重庆市南开中学高三数学上学期10月月考试卷 文(含解析)

重庆市南开中学2015届高三上学期10月月考数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知A、B为两个集合，若命题p：∀x∈A，都有2x∈B，则( )
A．￢p：∃x∈A，使得2x∈B B．￢p：∃x∉A，使得2x∈B
C．￢p：∃x∈A，使得2x∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B
考点：命题的否定．
专题：简易逻辑．
分析：根据全称命题的否定是特称命题，写出它的否定命题即可．
解答：解：∵A、B为两个集合，命题p：∀x∈A，都有2x∈B；
∴￢p：∃x∈A，使得2x∉B．
故选：C．
点评：本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据全称命题的否定是特称命题，直接写出它的否定命题，是基础题．
2．已知向量，，则与( )
A．垂直B．不垂直也不平行
C．平行且同向D．平行且反向
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题：计算题．
分析：根据向量平行垂直坐标公式运算即得．
解答：解：∵向量，，得，
∴⊥，
故选A．
点评：本题单纯的考两个向量的位置关系，且是坐标考查，直接考垂直或平行公式．
3．设集合M={x|x2﹣x﹣2＜0}，N={y|y=2x，x∈M}，则∁R（M∩N）集合( ) A．（﹣2，4）B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪∪
解答：解：由a2a4=a32=1，得a3=1，
所以S3==7，
又q＞0，解得=2，即q=．
所以a1==4，
所以=．
故选B．
点评：本题考查等比中项的性质、等比数列的通项公式及前n项和公式．
5．对于平面α、β、γ和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是( )
A．若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b B．若a∥b，b⊂α，则a∥α
C．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αD．若α⊥β，a⊂α，则a⊥β
考点：空间中直线与直线之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由面面平行的性质定理可判断A；由线面平行的判定定理可判断B；由线面垂直的判定定理可判断C；由面面垂直的性质定理可判断D．
解答：解：若α∥β，α∩γ=α，β∩γ=b，则由面面平行的性质定理可得：a∥b，故A 正确；
若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，故B错误；
若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则m，n相交时a⊥α，否则a⊥α不一定成立，故C错误；若α⊥β，a⊂α，则a与β可能平行，可能垂直，也可能线在面内，故D错误；
故选：A
点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定理，性质定理和几何特征，是解答的关键．
6．若实数x，y满足约束条件，则函数z=|x+y+1|的最小值是( ) A．0 B．4 C．D．
考点：简单线性规划的应用；简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线x+y+1=0时，z最小值即可．
解答：解：作出可行域如图，
由，可得A，
由，可得B（0，），
由，可得C（0，﹣5）．
A、B．C坐标代入z=|x+y+1|，分别为：；，4，
又z=|x+y+1|≥0，当x=0，y=﹣1时，z取得最小值0．z=|x+y+1|取可行域内的红线段MN时x+y+1=0．z都取得最小值0．
故选A．
点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．
7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )
A．B．C．D．
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．
解答：解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，
又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，
∴几何体的体积V=××π×22×4=．
故选：D．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．
8．将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，再将图象上横坐标伸长为原来的2倍后得到y=g（x）图象，若在x∈=sin（2x+）的图象；
再将图象上横坐标伸长为原来的2倍后得到y=g（x）=sin（x+）图象．
由x+=kπ+，k∈z，求得g（x）的图象的对称轴方程为x=kπ+．
若x∈
∴f′（lnx）＞f（lnx）．
∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增．
∴h（1）＜h（2）＜h（e）＜h（3），
又∵h（1）=，
∴0＜b＜a；
而c=﹣ef（1）=﹣e•=﹣e2h（e）＜0，a＞b＞c．
故选：A．
点评：如何构造新的函数，要结合题中所给的a，b的结构形式，利用单调性比较大小，是常见的题目．本题属于中档题．
10．已知函数．若对任意的实数x1，x2，x3，不等式f（x1）+f（x2）＞f（x3）恒成立，则实数k的取值范围是( )
A．0＜k≤3B．1≤k≤4C．D．
考点：函数恒成立问题．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据分数函数的特点，将函数进行化简，结合反比例函数的单调性，分类讨论函数的单调性，并分析出函数的值域，构造关于k的不等式，求出各种情况下实数k的取值范围，最后综合讨论结果，可得实数k的取值范围．
解答：解：=，
令2x+2﹣x=t，则t≥2，
则函数等价为g（t）=，（t≥2），
则原题等价为对于t≥2，
min≥max恒成立，
①当k=1时，显然成立；
②当k＜1时，，
由2（）≥1，得﹣；
③当k＞1时，1＜f（t），
由2×1，得1＜k≤4，
综上；实数k的取值范围是．
故选：D．
点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，指数函数的性质，反比例函数的图象和性质，其中利用换元思想及基本不等式将函数进行转化是解答的关键．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）
11．复数z=对应的复平面上的点在第四象限．
考点：复数的代数表示法及其几何意义．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．
解答：解：z==，
∴复数z=对应的复平面上的点的坐标为（2，﹣1），
位于第四象限．
故答案为：四．
点评：本题考查了复数的代数表示法与其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．
12．则f（f（2））的值为2．
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．
专题：计算题．
分析：本题是一个分段函数，且是一个复合函数求值型的，故求解本题应先求内层的f（2），再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值，求解过程中应注意自变量的范围选择相应的解析式求值．
解答：解：由题意，自变量为2，
故内层函数f（2）=log3（22﹣1）=1＜2，
故有f（1）=2×e1﹣1=2，
即f（f（2））=f（1）=2×e1﹣1=2，
故答案为 2
点评：本题的考点分段函数，考查复合函数求值，由于对应法则是分段型的，故求解时应根据自变量的范围选择合适的解析式，此是分段函数求值的特点．
13．设x，y为正数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则
的最小值是
4．
考点：等差数列与等比数列的综合．
专题：计算题；转化思想．
分析：先利用条件得到a1+a2=x+y和b1b2=xy，再对所求都转化为用x，y表示后，在用基本不等式可得结论．
解答：解：由等差数列的性质知a1+a2=x+y；
由等比数列的性质知b1b2=xy，
所以，
当且仅当x=y时取等号．
故答案为：4．
点评：本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查归化与转化思想．
14．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若a=3，b=，且2acosA=bcosC+ccosB，则边c的长为2．
考点：三角函数中的恒等变换应用．
专题：解三角形．
分析：首先，根据正弦定理，化简2acosA=bcosC+ccosB，得到2sinAcosA=sin（B+C），然后，根据三角形的性质得到A的值，然后，再借助于正弦定理，得到B=，从而得到C=，最
后，利用勾股定理求解其值．
解答：解：根据正弦定理，
设，
∴a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC，
∵2acosA=bcosC+ccosB，
∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB
∴2sinAcosA=sin（B+C），
∵A+B+C=π，
∴B+C=π﹣A，
∴2sinAcosA=sinA，
∵sinA≠0，
∴cosA=，∴A=，
∴sinA=，
根据正弦定理，得
，
∴sinB==，
∴B=，
∴C=，
∴c=．
故答案为：2．
点评：本题重点考查了正弦定理及其应用、三角恒等变换公式等知识，属于中档题，准确把握正弦定理的变形公式是解题的关键．
15．如图，已知边长为1的正方形ABCD位于第一象限，且顶点A、D分别在x，y的正半轴上（含原点）滑动，则•的最大值是2．
考点：二倍角的正弦；平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：令∠OAD=θ，由边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．
解答：解：如图令∠OAD=θ，由于AD=1故0A=cosθ，OD=sinθ，
如图∠BAX=﹣θ，AB=1，故x B=cosθ+cos（﹣θ）=cosθ+sinθ，y B=sin（﹣θ）=cosθ故=（cosθ+sinθ，cosθ）
同理可求得C（sinθ，cosθ+sinθ），即=（sinθ，cosθ+sinθ），
∴•=（cosθ+sinθ，cosθ）•（sinθ，cosθ+sinθ）=1+sin2θ，
∴•的最大值是2．
故答案为 2．
点评：本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标．
三、解答题（共6小题，满分75分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．某公司有男职员45名，女职员15名，按照分层抽样的方法组建了一个4人的科研攻关小组．
（1）科研攻关小组中男、女职员的人数；
（2）经过一个月的学习、讨论，这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验，方法是先从小组里选出1名职员做实验，该职员做完后，再从小组内剩下的职员中选一名做实验，求选出的两名职员中恰有一名女职员的概率．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）某同学被抽到的概率是抽取人数与总人数的比值；根据分层抽样，男同学抽取的人数与抽取人数的比值和男同学的人数与总人数的比值相等，可以求出抽取的男同学的人数，进而可以求出抽取的女同学的人数；
（Ⅱ）先列出总的基本事件，然后找出“选出的两名同学中恰有一名女同学”的基本事件的个数，根据古典概型公式求出概率．
解答：解：（Ⅰ）P===，
∴某同学被抽到的概率为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
设有x名男同学，则，
∴x=1
∴女同学的人数是1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）把3名男同学和1名女同学记为a1，a2，a3，b，
则选取两名同学的基本事件有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b），
（a2，a1），（a2，a3），（a2，b），
（a3，a1），（a3，a2），（a3，b），
（b，a1），（b，a2），（b，a3）共12种，
其中有一名女同学的有6种﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
点评：本题考查了分层抽样及古典概型，解决本题的关键是列举基本事件时要按照一定的顺序，不能重也不能漏．
17．已知递增等比数列{a n}首项a1=2，S n为其前n项和，且S1，2S2，3S3成等比数列．
（1）求的{a n}通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）利用S1，2S2，3S3成等差数列，确定数列的公比，即可求得数列的通项．
（2）b n===32n﹣3，由此利用等比数列求和公式能求出数列{b n}
的前n项和T n．
解答：解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，
∵S1，2S2，3S3成等差数列，
∴4S2=S1+3S3，
∵a1=2，
∴4（2+2q）=2+6（1+q+q2），即3q2﹣q=0，
解得q=0（舍去）或q=．
∴a n=2•（）n﹣1．
（2）∵b n===32n﹣3，
∴T n=3﹣1+3+33+35+…+32n﹣3
=
=．
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，属于中档题．
18．如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且E，F，G，H分别是线段PA、PD、CD、BC的中点．
（1）求证：BC∥平面EFG；
（2）DH⊥平面AEG．
考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
专题：证明题；空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）利用平行公理证明BC∥EF，再利用线面平行的判定，证明BC∥平面EFG；
（Ⅱ）利用PA⊥平面ABCD，证明AE⊥DH，利用△ADG≌△DCH，证明DH⊥AG，从而可证DH⊥平面AEG．
解答：证明：（Ⅰ）∵BC∥AD，AD∥EF，∴BC∥EF，
∵BC⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，
∴BC∥平面EFG；
（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，DH⊂平面ABCD，
∴PA⊥DH，即AE⊥DH．
∵△ADG≌△DCH，∴∠HDC=∠DAG，∠AGD+∠DAG=90°
∴∠AGD+∠HDC=90°
∴DH⊥AG
又∵AE∩AG=A，
∴DH⊥平面AEG．
点评：本题考查线面平行，线面垂直，解题的关键是正确运用线面平行、线面垂直的判定，属于中档题．
19．设函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ﹣sinx（0＜φ＜π）在x=π处取最小值．（1）求φ的值；
（2）若实数α满足f（α）+f（﹣α）=，α∈（，π），试求的值．
考点：三角函数中的恒等变换应用．
专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析：（1）首先，化简函数解析式，得到f（x）=sin（x+φ），然后，根据函数f（x）在x=π处取最小值，确定φ=；
（2）根据（1），得到f（x）=cosx，然后，根据f（α）+f（﹣α）=，得到sinα+cosα=，从而得到sinα﹣cosα=，最后，化简=﹣2sinα，从而确定其值．
解答：解：（1）∵f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ﹣sinx，
∴f（x）=2sinx•+cosxsinφ﹣sinx
=sinx+sinxcosφ+cosxsinφ﹣sinx
=sin（x+φ），
∴f（x）=sin（x+φ），
∵函数f（x）在x=π处取最小值．
且0＜φ＜π，
∴φ=．
（2）根据（1）得
f（x）=sin（x+）=cosx，
∴f（α）+f（﹣α）
=cosα+cos（）=，
∴sinα+cosα=，
∵
=
=
=﹣2sinα
∵sinα+cosα=，且α∈（，π），
∴sinα﹣cosα=，
∴sinα=，
∴的值为﹣．
点评：本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角公式等知识，属于中档题．
20．如图，底面ABCD为菱形的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，所有棱长都为2，∠BAD=60°，E为BB1的延长线上一点，D1E⊥面D1AC．
（1）求线段B 1E的长度及三棱锥E﹣D1AC的体积V；
（2）设AC和BD交于点O，在线段D1E上是否存在一点P，使EO∥面A1C1P？若存在，求D1P：PE的值；若不存在，说明理由．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．由题意可得A，C（0，2，0），D1（0，0，2），
B，．设E，利用线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系可得E，
再利用三棱锥E﹣D1AC的体积V=即可得出．
（2）假设在线段D1E上存在一点P，使EO∥面A1C1P．连接A1C1、B1D1，相交于点O1，连接O1P，则O1P∥OE．另一方面．利用向量共线定理即可得出．
解答：解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系．
由题意可得A，C（0，2，0），D1（0，0，2），
B，．
设E，
=，=，
=（0，2，﹣2）．
∵D1E⊥面D1AC，∴，解得z=3．
∴E．
∴|B1E|=2．
∵|D1A|==|D1C|，|AC|=2，
∴==，
∵|D1E|==．
∴三棱锥E﹣D 1AC的体积V===．
（2）假设在线段D1E上存在一点P，使EO∥面A1C1P．
连接A1C1、B1D1，相交于点O1，连接O1P，则O1P∥OE．
O，O1，
∴=，
∴，
另一方面，
∴，
解得x=，y=，z=，，μ=．
∴．
∴，
∴．
点评：本题考查了建立空间直角坐标系解决线面垂直、向量共线、三棱锥的体积等基础知识与基本技能方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．设函数f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx（a∈R）．
（1）若a=，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a为整数，且函数的y=f（x）图象与x轴交于不同的两点，试求a的值．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）a=代入函数解析式，求出导函数，得到函数在x=1时的导数，求出f（1）的值，
然后利用直线方程的点斜式得答案；
（2）把函数的y=f（x）图象与x轴交于不同的两点转化为其最大值大于0，然后利用导数求其最大值，解关于a的不等式得答案．
解答：解：（1）a=，则f（x）=x2+x+lnx，
．
．
又f（1）=．
∴f（x）在点（1，f（x））处的切线方程为．
即30x﹣5y﹣7=0；
（2）由f（x）=2ax2+（a+4）x+lnx（a∈R）．
得x＞0，
．
当a≥0时，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上为增函数；
当a＜0时，可知x时f′（x）＞0，x时，f′（x）＜0．∴x时，f（x）为增函数，x时，f（x）为减函数．
故当x=﹣时函数有极大值，也是最大值．
由f（﹣）==＞0，得．
由a为整数，
验证a=﹣1时，，，满足．
当a＜﹣1时，，，不满足．
∴a的值为﹣1．
点评：本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．。