高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.8 解

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、
解三角形 3.8 解三角形的综合应用
1．仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．
2．方向角
相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． 3．方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，π
2
]．( × )
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( √ ) (4)如图，为了测量隧道口AB 的长度，可测量数据a ，b ，γ进行计算．( √ )
1．(教材改编)海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从
B望C和A成75°视角，则BC等于( )
A．10 3 n mile B.106
3
n mile
C．5 2 n mile D．5 6 n mile 答案 D
解析如图，在△ABC中，
AB＝10，∠A＝60°，
∠B＝75°，
∴
BC
sin 60°
＝
10
sin 45°
，
∴BC＝5 6.
2．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( ) A．北偏东15° B．北偏西15°
C．北偏东10° D．北偏西10°
答案 B
解析如图所示，∠ACB＝90°，
又AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°.
∴点A在点B的北偏西15°.
3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km，参考数据：3≈1.732)()
A ．11.4 km
B ．6.6 km
C ．6.5 km
D ．5.6 km
答案 B
解析 ∵AB ＝1 000×160＝50
3
km ，
∴BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50
32
km.
∴航线离山顶h ＝5032×sin 75°＝5032×sin(45°＋30°)
≈11.4 km.
∴山高为18－11.4＝6.6 km.
4．轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是________n mile. 答案 70
解析 设两船之间的距离为d ，则
d 2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900，
∴d ＝70，即两船相距70 n mile.
5．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，
a 2＋
b 2－
c 2)，q ＝(3，S )满足p ∥q ，则C ＝________.
答案
π
3
解析 由题意得p ∥q ⇒4S ＝3(a 2
＋b 2
－c 2
)，
又S ＝12ab sin C ，所以2ab sin C ＝3(a 2＋b 2－c 2
)⇒sin C ＝3a 2
＋b 2
－c 2
2ab ⇒sin C ＝3cos C
⇒tan C ＝3， 解得C ＝π3
.
题型一 求距离、高度问题
例1 (1)如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A
的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( )
A ．50 2 m
B ．503m
C ．25 2 m
D.252
2
m
(2)(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.
答案 (1)A (2)100 6 解析 (1)由正弦定理得
AB ＝AC ·sin∠ACB sin B
＝
50×22
12
＝502(m)．
(2)在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC
sin∠BAC
＝
AB
sin∠ACB
，即
BC
sin 30°＝600sin 45°
，所以BC ＝300 2.在Rt△BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝
BC tan∠CBD ＝3002·tan 30°＝100 6.
思维升华 求距离、高度问题应注意
(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念；
(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
(1)一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P 的南偏西75°的方向上，距塔68
海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为________海里/小时．
(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，
B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.
答案 (1)17
2
6
(2)30＋30 3
解析 (1)由题意知，在△PMN 中，PM ＝68海里，∠MPN ＝75°＋45°＝120°，∠MNP ＝45°.
由正弦定理，得MN sin 120°＝68sin 45°，解得MN ＝346海里，故这只船航行的速度为346
4
＝
176
2
海里/小时． (2)在△PAB 中，∠PAB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60，
sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12
＝6－2
4
， 由正弦定理得PB sin 30°＝AB
sin 15°
，
∴PB ＝
1
2
×606－24
＝30(6＋2)，
∴树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22
＝(30＋303)m. 题型二 求角度问题
例2 (1)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的______方向．
(2) 如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 等于( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
答案 (1)北偏西10° (2)B
解析 (1)由已知∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°， 又AC ＝BC ，∴∠A ＝∠ABC ＝50°，60°－50°＝10°， ∴灯塔A 位于灯塔B 的北偏西10°.
(2)依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得
cos∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝3052＋20102－50
2
2×305×2010
＝
6 000
6 0002＝2
2
，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张
角为45°.
思维升华 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义．
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步． (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．
如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练．已知点A
到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小．若AB ＝15 m ，AC ＝25 m ，∠BCM ＝30°，则tan θ的最大值是________．(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)
答案
53
9
解析 如图，过点P 作PO ⊥BC 于点O ，
连接AO ，则∠PAO ＝θ. 设CO ＝x m ，则OP ＝
3
3
x m. 在Rt△ABC 中，AB ＝15 m ，AC ＝25 m ， 所以BC ＝20 m. 所以cos∠BCA ＝4
5.
所以AO ＝
625＋x 2
－2×25x ×45
＝x 2
－40x ＋625(m)．
所以tan θ＝
33
x x 2－40x ＋625
＝
33
1－40x ＋625x
2
＝
3
3
⎝ ⎛⎭
⎪⎫25x －452＋925.
当25x ＝45，即x ＝125
4时，tan θ取得最大值为3
335＝539
. 题型三 三角形与三角函数的综合问题 例3 已知函数f (x )＝23sin 2
⎝
⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋x .
(1)求函数f (x )的单调递增区间；
(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且角A 满足f (A )＝3＋1.若a ＝3，
BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .
解 (1)由题意知，
f (x )＝3⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤1－cos ⎝
⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π2
＋2x
＝3(1＋sin 2x )＋cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋cos 2x ＝3＋2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
解得k π－π3≤x ≤k π＋π
6，k ∈Z ，
∴函数f (x )的单调递增区间为
⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)由f (A )＝3＋1，得 sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，
∴2A ＋π6＝π6或5π6，即A ＝0或π
3.
又A 为△ABC 的内角，∴A ＝π3
. 由A ＝π
3
，a ＝3，
得|BC →|＝|AC →－AB →
|＝a ＝3，①
又BC 边上的中线长为3，知|AB →＋AC →
|＝6，② 联立①②，解得AB →·AC →＝27
4，
即|AB →|·|AC →
|·cos π3＝274，
∴|AB →|·|AC →|＝272.
∴△ABC 的面积为
S ＝12
|AB →|·|AC →
|·sin π3＝
273
8
. 思维升华 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题．
已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1,2cos C ＋c ＝2b ，则
△ABC 的周长的取值范围是________．
答案(2,3]
解析在△ABC中，由余弦定理可得2cos C＝
a2＋b2－c2
ab
，
∵a＝1,2cos C＋c＝2b，∴
1＋b2－c2
b
＋c＝2b，
化简可得(b＋c)2－1＝3bc.∵bc≤⎝
⎛
⎭⎪
⎫
b＋c
2
2，
∴(b＋c)2－1≤3×⎝
⎛
⎭⎪
⎫
b＋c
2
2，解得b＋c≤2(当且仅当b＝c时，取等号)．故a＋b＋c≤3.
再由任意两边之和大于第三边可得b＋c>a＝1，故有a＋b＋c>2，
故△ABC的周长的取值范围是(2,3]．
9．函数思想在解三角形中的应用
典例(15分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
思维点拨(1)利用三角形中的余弦定理，将航行距离表示为时间t的函数，将原题转化为函数最值问题；
(2)注意t的取值范围．
规范解答
解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则[1分]
S＝900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°
＝900t2－600t＋400＝900t－
1
3
2＋300.[4分]
故当t＝
1
3
时，S min＝103，v＝
103
1
3
＝30 3.
即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．[7分]
(2)设小艇与轮船在B处相遇．
则v 2t 2
＝400＋900t 2
－2·20·30t ·cos(90°－30°)，[9分] 故v 2
＝900－600t ＋400t
2.
∵0<v ≤30，
∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥2
3.
又t ＝2
3
时，v ＝30，
故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于2
3.
此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.[14分] 故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时．[15分]
温馨提醒 (1)三角形中的最值问题，可利用正弦、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型)，转化为函数最值问题．
(2)求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义．
[方法与技巧]
1．利用解三角形解决实际问题时，(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义．
2．在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件． [失误与防范]
1．不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混．
2．在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误．
A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)
1．在相距2 km 的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点
之间的距离为( ) A. 6 km B. 2 km C. 3 km
D ．2 km
答案 A 解析 如图，
在△ABC 中，由已知可得∠ACB ＝45°， ∴
AC
sin 60°＝2sin 45°
，
∴AC ＝22×
3
2
＝ 6. 2．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．10 2 海里 B ．10 3 海里 C ．20 3 海里 D ．20 2 海里 答案 A
解析 如图所示，易知，
在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°， 根据正弦定理得BC sin 30°＝AB
sin 45°，
解得BC ＝102(海里)．
3. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )
A ．8 km/h
B ．6 2 km/h
C ．234 km/h
D ．10 km/h
答案 B
解析 设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫110×22＋12
－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.选B.
4．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )
A ．240(3＋1) m
B ．180(2－1) m
C ．120(3－1) m
D ．30(3＋1) m
答案 C
解析 如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60 m ，
在Rt△ACD 中，
CD ＝
AD
tan∠ACD
＝
60
tan 30°
＝60 3 m ， 在Rt△ABD 中，BD ＝AD
tan∠ABD ＝60tan 75°＝602＋3
＝60(2－3)m ，
∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)m.
5. 如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得
∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于( )
A．5 6 B．15 3
C．5 2 D．15 6
答案 D
解析在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得BC
sin 30°＝
30
sin 135°
，
所以BC＝15 2.
在Rt△ABC中，
AB＝BC tan∠ACB＝152×3＝15 6.
6．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m. 答案10 3
解析如图，OM＝AO tan 45°＝30 (m)，
ON＝AO tan 30°＝
3
3
×30
＝10 3 (m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝900＋300－2×30×103×
3 2
＝300＝10 3 (m)．
7．在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.
答案400 3
解析 如图，由已知可得∠BAC ＝30°，∠CAD ＝30°， ∴∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°. 又AB ＝200 m ，∴AC ＝400
3 3 m.
在△ACD 中，由余弦定理得，
AC 2＝2CD 2－2CD 2·cos 120°
＝3CD 2
， ∴CD ＝
13
AC ＝
4003
m. 8．在三角形ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin∠BAM ＝1
3，则sin∠BAC ＝______.
答案
63
解析 如图，设AC ＝b ，AB ＝c ，BC ＝a ，
在△ABM 中，由正弦定理得 12a sin∠BAM ＝c
sin∠BMA .①
因为sin∠BMA ＝sin∠CMA ＝AC AM
， 又AC ＝b ＝c 2
－a 2
，
AM ＝b 2＋14
a 2＝
c 2－34
a 2，
所以sin∠BMA＝
c2－a2
c
2－
3
4
a2
.
又由①得
1
2
a
1
3
＝
c
c2－a2
c2－
3
4
a2
，两边平方化简得4c4－12a2c2＋9a4＝0，所以2c2－3a2＝0，所以sin∠BAC＝
a
c
＝
6
3
.
9．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
解(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28.
所以渔船甲的速度为
BC
2
＝14海里/小时．
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得
AB
sin α
＝BC
sin 120°
，
即sin α＝
AB sin 120°
BC
＝
12×
3
2
28
＝
33
14
.
10. 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB ＝1
2
，求PA ；
(2)若∠APB ＝150°，求tan∠PBA .
解 (1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°. 在△PBA 中，
由余弦定理得PA 2
＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74，
故PA ＝
7
2
. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.
在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin α
sin 30°－α，
化简得3cos α＝4sin α， 所以tan α＝
34，即tan∠PBA ＝34
. B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)
11．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点
B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A ．50 m
B ．100 m
C ．120 m
D ．150 m
答案 A
解析 设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，在Rt△BCD 中，∠CBD ＝30°，BC ＝3h .
在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，根据余弦定理得，(3h )2
＝h 2
＋1002
－2·h ·100·cos 60°，即h 2
＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.
12. 如图，一艘船上午9∶30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距82n mile.此船的航速是________ n mile/h.
答案32
解析
设航速为v n mile/h，
在△ABS中，AB＝
1
2
v，BS＝82，∠BSA＝45°，
由正弦定理得
82
sin 30°
＝
1
2
v
sin 45°
，∴v＝32.
13. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形
AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．
答案507
解析如图，连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC＝507.
14．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为________ km.
答案7
解析因为A，B，C，D四点共圆，所以D＋B＝π.
在△ABC和△ADC中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D)＝32＋52－2×3×5×cos
D，cos D＝－
1
2
，代入得AC2＝32＋52－2×3×5×⎝
⎛
⎭⎪
⎫
－
1
2
＝49，
故AC＝7.
15. 在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m后，又从B点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m．设此山对于地平面的斜度为θ，则cos θ＝________.
答案3－1
解析在△ABC中，∠BAC＝15°，∠CBA＝180°－45°＝135°，所以∠ACB＝30°.
又AB＝100 m，
由正弦定理，得
100
sin 30°
＝
BC
sin 15°
，即BC＝
100sin 15°
sin 30°
.
在△BCD中，因为CD＝50，BC＝
100sin 15°
sin 30°
，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ，
由正弦定理，得
50
sin 45°
＝
100sin 15°
sin 30°
sin90°＋θ
，
解得cos θ＝3－1.。