高考数学一轮复习课时跟踪检测(十九)三角函数的图象与性质理(普通高中)

课时跟踪检测（十九） 三角函数的图象与性质
(一)普通高中适用作业
A 级——基础小题练熟练快
1．下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2
x
C ．y ＝tan 2x
D ．y ＝sin 2x ＋cos 2x
解析：选A y ＝sin 2
x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇
非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，选A.
2．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) B.⎝
⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2
＋5π12(k ∈Z) C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)
D.⎝
⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z)，得k π2－π12＜x ＜k π2＋5π
12(k ∈Z)，
所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2
＋5π12(k ∈Z)． 3．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( )
A ．2
B ．3 C.3＋2
D ．2－ 3
解析：选B 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，
所以b －a ＝3.
4．y ＝|cos x |的一个单调增区间是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2
B ．[0，π] C.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢
⎡⎦
⎥
⎤3π2，2π
解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.
5．若函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A.π
2 B.π
3 C.π4
D.π6
解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝π
6＋k π(k ∈Z)，∵ω>0，
∴当k ＝0时，ωmin ＝π
6
，故选D.
6．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2(x ∈R)，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为π B ．函数f (x )是偶函数
C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π
4
对称
D ．函数f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数
解析：选C f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2＝－cos 2x ，故其最小正周期为π，A 正确；易知函
数f (x )是偶函数，B 正确；由函数f (x )＝－cos 2x 的图象可知，函数f (x )的图象关于直线
x ＝π4
不对称，C 错误；由函数f (x )的图象易知，函数f (x )在⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
0，π2
上是增函数，D 正确．
7．函数y ＝1
tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4的定义域为________．
解析：要使函数有意义必须有tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4≠0，
则⎩
⎨⎧
x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，x －π
4≠k π，k ∈Z.
所以x －π4≠k π
2，k ∈Z ，
所以x ≠
k π2＋π
4
，k ∈Z ，
所以原函数的定义域为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
xx ≠
k π2＋π
4，k ∈Z .
答案：⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫
xx ≠
k π2＋π
4，k ∈Z 8．函数y ＝3－2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________.
解析：函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z)，
即x ＝3π
4
＋2k π(k ∈Z)．
答案：5
3π
4
＋2k π(k ∈Z) 9．若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝________. 解析：由题设及周期公式得T ＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝⎪
⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π3＝32.
答案：
3
2
10．若函数f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝________.
解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，所以x 0＝k π2－π
12
(k ∈
Z)，而x 0∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 答案：5π
12
B 级——中档题目练通抓牢
1．若函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪
⎫4π3，0对称，则|φ|的最小值为( )
A.π6
B.π4
C.π3
D.
π2
解析：选A 由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos 2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，
∴
2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π
6
，k ∈Z.
取k ＝0，得|φ|的最小值为
π6
. 2．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R)，则f (x )( )
A ．在区间⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2π3
，7π6上是增函数
B ．在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数
D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3
，5π6 上是减函数
解析：选A 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R)的图象如图所示，
由图可知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3
，7π6上是增函数．故选A. 3．直线x ＝π3，x ＝π
2
都是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π＜φ≤π)的对称轴，
且函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π2上单调递减，则( ) A ．ω＝6，φ＝π
2
B ．ω＝6，φ＝－π
2
C ．ω＝3，φ＝π
2
D ．ω＝3，φ＝－π
2
解析：选A 因为x ＝π3，x ＝π
2
均为函数f (x )的对称轴，
且函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π2上单调递减．
所以T 2＝π2－π3＝π6
，
所以T ＝π3
，
由T ＝π3＝2π
ω
，得ω＝6，
因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π2上单调递减，
所以f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＝1，代入函数可得sin φ＝1，又φ∈(－π，π]， 所以φ＝π
2
，故选A.
4．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有
f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．
解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，
故|x 1－x 2|的最小值为T
2＝2. 答案：2
5．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋7π3，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，则a ，b ，c 的
大小关系是________．
解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋2π＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3， a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7
＝2sin
10π
21， b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π2
，
c ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3
＝2sin
2π3＝2sin π3
， 因为y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增，且π3<10π21<π2，
所以sin π3<sin 10π21<sin π
2，
即c <a <b . 答案：c <a <b
6．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.
解：(1)f (x )＝
32cos 2x ＋3
2
sin 2x －sin 2x
＝12sin 2x ＋3
2cos 2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.
所以f (x )的最小正周期T ＝
2π
2
＝π. (2)证明：因为－π4≤x ≤π
4，
所以－π6≤2x ＋π3≤5π
6
.
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12.
所以当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.
7．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；
(2)讨论函数f (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．
解：(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝ 2 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，
∴ω＝2，f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π4.
令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋3π
8(k ∈Z)，
即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π
8
(k ∈Z)．
(2)令2k π－
π2≤2x －π4≤2k π＋π
2
(k ∈Z)，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)．注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2上
的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z)，得函数f (x )的单调
递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z)，令k ＝0，得f (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤3π8
，π2.
C 级——重难题目自主选做
1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是
( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12 D ．(0,2]
解析：选A 由π2<x <π，得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π
4，
由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2
ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2，
∴⎩⎨⎧
π2
ω＋π4≥π
2，
πω＋π4≤3π
2
，
∴12≤ω≤5
4
，故选A. 2．若函数f (x )＝A cos 2
(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2 的最大值为3，f (x )的图
象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝________.
解析：∵函数f (x )＝A cos 2
(ωx ＋φ)＋1 ＝A ·1＋cos 2ωx ＋2φ
2
＋1
＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A
2的最大值为3， ∴A
2＋1＋A
2
＝3，∴A ＝2. 根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π
2ω＝4，
∴ω＝π4
.
再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)， 可得cos 2φ＋1＋1＝2，∴cos 2φ＝0， 又0<φ<π2，∴2φ＝π2，φ＝π
4.
故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2x ＋π2＋2
＝－sin π
2
x ＋2，
∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝
－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋sin 2π2＋sin 3π2＋…＋sin 2 017π2＋sin 2 018π2＋2×2 018＝504×0－
sin π
2
－sin π＋4 036＝－1＋4 036＝4 035.
答案：4 035。