19. （本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为S n ，且13511
,,23
S S S 成等差数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{b n }为递增的等比数列，且集合{}{}12312345,,,,,,b b b a a a a a ⊆，设数列{}n n a b 的前
n 项和为n T ，求n T .
20. （本小题满分13分）
在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A ，点B 在直线l ：1x =-上运动，过点B 与l 垂直的直线和线段AB 的垂直平分线相交于点M ． （1）求动点M 的轨迹E 的方程；
（2）过（1）中轨迹E 上的点P (1,2)作两条直线分别与轨迹E 相交于11(,)C x y ，22(,)
D x y 两点．试探究：当直线PC ，PD 的斜率存在且倾斜角互补时，直线C D 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
21. （本小题满分14分）
如图，已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率为 22，F 1、F 2为其左、右焦点，过F 1的直
线l 交椭圆于A 、B 两点，△F 1AF 2的周长为2(21)+. （1）求椭圆的标准方程；
（2）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）；
（3）直线m 也过F 1与且与椭圆交于C 、D 两点，且l m ⊥，设线段AB 、CD 的中点分别为M 、
N 两点，试问：直线MN 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
高二数学（理）参考答案（A ）
一、选择题：D B A C D C C B B C 二、填空题：
11.()()+∞-∞-,22, 12. 6 13. 152 14. 22
149
y x -= 15.
221+
三、解答题：
16. 解：（1）∵ab b a c -+=2
2
2
，
∴2
1
22cos 222==-+=
ab ab ab c b a C ， ………4分 ∴︒=60C ； ………6分
（2）由2
3
3sin 21==
C ab S 及2=b ，︒=60C 得 2
3360sin 221=︒⨯a ， ………10分 解得 3=a ． ………12分
17．解：(I)建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,0,1(B ，1(1,0,)B a ，1(0,1,)C a ，
),0,0(1a A （0>a ） …………………………………………1分
∴)0,1,1(11-=C B ，),0,1(1a B A -= ∴ 1111B C A B ⋅=-, ……3分 ∵异面直线B A 1与11C B 所成的角60°, ∴
1
11111
cos 60A B B C A B B C ⋅=︒⋅
1
2
=
，……………………5分 又0>a ，所以 1=a ；………………6分
（2）设平面11BC A 的一个法向量为),,(z y x n =，则
B A n 1⊥，11
C A n ⊥，即01=⋅B A n 且011=⋅C A n ，
又)1,0,1(1-=B A ，)0,1,0(11=C A ， ∴⎩
⎨
⎧==-00
y z x ，不妨取)1,0,1(=n ， ………8分
同理得平面11C
BB 的一个法向量)0,1,1(=m ， ………9分
设→
m 与→
n 的夹角为θ，则
2
1
2
21cos =
⨯=
=
n m θ ， ∴60θ=︒ ， ………11分
∴平面11BC A 与平面11BC B 所成的锐二面角的大小为60°． ……12分 18. 解：（1）由 2+11n n S n a +=+，-------------------------------①
则 ()()2
12n n S n a n =-+≥
-------------②
①-②得：()2
2111n n n n S S n n a a ++-=--+-，即 ()2
2111n n n a n n a a ++=--+-，得()212n a n n =-≥ ，
又11a = 也适合上式， ∴12-=n a n ． ………………………………6分
（2）)1
21
121(21)12)(12(111+--=+-==
+n n n n a a b n n n ， ………9分
∴n n b b b T ++=211111
11[(1)()(
)]2335
2121n n =-+-+
+--+11
(1)221
n =-+ 21
n
n =
+ ． ………12分 说明：由2+11n n S n a +=+可得211n n n S a n a +++=+，即2n S n = ，亦可求得12-=n a n ． 19. 解：（1）设等差数列的公差为d ，由13511,,23S S S 成等差数列，得15313
S S S +=，
即1321
533
a a a +•=，……………………………………………………..2分
即()()5
112313
d d +
+=+，解得1d =，∴()111n a n n =+-⨯=………….6分 （2）由{}{}12312345,,,,,,b b b a a a a a ⊆，即{}{}123,,1,2,3,4,5b b b ⊆， ∵数列{}n b 为递增的等比数列，∴1231,2,4b b b ===， ∴1
12112n n n b b b b --⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
，…………………………………………………..8分
∴11223311n n n n n T a b a b a b a b a b --=+++
++
①
则11223311222222n n n n n T a b a b a b a b a b --=•+•+•++•+•，
即 122334112n n n n n T a b a b a b a b a b -+=+++++ ②
①-②得
()()11212323n T a b a a b a a b -=+-+-()434a a b +-++()1n n n a a b --1n n a b +-，
即2
1
1222
2n n
n T n --=+++
+-•12212
n
n n -=-•-
212n n n =--•()121n n =--，
∴()121n n T n =-•+……………………………………………………12分 20. 解：（1）依题意，得MA MB = ………1分
∴动点M 的轨迹E 是以)0,1(A 为焦点，直线1:-=x l 为准线的抛物线，………3分
∴动点M 的轨迹E 的方程为x y 42
=.
…………………………5分
（2）∵P (1,2)，),(11y x C ，),(22y x D 在抛物线x y 42
=上，
∴21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 由①-②得， )(4))((212121x x y y y y -=-+， ∴直线CD 的斜率为2
121214
y y x x y y k CD +=
--=
， ……③ ………8分 设直PC 的斜率为k ，则PD 的斜率为－k ，
可设直线PC 方程为y -2=k (x -1)，由242,y x
y kx k ⎧=⎨=-+⎩
得：
ky 2-4y -4k +8=0,由14
2y k
+=
，求得y 1=4k -2，
同理可求得y 2=－4
k
- 2…………………………………………………………12分
∴1244
144(2)(2)
CD k y y k k
=
==-+-+-- ∴直线CD 的斜率为定值1- . …………………………………13分 21. 解：（1）设椭圆的半焦距为c
，则
c a = (
))
221a c +=，
二者联立解得a 1c =，则2
1b =，所以椭圆的标准方程为2
212x y +=.….4分
（2）设直线l 的方程为：1x ky =-，与2
212
x y +=联立，消x ，整理得：
()2
22210k
y ky +--=，()()
222242880k k k ∆=-++=+>，
121y k =
+
221y k =
+分
所以11212AOB AOF BOF
S S S OF y y ∆∆∆=+=-121
2
y y =
-=
=,……7分
=
=
=
=
≤=（当且仅当221
11
k k +=+， 即0k =时等号成立），所以
AO B ∆…………………….10分 ……① ……②
（3）过定点2,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
可通过特殊情形猜想，若有定点，则在x 轴上.
在0,1k k ≠≠±的情况下，设直线l 的方程为：1x ky =-， 直线m 的方程为：1
1x y k
=--，
由（II ）得，122
22
M y y k
y k +==+ ， 故2
22122M k x k
k k -=-=++ ，即222
,,22k M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
则2222,2121k k N k k ⎛⎫
-- ⎪++⎝⎭
……………………………………………………………….12分
可得直线MN 的方程：22
2
222222221212221221
k k
k k k k y x k k k k k --⎛⎫+++=+ ⎪+--+⎝⎭
-
++，
即()222232212121k
k
k y x k k k ⎛⎫+=+ ⎪++-⎝⎭，则()222
232212121k k k
y x k k k ⎛⎫=+- ⎪++-⎝
⎭ ()()2222221323212121k k
k k y x k k k k ⎡⎤-⎢⎥=+-•++-⎢⎥⎣⎦
，即()2
32321k y x k ⎛
⎫=+ ⎪-⎝⎭， 故直线MN 过定点2,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭
(或令0y =，即得23x =-)
易验证当0,1k k ==±时，结论仍成立.
综上，直线MN 过定点2,03⎛⎫
- ⎪⎝⎭……………………………………………………14分。