1-1 反函数

ππ ,]
上的反函数叫做反正弦函数，记作
y
arcsin
x
，
22
其定义域为[-1,1], 值域为 [ π , π] ；
22
余弦函数 y cosx 在[0, π]上的反函数叫做反余弦函数，记作 y arccosx ，
其定义域为[-1,1]，值域为 [0, π] ；
正切函数 y tan x 在 ( π , π) 上的反函数叫做反正切函数，记作 y arctanx ，
例：判断以下两个函数是否是同一函数？
y
2
x
yx
复习以前学习过的几类函数： 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数。
通过观察图像，总结函数的性质。 函数性质： 单调性、奇偶性、有界性、周期性。
一、幂函数
一般地，形如 y x (为有理数 ) 的函数， 即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数 的函数称为幂函数。
例如， 函数 y x 1 的定义域为：x 1 。
被开方数 ≥ 0
（3）对数函数 y = log a x ，规定：底数 a >0且 a ≠ 1，真数 x > 0。
例如，函数 y log3x 2 的定义域为： x 2 。 对数函数的真数 > 0
（4）A0中，A≠ 0。
任何非零数的零次方
判断两个函数是同一函数，一看定义域 是否相同，二看对应法则是否相同，即经过 化简后两函数是同一形式（式子相同）。
新知识
作出函数 y 2x 1 与函数 y x2 的图像．
观察图像发现，函数 y 2x 1 的图像（图（1））与任何水平直线相交的交点最多
有一个，具有这种特征的函数称为一对一函数；
而函数 y x2 的图像（图（2））与水平直线相交的交点会多于 1 个，具有这种特征
的函数称为非一对一函数．
y 3
2
数y 表示函数．
这样，函数 y 2x 1 的反函数就是 y x 1 ． 2
函数 f (x) 的反函数一般记作 f 1(x) ．如 f (x) 2x 1 的反函数为 f 1(x) x 1 ．
2
函数 y 2x 1 与其反函数 y x 1 的关系如图所示． 2
2 y=2x+1
1
–2 –1 O 1 2 x –1
–2
y 3
2
1
–2 –1 O 1 2 x –1
–2
新知识
§1.1.1反函数
对于一对一函数，值域中的每个函数值只有唯一的一个自变量值与之对应，因此可以用函数 y 来表示自变量 x．例如，y 2x 1 可以写成 x y 1 ，这样就构成一个以函数值 y 为自变量的新函
22
其定义域为 (,) ，值域为
(
π 2
,
π 2
)
.
y
y
π
2
3π
1
2π
–1 O 1 x
12
–1 π 2
–1 O 1 x
–1
4y
3 2π 12
–5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 x
–1 π -
–2 2 –3
课堂小结
函数的概念
复习内容 几类常见函数
函数的性质
新知识：反函数、求反函数的步骤
指数函数的定义域是R。
指数函数
图像过定点（0，1）
三、对数函数
一般地，形如 y loga x(a 0且a 1) 的函数 称为对数函数，其中x是自变量。
对数函数的定义域是 0， 。
通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数， 我们把 log10 x 记为 lg x 。
把以e（e是无理数，e=2.71828···）为底的对
数称为自然对数，我们把 loge x 记为 ln x 。
对数函数
图像过定点（1，0）
四、三角函数
sin2 A cos2 A 1
三角函数
三角函数
特殊角的三角函数值
30° 45°
画出下列函数的图像：
x, x 0
f x x 1,0 x 1
x
2
,
x
1
问题引入
一个装有液体的圆柱形容器，其底面直径为 D，高为 h，
组成的集合叫做函数的值域。
定义域和对应法则是函数的两个要素。
在定义域的不同子集内，对应法则由不同的解析
式所确定的函数称为分段函数。
例如，
x, x 0
f x x 1,0 x 1
x2 , x 1
其中x=0,x=1 称为分段函数f(x)的分段点。
假设最多允许放入100个小球。
f
定义域：{1,2,3，4，···，100}
y=2x+1
x-1 y= 2
显然，函数 f (x) 的定义域是反函数 f 1(x) 的值域，函数 f (x) 的值域是反函数 f 1(x) 的定义域．
新知识
求一对一函数的反函数的基本步骤是：
（1）用函数 y 来表示自变量 x ；
（2）自变量和函数互换字母； （3）写出反函数定义域（原来函数的值域）。
课后作业
1.求下列函数定义域。
（1） y x2 4x 3
（2） y
x2 1 x2 3
（3）
y
sin x,0
x,
2
x
x
2
2.求下列函数的反函数。
（1） y 2x 3
（2） y x 1
感谢您的观看 再见！
值域：{2,4,6,8，···，200}
x
f(x) = 2x
f( )=2 f( )=2 f( x )=2x f ( x+1) = 2(x+1)
求函数的定义域有以下原则：
（1）对于分式函数，规定：分母 ≠ 0 。
例如，函数
y
1 x 1
的定义域为： x 1
。
分式分母不为零
（2）开偶次方根的函数，规定：根号下的整体 ≥ 0 。 开偶次方根，
则容器内液体体积 y 与液面高度 x 的函数关系为 y 1 π D2x．
4
知道液面高度 x，就可以知道容器内液体体积 y。
h
xy
D
反过来，如果知道了容器内液体体积 y，如何求得液面高度 x 呢？
x 4y ． π D2
1）请在草稿本上做出函数 y 2x 1 和 y x2 的函数图像。 2）在此基础上分别再做出一条与x轴 平行的直线，并观察它们的不同之处。
–1 O 1 2 –1
y=x y= x
3 4x
知识巩固
§1.1.1反函数
求出下列函数的反函数，并在同一个直角坐标系内作出它们的图像．
（1）
y
3 2
x
6
；
3
（2） y x2 .
新知识
显然，不同角的同名三4 角函数值有可能相等，例如sin π sin13π 1 。也就是说，正弦函数图
6 62
3
例如，以下函数均为幂函数。 2
y x0 , y x1, y x2 , y x1，y x 3
注意： y x0、y x1 1 时x 0. x
幂函数
图像过定点（1，1）
幂函数
图像过定点（1，1）
二、指数函数
一般地，形如 y ax (a为常数， a 0且a 1) 的函数称为指数函数。
知识巩固
§1.1.1反函数
例 1 求函数 y x 的反函数，并在同一个直角坐标系内作出
它们的图像。
解 函数 y x 的定义域为[0,) ，值域为[0,) 。
将 y x 两边平方，整理得 x y2 。
y 4 y=x2
3
互换字母得
y x2 。
2
由于函数 y x 的值域为[0,) ，
1
故函数 y x 的反函数的定义域为[0,) 。 因此所求反函数 y x2 （ x [0,) ）。
1
像与平行于
x
轴的直线
y
2
2
的交点会多余一个（图
1－6），所以三角函数不是一对一的函数。
y
1
2π
π
3
3
π
π
2π
π
4π
5π
2π
13π
7π x
8π
6
3
3
3
3
6
3
3
1
为保证三角函2 数存在反函数，需要改变三角函数的定义域， 使之在所定义的区间上为一对一的函数。
3
新知识
§1.1.1反函数
正弦函数
y
sin x在[
例如 S = π r2 y = π x2 y = x2 w = t2
什么是定义域？ 定义域：使得函数表达式有意义的x的取值范围。
知识回顾
自变量x取定义域D中的数值x0时，对应的数值y0 叫做函数y=f(x)在x0点处的函数值，记作f(x0)或y|x=x0.
当x取遍D内的所有数值时，对应的所有函数值所
高等数学
§1.1.1反函数
知识回顾
在某个变化过程中，有两个变量x和y，设D是 实数集的某个子集，如果对于任意的 x D ,按照确 定的法则f，变量y总有唯一确定的数值与之对应， 那么称f是定义在D上的一个函数，记作 y f (x) 。
其中x叫做自变量，y叫做因变量，实数集D叫 做这个函数的定义域。 注意：表示函数的自变量、因变量的符号是可以任意取定的。