山东省济宁市2016届高三3月模拟考试理数试题 含解析

第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题:本大题共10个小题，每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一
项是符合题目要求的. 1。

设集合13,1202
A
x
x B x x x ,则A B （ ）
A ．122
x
x B ．13x x C ．112
x
x
D ．1
2x x
【答案】A
考点：集合的运算 2.已知i 是虚数单位，则12i z
i
在复平面内对应的点位于( ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】B 【解析】 试题分析:
12221
121212555
i i i i z
i i
i i
,故12i z i
在复平面内对应的
点位于第二象限，选B 考点：复数及其运算 3。

函数31
22log x
f x
x
的定义域为（ ) A ． 1x x B ．01x x C ．0
1x x D ．1x x
【答案】B
【解析】
试题分析:函数3
1
22log x
f x
x
的定义域为3220log 0
010
x
x x x x
考点:函数的定义域
4。

某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示，
x
16 17 18 19 y
50
34
41
31
由表可得回归直线方程ˆˆˆy
bx
a 中的ˆ4
b ,据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量
为（ ）
A ．26个
B ．27个
C ．28个
D ．29个 【答案】D
考点：回归直线方程 5.有下列三个结论： ①命题“,ln 0x
R x x ”的否定是“000
,ln 0x R x x ”；
②“1a
”是“直线10x ay 与直线20x ay 互相垂直”的充要条件；
③随机变量服从正态分布2
1,N ，且20.8P ,则010.2P
其中正确结论的个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 【答案】B 【解析】
试题分析：①命题“,ln 0x
R x x ”的否定是“000
,ln 0x R x x ”；由命题的
否定知正确；② “1a "是“直线10x ay 与直线20x ay 互相垂直"的充要条件；
错误，1a 时直线10x ay 与直线20x ay 也互相垂直；③随机变量服从正态
分布2
1,N ,且20.8P ，20.2P ，010.50.20.3P ，错误。

故选B
考点：命题真假的判断
6.执行如图所示的程序框图，如果输入的,x y R ，那么输出的S 的最大值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
考点：程序框图，简单的线性规划
7。

已知函数23sin 22cos f x
x x ，下列结论中错误的是（ ）
A ．函数f x 的最小正周期为
B ．函数f x 的图象关于直线3
x 对称
C ．函数f x 的图象可由2sin21g x
x 的图象向右平移
6
个单位得到
D ．函数f x 在区间04
，上是增函数
【答案】C
考点：sin f x A x b 的图像和性质
8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．2+4
B ．2
+43
C ．+2
D ．+4 【答案】D 【解析】
试题分析：由三视图可知,该几何体为半个圆柱加一个长方体的组合体，故其体积为
2112212
42
V
考点：三视图,几何体的体积
9.将4名大学生分配到,,A B C 三个不同的学校实习,每个学校至少分配一人，若甲要求不到
A 学校，则不同的分配方案共有（ ）
A ．36种
B ．30种
C ．24种
D ．20种 【答案】C
考点：排列组合应用题
10.已知0a b ，椭圆1C 的方程为22
22
+1x y a b
，双曲线2C 的方程为2
22
2
1x y a b ，1C 与2
C 3
2C 的渐近线方程为（ ）
A ．20x y
B ．20x y
C ．20x y
D ．20x y
【答案】A 【解析】
试题分析:0a b ，椭圆1C 的方程为22
22
+1x y a b
，1C 的离心率为：22
a a
b
,
双曲线2C 的方程为2
22
21x y a b ，2C 的离心率为：22
a a
b ，
∵1C 与2C 的离心率之积为32，∴
22
22
2
312,222
b b a a
a
a a
b a b 2C 的渐近线方程为：2
2
y
x ，即20x y 。

故选A ．
考点:椭圆、双曲线的离心率.双曲线的渐近线
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分,将答案填在答题纸上）
11。

如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图,已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2个小组的频数为10，则抽取的学生人数为 ．
【答案】40
考点:频率分布直方图
12.在ABC中，若,2,1,,
AB AC AB AC AB AC E F为BC边的三等分点，则AE AF．
【答案】10 9
【解析】
试题分析：,0
AB AC AB AC AB AC即AB AC，
如图建立平面直角坐标系，2,1,,
AB AC E F为BC边的三等分点，
2241
,,,
3333
E F
10
9
AE AF
考点：向量的数量积
13.若
2n
x
x
的展开式中各项的系数之和为81,且常数项为a，则直线
6
a
y x与曲线2
y x
所围成的封闭区域面积为．
【答案】32 3
考点：二项式定理，定积分 14.已知,
0,
2
,满足tan 9tan ，则tan 的最大值为 ．
【答案】
43
【解析】 试题分析：tan 9tan ,
2
99801tan tan tan
tan tan tan tan tan tan
，①，
又
,0,
2
，∴方程①有两正根，2
4
06436003
tan tan tan
＞，
，＜． tan 的最大值是
43
． 考点：二角和的正切公式 15。

若函数2ln f x
x x a 与21
02
x
g x x e x 的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】a e （
，）
考点:函数的图像
【名师点睛】本题考查函数与方程的应用，属难题。

解题时根据函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系,进行转化是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．
三、解答题 (本大题共6小题,共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16。

某同学用“五点法”画函数sin 0,0,
2
f x
A x A 在某一个周期
内的图象时，列表并填入了部分数据,如下表
(1）根据上表求出函数f x 的解析式；
（2）设ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3,3,f A a S 为ABC 的
面积，求33cos cos S B C 的最大值
【答案】（1）3sin
2
3
x f x ；（2)33cos cos S B C 有最大值33
（2）3sin
323
A f A ，即sin
123
A
考点：函数sin
f x A x的图像和性质
17.甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A，在点A处投中一球得2分,不中得0分；在距篮筐3米线外设一点B，在点B处投中一球得3分，不中得0分，已知甲、
乙两人在A点投中的概率都是1
2
，在B点投中的概率都是
1
3
，且在,A B两点处投中与否的相
互独立，设定甲、乙两人先在A处各投篮一次，然后在B处各投篮一次，总得分高者获胜（1）求甲投篮总得分的分布列和数学期望；
（2）求甲获胜的概率
【答案】(1）的分布列为
0 2 3 5
P1
31
3
1
6
1
6
2 E
（2）甲获胜的概率
13
36 P
【解析】
所以的分布列为
0 2 3 5
P1
3
1
3
1
6
1
6 1111
02352
3366
E
(2）同理，乙的总得分的分布列为
0 2 3 5
P1
31
3
1
6
1
6
甲获胜包括：甲得2分、3分、5分三种情形，这三种情形之间彼此互斥因此，所求事件的概率P为
203355 P P P P P P P
111111113
+1
336336636
考点:离散型随机变量的分布列及其期望
18.如图甲,圆O 的直径2AB ，圆上两点,C D 在直径AB 的两侧，使,43CAB DAB ，沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙）,F 为BC 的中点，根据图乙解答下列各题：
（1）若点G 是弧BD 的中点,证明:FG 平面ACD ；
（2）求平面ACD 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值
【答案】（1)见解析；(2)平面ACD 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值为10535 (2)如图，取弧DG 中点H ，以O 为原点，以,,OH AB OC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系 则31310,1,0,0,1,0,0,0,1,,,0,,,022
22A B C D G ， 设平面ACD 的法向量为131,y,z 0,1,1,,,022n x AC
AD ，，
由1
100AC n AD n 可得031022y z x y ，即33z y x y ， 取3y ，得11,3,3n
同理可得平面BCD 的法向量为2
3,1,1n 12cos ,n n 1212310535
75n n n n , 即平面ACD 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值为
10535 考点:直线与平面平行的判定，二面角的计算
19。

已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，且152,30a S ，数列n b 的前n 项和为n T ，且21n n T
（1）求数列n a 、n b 的通项公式；
（2)设1ln n n n n n c a b S ，求数列n c 的前n 项和
【答案】（1)2n a n ,12n n b ；（2）1231
1ln 1299n n n n
当1n 时也满足上式
12n n b
考点：数列通项公式的求法，错位相减法和裂项相消法
20。

已知曲线E 上的任意点到点1,0F 的距离比它到直线2x
的距离小1，
（1）求曲线E 的方程;
(2）点D 的坐标为2,0，若P 为曲线E 上的动点，求PD PF 的最小值
（3)设点A 为y 轴上异于原点的任意一点，过点A 作曲线E 的切线l ，直线3x 分别与直线l 及x 轴交于,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线,切点为B ，试探究：当点A 在y 轴上运动（点A 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？请证明你的结论
【答案】(1）24y x ；(2)PD PF 的最小值为2；（3）线段AB 的长度为定值6
（3）当点A 在y 轴上运动（A 与原点不重合)时，线段AB 的长度不变，证明如下： 依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设:l y kx b ,代入24y x 得
22
2240k x kb x b ， 由
22224416160kb k b kb 得1kb 将3x 代入直线l 的方程得3,3M k b ,又3,0N ,故圆心33,2k b C 所以圆C 的半径为32
k b r
222222333093622k b k b AB AC r b kb
6AB 当点A 在y 轴上运动（点A 与原点不重合)时，线段AB 的长度不变,为定值6 考点：抛物线的定义及其标准方程，向量的数量积运算,直线与圆锥曲线的关系
21.定义在R 上的函数f x 满足22x f x e x ax ,函数
21124x g x
f x b x b （其中,a b 为常数），若函数f x 在0x
处的切线与y 轴垂直 （1）求函数f x 的解析式；
（2）求函数g x 的单调区间；
(3）若,,s t r 满足s r
t r 恒成立，则称s 比t 更靠近r ，在函数g x 有极值的前提下，当1x 时,e x 比1x
e b 更靠近ln x ,试求b 的取值范围
【答案】（1）222x f x
e x x ；（2)g x 在,ln b 上单调递减，在ln ,b 上
单调递增；（3)1b e
(2）2111,24x x x
g x f x b x b e b x g x e b
①当0b
时，0g x ，g x 在,上单调递增 ②当0b 时，令0g x ，得ln x b ,
g x 在,ln b 上单调递减，在ln ,b 上单调递增
②当x e 时，（＊）即1ln ln ,x e x e b x x 亦即12ln x e b x e x
设12ln x e n x
x x e e x 122,x e n x e n x x x 在,e 上为减函数 130e n x n e e e
n x 在,e 上为减函数，11e n x n e e
11e b e 综上可知1b e 考点：利用导数研究函数的性质
【名师点睛】本题主要考查不等式恒成立，属难题。

解题时利用函数单调性最值和导数之间的关系，是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度比较大．。