辽宁省沈阳市高三数学教学质量监测试题(二)文

2013年沈阳市高中三年级教学质量监测（二）
数 学(文科)
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．复数311i
i
z +-=（i 为虚数单位）对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．若集合{}0,1,M =(){}
,210,,,N x y x y x M y M =--≥∈∈则集合N 的子集个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．设命题p ：函数2cos
x y =的最小正周期为π2；命题q ：函数x x
y 2
12+=是偶函数． 则下列判断正确的是（ ）
A ．p 为真
B ．q ⌝为真
C ．q p ∧为真
D ．q p ∨为真
4．2013年春节高速公路免费通行时间及条件公布后，这项福利引起了争议. 某调查机构对此
若从参与调查的人员中，按分层抽样的方法抽取100人进行座谈.则“好评”与“差评”的人数之差为（ ）
A ．10 B. 20 C. 30 D. 40
5．平面直角坐标系中，已知两定点)2,4(A ，)4,2(-B ，若点C 满足
μλ+=（O 为坐标原点），其中R ,∈μλ，且1=+μλ，则点C 的轨迹是( ) A ．直线
B ．椭圆
C ．圆 6．函数)sin(ϕω+=x A y （A ＞0，ω＞0期内的图象如图所示，则此函数的解析式是( )
A ．2sin(2)4y x π
=-
B ．2sin(2)4y x π
=+ C ．32sin()8y x π=+ D ．72sin()216
x y π
=+
7. 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是（ ）
8．在ABC ∆中，已知3
π
=A ，3BC =，AB ==C （ ）
A ．
6
π 或56π B ．4π
C ．
6
π
D ．4π或34π
9．设不等式组 ⎪⎩
⎪
⎨⎧-≥≤≥+-240
22y x y x 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到
直线40x -=的距离大于2的概率是（ ）
A ．51
B ．5
4 C ．2516 D ．259
10．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且0OA OB CO ++=，则△ABC 的内角A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°
11．设12,F F 分别是椭圆22
221x y a b
+=()0a b >>的左、右焦点，和直线y b =相切的圆2F 与
椭圆的其中一个交点为E ，且E 是直线1EF 与圆2F 相切的切点，则椭圆的离心率为( ) A B C D 12. 定义在),0()0,(+∞-∞ 上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{n a }，{}()n f a 仍
主视图 左视图
A B C D
是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”．现有定义在),0()0,(+∞-∞ 上的如下函数：①()f x =4
x ；②()f x =x
3；③()f x =x ；
④()ln ||f x x =．则其中为“保等比数列
函数”的()f x 是（ ）
A ．①②
B ．③④
C ．①③ D．②④
第Ⅱ卷 (共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题纸上.
13．已知函数()32
f x x a x -+＝()a ∈R ，若曲线=y )(x f 在点()(11)P f ，处的切线的倾
斜角为
4
π
，则该切线方程为 ． 14．已知圆M:()2
239x y -+=，过圆心M 的直线与抛物线2
12y x =和圆M 的交点自上而下
依次为点,,,A B C D ，则AB CD ⋅的值是 ．
15．正四棱锥S ABCD －的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在棱锥表面上
运动，并且总保持PE AC ⊥，则动点P 的轨迹的周长为 ． 16．给出下列命题： ①在区间(0,)+∞上，函数
1y x -=，1
2
y x =，()2
1y x =+，3y x =中有三个是增函数；
②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；
③若函数()f x 是奇函数，则函数)1(+x f 的图象关于点(1,0)A 对称；
④函数()323x
f x x =--，则方程()0f x =有2个实数根．
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位
置.
17．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中11a =，121()n n S S n +=+∈*N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列1
{}n a 的前n 项和为n T ，求满足不等式91
n n T S <+ 的n 值．
18．（本小题满分12分）
在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，
EC⊥底面ABCD，F为BE的中点. （1）求证：DE∥平面ACF；
（2
）若,
AB=在线段EO上是否存在点G，
使CG⊥平面BDE？若存在，求出EG
EO
的值；若不存在，
请说明理由．
19. （本小题满分12分）
为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中数学老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）.以下茎叶图为甲、乙两班（每班均为20人）学生的数学期末考试成绩.
（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；
（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的22
⨯列联表，并判断有多大把
下面临界值表仅供参考：
（参考公式：
2
211221221
1212
()
n n n n n
n n n n
χ
++++
-
=
A
B
C
E
F
O
7 7 3 2
8 4 2 2 1 0
9 8 7 7 6
8 8 7 7 9
8
7
6
5
0 1 5 6 8
0 1 2 5 6 6 8 9
1 3 5
5 7 8 9
甲乙
20. （本小题满分12分）
设函数()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+. （1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1
()g x
的大小关系；
（3）令1()()()h x g x g x
=-,若对任意1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，存在[]1,a e ∈，使()()h x m f a >-成立，求实数m 的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知两圆02:2
2
1=-+y y x C ，4)1(:2
22=++y x C 的圆心分别为12,C C ，P 为一个动点，且直线12,PC PC 的斜率之积为4
1-
. （1）求动点P 的轨迹M 的方程；
（2）是否存在过点)0,4(A 的直线l ，使得l 与轨迹M 交于不同的两点,C D ，且以1C 为圆心的圆过,C D 两点？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.
22. （本题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲
如图，ABC ∆内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，PA 是过点A 的直线，且
ABC PAC ∠=∠.
（1）求证：PA 是⊙O 的切线；
（2）如果弦CD 交AB 于点E ，8=AC ，
5:6:=ED CE ，3:2:=EB AE ，求直径AB 的长.
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，圆C 的方程是042
2
=-+x y x ，圆心为C ．在以坐标原点为极点,以x
轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 1：ρθ=-与圆C 相交于,A B 两点．
（1）求直线AB 的极坐标方程；
（2）若过点C(2,0)的曲线C 2
:2212
x y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩(t 是参数)交直线AB 于点D ，交y 轴于点E ，求|CD|:|CE|的值.
24． (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
已知函数()1f x x =-．
（1）解不等式: 1()(1)2f x f x ≤+-≤； （2）若0＞a ，求证：()()f ax af x -≤()f a .
2013年沈阳市高中三年级教学质量监测（二） 数学（文科）参考答案与评分参考 说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 20x y -+= 14. 9 15. 2＋6 16. ①②④ 三、解答题：本大题共70分.
17. 解：（1）由121n n S S +=+，得121n n S S -=+)2(≥n ，
∴112()n n n n S S S S +--=-，即12n n a a +=，∴
1
2n n
a a +=)2(≥n . ………… 3分 又11a =，得211221S a a a =+=+， ∴22a =， ∴
2
1
2a a =.
G A
B
C D
E
F
O
∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，∴12n n a -=. ……………… 6分 （2）∵数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列， ∴数列1{
}n a 是首项为1，公比为1
2
的等比数列， ∴11()122[1()]1212
n
n n T -=
=-- ， ………………………………………………… 9分 又∵21n n S =-，∴不等式n T ＜
91
n s +，即得1
211n +<， ∴1
n =或
2n =. ……………………………………………12分
18. 解：（1）连OF .
由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为BE 的中点，
所以OF ∥DE . …………………2分 又⊂OF 平面ACF ，⊄DE 平面ACF ， 所以DE ∥平面ACF . …………4分
(2) （方法一）
若⊥CG 平面BDE ，则必有使OE CG ⊥，于是作OE CG ⊥于G .
由⊥EC 底面ABCD ，所以EC BD ⊥，又底面ABCD 是正方形， 所以AC BD ⊥，又EC
AC C =，所以⊥BD 平面ACE . ………………8分
而⊂CG 平面BDE ，所以CG BD ⊥. 又OE BD O = ，所以⊥CG 平面BDE . ……………………………………10分
又CE AB 2=
，所以=
CO ,2
2
CE AB = 所以G 为EO 中点，所以1
.2
EG EO = ………………………………………… 12分 (方法二)
如图，取EO 中点G ，连CG
.在四棱锥A B C D E -中
，
,
2
AB CO AB CE
===，所以EO
CG⊥. ……………………………6分又由⊥
EC底面ABCD，⊥
BD底面ABCD，所以BD
EC⊥，
由ABCD是正方形可知,BD
AC⊥，
又C
EC
AC=
,AC,⊂
EC平面ACE，
所以⊥
BD平面ACE，…………………………………………8分而⊂
BD平面BDE，
所以，平面⊥
ACE平面BDE，且平面
ACE平面=
BDE EO，
因为EO
CG⊥，⊂
CG平面ACE，所以⊥
CG平面BDE, ………………… 10分故在线段EO上存在点G，使⊥
CG平面BDE.
由G为EO中点，得
1
.
2
EG
EO
=…………………………… 12分
19. 解：（1）记成绩为87分的同学为,A B，其他不低于80分的同学为C、D、E，“从甲班数
学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有：(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(B,C)(B,D)(B,E)(C,D)(C,E)(D,E)共10个，………2分“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有：
(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(B,C)(B,D)(B,E)一共7个, …………………4分
所以P=
10
7
. …………………5分
（2）
…………………………………………7分
=
2
χ
20
20
20
20
)
14
14
6
6(
402
⨯
⨯
⨯
⨯
-
⨯
⨯
=024
.5
＞
4.6……………………………………10分
因此，我们有97.5％的把握认为成绩优秀与教学方式有关. …………………12分20. 解：（1）由题设知()
1
()=ln g x=ln+
f x x x
x
，，定义域).
,0(+∞
所以
2
1
)
('
x
x
x
g
-
+，令0
)
('=
x
g得1
=
x，…………………1分当∈
x(0,1）时，0
＜
)
('x
g，故(0,1）是)
(x
g的单调递减区间.
当∈
x(1,+∞）时，0
＞
)
('x
g，故(1,+∞）是)
(x
g的单调递增区间.
所以()()g =g 1=x 最小值 1. …………………3分 （2）1()ln g x x x
=-+.
设11
()()()2ln h x g x g x x x x =-=-+，则22
(1)()0x h x x
-'=-≤， 因此，()h x 在()0,+∞内单调递减. …………………4分 又(1)0h =，
当1x =时，(1)0h =，即1
()().g x g x
= …………………5分 当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()().g x g x
> ……………6分 当x>1,()(1)0h x h <=时，1()()g x g x
<即. …………………7分 （3）由（2）知()h x 在1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()h x 在1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上的最小值为
(1)0h =， ………………………………………………………………9分
又对任意1,1x e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使()()h x m f a >-成立,
则()()=(1)0m f a h x h -<=最小值. 即()m f a <. ……………………………10分 又存在[]1,a e ∈使()m f a <成立，
又()=ln f x x 是增函数，所以最大值)(m ＜a f =()1f e =.
所以1m <. …………………………12分
21. 解：（1）两圆的圆心坐标分别为1(0,1),C 和2(0,1)C -， ………………………1 分
设动点P 的坐标为(,)x y ,则直线12,PC PC 的斜率分别为
1(0)y x x -≠和1
(0)y x x
+≠. …………………………………2分 由条件得x y x y 11+⋅-=)0(41≠-x ，化简得22
4
y x +=)0(1≠x , 所以22
4
y x +=)0(1≠x . ……………………4分（2）
（方法一）假设存在满足条件的直线l ，易知点(4,0)A 在椭圆M 的外部， ①当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆M 无交点，所在直线l 斜率存在.
②当直线l 的斜率为0时，直线l 与椭圆相交于长轴的两个端点D C ,，满足11||||C C C D =，此时直线方程为0y =. …………………………………5分 ③当直线l 的斜率存在且不为0时，设为k ，则直线l 的方程为(4)y k x =-,
由方程组2
21
4(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
,得2222(41)326440k x k x k +-+-=①,
依题意2
0,1120k ∆>->即,
解得k <<. ……………………………6分
当k <<0k ≠时，设交点1122(,),(,)C x y D x y ，CD 的中点为00(,)N x y ， 则2
120216241
x x k x k +==+， ∴20022164(4)44141k k
y k x k k k ⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭
. …………………………8分
若使以1C 为圆心的圆过C,D 点，即满足11||||C C C D =，即满足1C N l ⊥，即
11C N k k ⋅=-，∴2
22
4141116041
k
k k k
k --+⋅=--+，即241210k k -+=②，
∵1233
22
k k ==…………………………………10分
经检验2
k 不满足△＞０（舍）.
此时直线方程为3(4)2y x ⎛=-
⎝,
即(
32120x y ---+=. …………………………………………11分 综上，存在过点(4,0)A 的直线l 与轨迹M 交于不同的两点,C D ，且使得以1C 为圆心的圆过,C D 两点，直线方程为0y =
或(
32120x y ---+=. ………12分 （方法二）
①当过点(4,0)A 的直线为x 轴时，满足11||||C C C D =，此时直线l 的方程为0y =.…5分
②当过点(4,0)A 的直线不为x 轴时，设直线l 方程为：4x my =+， 由方程组2
2144x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，得()2248120m y my +++=，
依题意20120m ∆>->，即
，解得m >
m <-………………6分
当m >
或m <-()11,C x y ，()22,D x y （不妨令1y >2y ）,CD 中点为()00,N x y ，
12284m y y m -+=+，122124
y y m =+， 1202424y y m y m +-∴==+，004x my =+,02164x m ∴=+， 22164,44m N m m -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭
， 21221644,44m m C N m m ⎛⎫---∴= ⎪++⎝⎭
， ………………8分
12y y -==
()121212x x my my m y y ∴-=-=- 4
12422+-m m m . ()2121,CD x x y y =--, =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--+--4124,41242222m m m m m . 若使以1C 为圆心的圆过C,D 点，即满足11||||C C C D =，即满足1C N CD ⊥,………10分 ∴ 10C N CD ⋅= ,∴ 21240m m -
+=，解得16m
=-，26m =+（1m 不满足0∆>，∴1m
舍），此时直线方程为(640y x +-+= …11分
综上所述，存在过点(4,0)A 的直线l 与轨迹M 交于不同的两点,C D ，使得以1C 为圆心的圆过,
C D 两点，直线方程为(640y x +-+=或0y =. ………12分 （方法三）
①当过点(4,0)A 的直线l 为x 轴时，满足11||||C C C D =，此时直线l 的方程为0y =.…5分
②当过点(4,0)A 的直线l 垂直x 轴时，易知不满足11||||C C C D =.
③当过点(4,0)A 的直线l 不为x 轴，不垂直x 轴时设直线l 方程为：4x my =+， 过1C （0，1）且与直线l 垂直的直线方程设为：1y mx =-+，
设直线l 与直线1y mx =-+的交点为()00,N x y .
由方程组14y mx x my =-+⎧⎨=+⎩
，得02411m y m -+=+. 由方程组2
2144x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
， 得()2248120m y my +++=.
依题意2
0120m ∆>->，即
，解得m >
m <-………………6分
当m >
m <-()11,C x y ，()22,D x y . 12284
m y y m -+=+, 若使以1C 为圆心的圆过C,D 点，即满足11||||C C C D =，即N 为线段CD 的中点，…8分 1202y y y ∴+=，284m m -∴+=24121
m m -+⨯+，即21240m m -+=， ………10分
解得16m =-
，26m =+（1m 不满足0∆>，∴1m 舍），
此时直线方程为(640y x +-+= ………………………………11分 综上所述，存在过点(4,0)A 的直线l 与轨迹M 交于不同的两点,C D ，使得以1C 为圆心的圆过,C D
两点，直线方程为(640y x +-+=或0y =. ………12分
22.（1）证明：AB 为直径，,2π
=∠∴ACB 2CAB ABC π
∴∠+∠=，
,2PAC ABC PAC CAB π
∠=∠∴∠+∠=,
AB AB PA ,⊥∴为直径，PA ∴为圆的切线. ……………………………4分
（2）6,5,2,3CE k ED k AE m EB m ====,
,AE EB CE ED m ⋅=⋅∴=,
连DB,由AEC ∆∽DEB
∆3,,86BD m BD k
∴
=∴=……………………6分 连AD,由CEB ∆∽AED ∆,BC CE AD AE ∴=.在ABC Rt ∆，ADB Rt ∆中，
642522-=m BC ，80m 252
2-=AD ，于是有80m 2564m 2522--=59)3(2=m k ， 2=m ，10m 5==+=∴EB AE AB . ……………………………10分
23. 解：
（1）在以坐标原点为极点,以x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,
极坐标与直角坐标有关系:222
tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
或cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， ………………………1分 所以圆1C 的直角坐标方程为03422=++y y x ， …………………………………2分 联立曲线C:0422=-+x y x ，得
1100x y =⎧⎨=⎩
或223x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，
即不妨令(0,0),(3,A B ，从而直线AB 的直角坐标方程为
:3y x =-
， (此处如下解法也可:联立曲线1C 与C ,消去2x 与2y 项,
0x +=)，
所以sin cos ρθρθ=，
即tan θ= …………………………………………………………………4分 所以直线AB 的极坐标方程为6
πθ-=，R)(∈ρ. ………………………………5分 （2）（方法一）由(1)可知直线AB
的直角坐标方程为3
y x =-， …………………6分 依题令交点D 11(,)x y
则有1111212
x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又D 在直线AB
上，所以，
111)2t =
，解得1t = 由直线参数方程的定义知|CD|=|1t
|= …………………………………8分 同理令交点E 22(,)x y
，则有2222212x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
又E 在直线0x =
上，所以220+
=
，解得2t = 所以|CE|=|2t
|=
…………………………………………………………9分 所以|CD|:|CE|=12
. …………………………………………………………10分 （方法二）将曲线C 2
:212
x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 是参数)化为普通方程
:2)y x =-， ………6分 将其联立AB 的直线方程
:y x =，解得
:13x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩
从而
D (1,， 再将曲线C 2与直线0x =联立,
解得0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
,从而
E (0,3-， 这样
， ………………………………………8分
， …………………………………………9分 从而|CD|:|CE|=12
. ……………………………………………………10分 24.解: （1）由题()(1)f x f x +-12x x =-+-121x x ≥-+-=. 因此只须解不等式122x x -+-≤. ……………………………………………２分
当1x ≤时,原不式等价于232x -+≤,即
112
x ≤≤. 当12x <≤时,原不式等价于12≤,即12x <≤.
当2x >时,原不式等价于232x -≤,即522x <≤. 综上，原不等式的解集为15|22x x ⎧
⎫≤≤⎨⎬⎩⎭
. …………………………………………５分 （2）由题()()f ax af x -11ax a x =---.
当0＞a 时, ()()f ax af x -1ax ax a =---
1ax a ax =---1ax a ax ≤-+-1a =-()f a =. ………………10分。