高一数学暑假作业第二十二天函数的性质的综合应用苏教版

第二十二天 函数的性质的综合应用
1. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法：利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质．
如若f (x )，g (x )为增函数，则：① f (x )＋g (x )为增函数；② 1
f x
为减函数(f (x )>0)；
③ f x 为增函数(f (x )≥0)；④ f (x )g (x )为增函数(f (x )>0，g (x )>0)；⑤ －f (x )为减
函数．
(3) 利用复合函数关系判断单调性
法则是“同增异减”，即若两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数．
(4) 图象法
奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2. 函数奇偶性和单调性的相关关系
(1) 注意函数y ＝f (x )与y ＝kf (x )的单调性与k (k ≠0)有关． (2) 注意函数y ＝f (x )与y ＝
1
f x
的单调性之间的关系．
(3) 奇函数在[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a ，b ]和[－b ，－a ]上有相反的单调性．
(参考时间60分钟 满分100分)
班级________ 姓名________ 成绩________ 家长签字________
一、 选择题(每题5分，共30分)
1. (*)已知函数f (x )＝1
x
在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B ＝( )
A. 12
B. －12
C. 1
D. －1
2. (*)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A. y ＝1x
B. y ＝lg x
C. y ＝|x |－1
D. y ＝2－x 2
3. (*)已知偶函数f (x )的定义域是R ，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则a ＝f (－2)，
b ＝f (π)，
c ＝f (－3)的大小关系是( )
A. a <c <b
B. b <a <c
C. b <c <a
D. c <a <b
4. (**)已知奇函数f (x )在区间[1,6]是增函数，且最大值为10，最小值为4，则其在[－6，－1]上的最大值、最小值分别是( )
A. －4，－10
B. 4，－10
C. 10,4
D. 不确定
5. (**)已知函数f (x )＝x 2
＋(2a －1)x ＋b 是偶函数，那么函数g (x )＝log a x －1的定义域为( )
A. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12
B. ⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12
C. (0,2]
D. [2，＋∞)
6. (**)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2
，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )
A. －1
B. 1
C. 6
D. 12
二、 填空题(每题5分，共20分)
7. (**)已知函数f (x )＝2x 2
－kx ＋1在区间[1,3]上是单调函数，则实数k 的取值范围为________．
8. (**)已知y ＝f (x )在定义域R 上为减函数，且f (1－a )<f (2a －5)，则a 的取值范围是________．
9. (**)定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有
f x 2－f x 1
x 2－x 1
<0，则f (1)，f (－2)，f (3)的大小关系是________．
10. (**)若函数f (x )＝log 12(x 2
－ax ＋3a )在区间(2，＋∞)上是减函数，则a 的取值范
围为________．
三、 解答题(第11、12题每题16分，第13题18分)
11. (**)已知函数f (x )＝x ＋1
x
.
(1) 用定义证明：f (x )在[1，＋∞)上是增函数； (2) 求f (x )在[1,4]上的最大值及最小值．
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＋m
3x ＋1是奇函数．
(1) 求实数m 的值；
(2) 用函数单调性定义证明：f (x )是R 上的增函数．
_________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ 13. (***)已知f (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )． (1) 求函数f (x )的定义域；
(2) 判断函数f (x )的奇偶性，并加以证明； (3) 解不等式：f (x －1)＋f (1－x 2
)<0.
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第二十二天 函数的性质的综合应用
暑期限时检测
1. A 解析：函数f (x )＝1
x
在区间[1,2]上是单调递减函数，所以当x ＝1时，f (x )取最
大值A ＝1，当x ＝2时，f (x )取最小值B ＝1
2
.
所以A －B ＝1－12＝1
2
.故选A.
2. C 解析：对于A ，函数是奇函数，不合题意；对于B ，函数是非奇非偶函数，不合题意；对于C ，函数是偶函数，x >0时，y ＝x －1，单调递增，符合题意；对于D ，函数是偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，不合题意．
3. A 解析：已知偶函数f (x )的定义域是R ，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，a ＝f (－2)＝f (2)，c ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f (π)，而2<3<π，所以f (2)<f (3)<f (π)，所以a <c <b .
4. A 解析：奇函数f (x )在区间[1,6]是增函数，且最大值为10，最小值为4，则其在[－6，－1]上的最大值、最小值分别是－4，－10.故选A.
5. B 解析：因为f (x )＝x 2
＋(2a －1)x ＋b 是偶函数，所以f (－x )＝x 2
－(2a －1)x ＋b ＝x 2
＋(2a －1)x ＋b ，即2a －1＝0，解得a ＝12
.
要使函数g (x )＝log a x －1有意义，则log a x －1≥0，即log 12x －1≥0，所以log 1
2x ≥1，
解得0<x ≤12.即函数的定义域为⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12.
6. C 解析：由题意知，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3
－2，又因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3
－2在定义域上都为增函数，所以f (x )的最大值为f (2)＝23
－2＝6.
7. (－∞，4]∪[12，＋∞) 解析：因为函数f (x )＝2x 2
－kx ＋1，所以对称轴为x ＝k
4，
因为函数f (x )＝2x 2
－kx ＋1在区间[1, 3]上是单调函数，所以k 4≤1或k
4
≥3，即k ≤4或k ≥12.
8. (－∞，2) 解析：因为f (x )在定义域R 上为减函数，由f (1－a )<f (2a －5)，可得2a －5<1－a ，解得a <2，故得a 的取值范围是(－∞，2)．
9. f (3)<f (－2)<f (1) 解析：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)都有f x 2－f x 1
x 2－x 1
<0，
所以f (x )在[0，＋∞)上单调递减，又f (x )为定义在R 上的偶函数，所以f (－2)＝f (2)，则f (3)<f (2)＝f (－2)<f (1)．
10. [－4,4] 解析：令t ＝x 2－ax ＋3a >0，则y ＝log 12
t ，由t ＝x 2
－ax ＋3a 图象的对称
轴为x ＝a 2，且y ＝log 1
2
t 在(0，＋∞)上单调递减，
函数f (x )＝log 12
(x 2
－ax ＋3a )在区间(2，＋∞)上是减函数，
所以t ＝x 2
－ax ＋3a 在区间(2，＋∞)上为增函数(同增异减)，所以2≥a
2，且4－2a ＋
3a ≥0，
解得a ∈[－4,4]．故答案为[－4,4]．
11. 解：(1) 设1≤x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋1x 2－x 1－1x 1
＝
x 2－x 1
x 2x 1－1x 2x 1
，
因为1≤x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 2x 1－1>0，x 2x 1>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)． 故函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数．
(2) 由(1)，可得f (x )在[1,4]上的最大值是f (4)＝17
4
，最小值f (1)＝2.
12. 解：(1) 因为函数f (x )＝3x
＋m 3x ＋1是奇函数，所以f (0)＝1＋m
2
＝0，即 m ＝－1，且m
＝－1时，f (－x )＝－f (x )，因此m ＝－1.
(2) f (x )＝3x
－13x ＋1＝1－2
3x ＋1.在R 上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则3x 1<3x 2，
所以0<3x 1＋1<3x 2＋1, 13x 1＋1>1
3x 2＋1，
所以－
23x 1＋1<－23x 2＋1，所以1－23x 1＋1<1－2
3x 2＋1
， 所以f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )单调递增．
13. 解：(1) 由函数f (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )
可得⎩⎪⎨
⎪
⎧
1＋x >0，1－x >0，
－1<x <1，故函数的定义域为(－1,1)．
(2) 由(1)可得函数的定义域关于原点对称．再根据f (－x )＋f (x )＝[log 2(1－x )－log 2(1＋x )]＋[log 2(1＋x )－log 2(1－x )]＝0，可得函数f (x )是奇函数．
(3) 关于x 的不等式f (x －1)＋f (1－x 2
)<0得到f (x －1)<f (x 2
－1)．
故⎩
⎪⎨⎪⎧
－1<x －1<1，－1<x 2
－1<1，解得⎩⎨
⎧
0<x <2，
－2<x < 2.
即不等式的解集为(0，2)．。