1.实验8-1-捕鱼业的持续收获-——产量模型--实验7-2-种群的相互竞争(-1)

1.实验8-1-捕鱼业的持续收获-——产量模型--实验7-2-种群的相互竞争(-1)
D
河北大学《数学模型》实验实验报告
班级专业15计科2班姓名张宇轩学号20151101006
实验地点C1-229指导老师司建辉成绩
实验项目 1.实验8-1 捕鱼业的持续收获——产量模型
2.实验7-2 种群的相互竞争（ 1）
3.实验7-3 种群的相互竞争（ 2）
一、实验目的
学会利用MATLAB进行实验，学会使用符号表达式，熟练掌握用函数solve 求解代数方程组，复习在MATLAB中画图方法，合理使用函数text、axis、grid等。

二、实验要求
1.实验8-1 捕鱼业的持续收获——产量模型
运行下面的 m 文件，并把相应结果填空，即填入“ _________”。

clear;clc;
%无捕捞条件下单位时间的增长量： f(x)=rx(1-x/N)
%捕捞条件下单位时间的捕捞量： h(x)=Ex
%F(x)=f(x)-h(x)=rx(1-x/N)-Ex
%捕捞情况下渔场鱼量满足的方程： x'(t)=F(x)
%满足 F(x)=0 的点 x 为方程的平衡点
%求方程的平衡点
syms r x N E; %定义符号变量
Fx=r*x*(1-x/N)-E*x; %创建符号表达式
x=solve(Fx,x) %求解 F(x)=0（求根）
%得到两个平衡点，记为：
% x0=______________ , x1=___________
x0=x(2);
x1=x(1);%符号变量 x 的结构类型成为<2×1sym>
%求 F(x)的微分 F'(x)
syms x; %定义符号变量 x 的结构类型为<1×1sym>
dF=diff(Fx,'x');
dF=simple(dF) %简化符号表达式
%得 F'(x)=________________
%求 F'(x0)并简化
dFx0=subs(dF,x,x0); %将 x=x0 代入符号表达式 dF
dFx0=simple(dFx0)
%得 F’(x0)=_______
%求 F’(x1)
dFx1=subs(dF,x,x1)
%得 F’(x1)=________
fx2=diff(f,'x2');
gx1=diff(g,'x1');
gx2=diff(g,'x2');
A=[fx1,fx2;gx1,gx2]
syms x1 x2;
p=subs(-(fx1+gx2),{x1,x2},{P(:,1),P(:,2)});
p=simple(p);%简化符号表达式 p
q=subs(det(A),{x1,x2},{P(:,1),P(:,2)});
q=simple(q);
[P p q]
%得到教材 p225 表 1 的前 3 列，经测算可得该表的第 4 列，即稳定条件。

2.实验7-3 种群的相互竞争（ 2）
求微分方程组
的数值解，分别画出教材 p227 中的图 2(a)、 (b、 (c)。

有关数据参见教材 p227 中“计算与验证”。

[提示]
（ 1）求微分方程组的数值解可参考教材 p140 的程序。

（ 2）在 figure(1)中画图 2(a)，在 figure(2)中画图 2(b)，在 figure(3)中
画图 2(c)。

在程序中， figure(图形编号)用于定位对应图形。

（ 3）使用 text(x,y,’标识文本’)，坐标点(x,y)在“标识文本”的左边，调整(x,y) 值，使“标识文本”放在图中的适当位置。

（ 4）用 axis([xmin xmax ymin ymax])控制坐标的刻度范围。

（ 5）用 grid on 打开网格， grid off 关闭网格。

（ 6）用 hold on 把要画的图形保持在之前在同一 figure 上所画的图形中（同一坐
标系）。

（ 7）图 2(c)中的两“点线”直线，一条的两个端点为(0,1)和(1,0)，另一条的两
个端点为(0,2)和(1.6,0)。

三、实验内容
1．实验8-1 捕鱼业的持续收获——产量模型
syms r x N E;
Fx=r*x*(1-x/N)-E*x;
x=solve(Fx,x)
x0=x(2);
x1=x(1);
syms x;
dF=diff(Fx,'x');
dF=simple(dF)
dFx0=subs(dF,x,x0);
dFx0=simple(dFx0)
dFx1=subs(dF,x,x1)
syms r x N
fx=r*x*(1-x/N);
df=diff(fx,'x');
x0=solve(df,x)
hm=subs(fx,x,x0)
2．实验7-2 种群的相互竞争（ 1）
syms r1 r2 x1 x2 N1 N2 k1 k2;
>> F=r1*x1*(1-x1/N1-k1*x2/N2);
>> G=r2*x2*(1-k2*x1/N1-x2/N2);
>> [x1,x2]= solve(F,G)
>> P=[x1([2,4,1,3]),x2([2,4,1,2])];
>> fx1=diff(F,'x1');
fx2=diff(F,'x2');
gx1=diff(G,'x1');
gx2=diff(G,'x2');
A=[fx1,fx2;gx1,gx2];
>> syms x1 x2;
p=subs(-(fx1+gx2),{x1,x2},{P(:,1),P(:,2)});
>> p=simple(p);
>> q=subs(det(A),{x1,x2},{P(:,1),P(:,2)});
>> q=simple(q);
>> [P p q]
3.实验7-3 种群的相互竞争（ 2）
M文件中：
function y=fun(t,x)
r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;
y=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)];
>> ts=0:0.1:15;
x0=[25,2];
[t,x]=ode45('fun',ts,x0);
>> [t,x]
>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'),pause, >> plot(x(:,1),x(:,2)),grid
>> [t,x]=ode45('fun',ts,x0);
四、实验结果及其分析
1．实验8-1 捕鱼业的持续收获——产量模型
x =
-N*(-r+E)/r
dF =
r-2*r*x/N-E
dFx0 =
-r+E
dFx1 =
r-E
x0 =
1/2*N
E=r/2
分析：将捕捞率控制在固有增长率的一半（E=r/2）时，能够获得最大的持续产量。

2．实验7-2 种群的相互竞争（ 1）
x1 =
N1
N1*(-1+k1)/(-1+k2*k1)
x2 =
N2
N2*(-1+k2)/(-1+k2*k1)
A =
[ r1*(1-x1/N1-k1*x2/N2)-r1*x1/N1, -r1*x1*k1/N2] [ -r2*x2*k2/N1, r2*(1-k2*x1/N1-x2/N2)-r2*x2/N2]
3．实验7-3 种群的相互竞争（ 2）
ans =
0 25.0000 2.0000 0.1000 27.0818 2.0041 0.2000 29.3344 2.0170 0.3000 31.7689 2.0394 0.4000 34.3961 2.0726 0.5000 37.2258 2.1178 0.6000 40.2673 2.1767 0.7000 43.5012 2.2534 0.8000 46.9360 2.3503
0.9000 50.6072 2.4683
1.0000 54.5301
2.6106 1.1000 58.6999 2.7819 1.2000 6
3.0917 2.9891 1.3000 67.6604 3.2411 1.4000 72.3409 3.5484 1.5000 77.0479 3.9238 1.6000 81.6759
4.3819 1.7000 86.0996 4.9391 1.8000 90.1732
5.6140
1.9000 93.7311 6.4268
2.0000 96.5873 7.4000
2.1000 98.5360 8.5577 2.2000 99.3055 9.9234 2.3000 98.6143 11.5085 2.4000 96.2851 1
3.3067 2.5000 92.2472 15.2882 2.6000 86.5853 17.3947 2.7000 79.5349 19.5427 2.8000 71.5364 21.6225
2.9000 6
3.0848 23.5300
3.0000 5
4.6236 2
5.1819 3.1000 4
6.5441 26.5163 3.2000 39.1860 2
7.4921 3.3000 32.7932 2
8.0978 3.4000 27.3368 28.3766 3.5000 22.7375 28.3764 3.6000 18.9134 28.1426 3.7000 15.7771 27.7178 3.8000 13.2354 27.1426
3.9000 11.1873 26.4556
4.0000 9.5278 2
5.6911 4.1000 8.1758 24.8740 4.2000 7.0684 24.0245
4.4000
5.4185 22.2853 4.5000 4.8129 21.4162 4.6000 4.3124 20.5582 4.7000 3.8967 19.7164 4.8000 3.5500 18.8948
4.9000 3.2601 18.0961
5.0000 3.0181 17.3219 5.1000 2.8154 1
6.5735 5.2000 2.6460 15.8515 5.3000 2.5047 15.1562 5.4000 2.3872 14.4875 5.5000 2.2898 13.8454 5.6000 2.2099 13.2295 5.7000 2.1455 12.6393 5.8000 2.0953 12.0740
5.9000 2.0578 11.5330
6.0000 2.0317 11.0154 6.1000 2.0162 10.5207 6.2000 2.0106 10.0479 6.3000 2.0143 9.5964 6.4000 2.0270 9.1653
6.6000 2.0781 8.3614 6.7000 2.1164
7.9870 6.8000 2.1632 7.6300
6.9000 2.2188
7.2897
7.0000 2.2833 6.9654 7.1000 2.3573 6.6565 7.2000 2.4410 6.3622 7.3000 2.5351 6.0821 7.4000 2.6401 5.8155 7.5000 2.7566 5.5618 7.6000 2.8855 5.3204 7.7000 3.0276 5.0910 7.8000 3.1837 4.8729
7.9000 3.3549 4.6656
8.0000 3.5424 4.4688 8.1000 3.7478 4.2819 8.2000 3.9723 4.1046 8.3000 4.2174 3.9365 8.4000 4.4847 3.7773 8.5000 4.7761 3.6265 8.6000 5.0937 3.4838
8.7000 5.4398 3.3490 8.8000 5.8171 3.2217
8.9000 6.2283 3.1017
9.0000 6.6766 2.9888 9.1000 7.1653 2.8826 9.2000 7.6978 2.7831 9.3000 8.2781 2.6900 9.4000 8.9100 2.6032 9.5000 9.5980 2.5225 9.6000 10.3468 2.4479 9.7000 11.1620 2.3794 9.8000 12.0494 2.3166
9.9000 13.0153 2.2596
10.0000 14.0665 2.2084 10.1000 15.2102 2.1629 10.2000 16.4541 2.1233 10.3000 17.8063 2.0898 10.4000 19.2755 2.0627 10.5000 20.8708 2.0422 10.6000 22.6016 2.0287 10.7000 24.4779 2.0228 10.8000 26.5102 2.0249
11.0000 31.0844 2.0558 11.1000 33.6416 2.0875 11.2000 36.3982 2.1308 11.3000 39.3680 2.1869 11.4000 42.5598 2.2573 11.5000 45.9776 2.3447 11.6000 49.6205 2.4525 11.7000 53.4829 2.5849 11.8000 57.5539 2.7468
11.9000 61.8180 2.9441
12.0000 66.2549 3.1834 12.1000 70.8428 3.4692 12.2000 75.5222 3.8129 12.3000 80.1900 4.2348 12.4000 84.7213 4.7545 12.5000 88.9686 5.3918 12.6000 92.7622 6.1658 12.7000 95.9102 7.0955 12.8000 98.1986 8.1995
12.9000 99.3910 9.4962
13.0000 99.2287 11.0036
13.2000 93.8972 14.6791 13.3000 88.6885 16.7638 13.4000 82.0129 18.9151 13.5000 74.2204 21.0377 13.6000 65.7971 23.0201 13.7000 57.2540 24.7617 13.8000 49.0238 26.1948
13.9000 41.4342 27.2791
14.0000 34.7062 28.0016 14.1000 28.9351 28.3802 14.2000 24.0660 28.4610 14.3000 20.0105 28.2919 14.4000 16.6759 27.9181 14.5000 13.9650 27.3821 14.6000 11.7742 26.7239 14.7000 9.9982 25.9788 14.8000 8.5540 25.1736
14.9000 7.3762 24.3300
15.0000 6.4158 23.4645
分析：x(t) 的“相位”领先。

可以猜测x(t)、y(t)是周期函数，与此相应地，相轨线y(x)是封闭曲线，从数值解近似地定出周期10.7，x的最大、最小值分别为99.3和2.0，y的最
大、最小值分别为28.4和2.0，并且用数值积分容易算出x(t)、y(t)在一个周期的x的平均值为25，y的平均值为10.。