北京师范大学《数学物理方法》2019-2020学年第一学期期末试卷

北京师范大学《数学物理方法》2019-2020学年第一学期期末试卷2019-2020 学年期末试卷
数学物理方法
专业：物理学
考试时间：120 分钟
总分：100 分
部分一：选择题（每题 5 分，共 30 分）
在数学物理方法中，Green 函数的定义式为：
A) G(x, x') = ∫dk e^(ik(x-x')) / (k^2 - k_0^2)
B) G(x, x') = ∫dk e^(ik(x-x')) / (k^2 + k_0^2)
C) G(x, x') = ∫dk e^(ik(x-x')) / (k^2 - k_0^2 + iε)
D) G(x, x') = ∫dk e^(ik(x-x')) / (k^2 + k_0^2 - iε)
5 分
Legendre 方程的通解为：
A) P_n(x) = (1 / 2^n n!) * d^n / dx^n (x^2 - 1)^n
B) P_n(x) = (1 / 2^n n!) * d^n / dx^n (x^2 + 1)^n
C) P_n(x) = (1 / 2^n n!) * d^n / dx^n (x^2 - 1)^(n+1)
D) P_n(x) = (1 / 2^n n!) * d^n / dx^n (x^2 + 1)^(n+1)
5 分
在球坐标系中，Laplacian 算符的表达式为：
A) ∇^2 = ∂^2 / ∂r^2 + (2 / r) ∂ / ∂r + (1 / r^2) ∂^2 / ∂θ^2 + (1 / r^2 sin^2 θ) ∂^2 / ∂φ^2
B) ∇^2 = ∂^2 / ∂r^2 + (1 / r) ∂ / ∂r + (1 / r^2) ∂^2 / ∂θ^2 + (1 / r^2 sin^2 θ) ∂^2 / ∂φ^2
C) ∇^2 = ∂^2 / ∂r^2 + (3 / r) ∂ / ∂r + (1 / r^2) ∂^2 / ∂θ^2 + (1 / r^2 sin^2 θ) ∂^2 / ∂φ^2
D) ∇^2 = ∂^2 / ∂r^2 + (4 / r) ∂ / ∂r + (1 / r^2) ∂^2 / ∂θ^2 + (1 / r^2 sin^2 θ) ∂^2 / ∂φ^2
5 分
在数学物理方法中，Sturm-Liouville 问题的通解为：
A) y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x)
B) y(x) = c_1 y_1(x) - c_2 y_2(x)
C) y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x) + c_3 y_3(x)
D) y(x) = c_1 y_1(x) - c_2 y_2(x) + c_3 y_3(x)
在球坐标系中，spherical harmonics Y_lm(θ, φ) 的定义式为：
A) Y_lm(θ, φ) = (-1)^m * sqrt((2l + 1) / (4π)) * P_l^m(cos θ) e^(imφ)
B) Y_lm(θ, φ) = (-1)^m * sqrt((2l + 1) / (4π)) * P_l^m(cos θ) e^(-imφ)
C) Y_lm(θ, φ) = (-1)^m * sqrt((2l - 1) / (4π)) * P_l^m(cos θ) e^(imφ)
D) Y_lm(θ, φ) = (-1)^m * sqrt((2l - 1) / (4π)) * P_l^m(cos θ) e^(-imφ)
5 分
在数学物理方法中，Bessel 函数的递归关系式为：
A) J_n(x) = (x / 2) * (J_(n-1)(x) - J_(n+1)(x))
B) J_n(x) = (x / 2) * (J_(n-1)(x) + J_(n+1)(x))
C) J_n(x) = (2 / x) * (J_(n-1)(x) - J_(n+1)(x))
D) J_n(x) = (2 / x) * (J_(n-1)(x) + J_(n+1)(x))
5 分
部分二：计算题（每题 20 分，共 60 分）
证明 Legendre 方程的通解为 P_n(x) = (1 / 2^n n!) * d^n / dx^n (x^2 - 1)^n。

20 分
求解 Laplace 方程∇^2 φ(x, y, z) = 0 在球坐标系中的通解。

证明 Sturm-Liouville 问题的通解为 y(x) = c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x)。

20 分
部分三：简答题（每题 10 分，共 10 分）
简述数学物理方法的应用领域。

10 分
注意：
选择题每题 5 分，共 30 分。

计算题每题 20 分，共 60 分。

简答题每题 10 分，共 10 分。

考试时间为 120 分钟。

请在答题纸上作答。