广东省广州市2017_2018学年高二数学上学期10月段考试题201711110111

广东省广州市 2017-2018学年高二数学上学期 10月段考试题
一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。

1.若集合 M
x ln x 1, N
1, 2,3
，则 M N ( ) A ．1 B ．1,
2 C ．2,
3
D ．
1,
2,3
2. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是( )
A ． y x 3
B ． y 2x
C ． y
x D ． y
sin 2x
1
x 3. 在“某中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的
茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和 方差分别为（ ） A ．5和1.6 B ．85和1.6 C. 85和 0.4 D ．5和 0.4
4.在正方体 ABCD A B C D 中， E 是线段 BC 上的动点， F 是线段CD 上的动点,且 E ,F 不
1 1 1 1
1
重合，则直线 AB 与直线 EF 的位置关系是( )
1
A ．相交且垂直
B ．共面
C ．平行
D ．异面且垂直
x y 1
0,
5.若 x , y 满足约束条件
则
的最大值是( ) x 2y 0,
z
x y
x 2y 2 0,
1 A ． 3 B ． C ．1
D ．
2
3
2
6.在如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成
一个边长为 的大正方形，若直角三角形中较小的锐角 ，现在向该大正方形区域内
随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是 （A ）
（B ）
（D ）
7. 过点 A a
,0
a
0，且倾斜角为30 的直线与圆 O : x
y
r
r
B AB
3
OAB
2
2
2
相切于点 ，且 ，则
的面积是
( ) 1
3 A ．
B ．
C ． 1
D ．2
2
2
9. 执行如图所示的程序框图，输出的S的值是( )
1
1 1 A ．
B ．0
C. D ． 2
2
3 2
10．小明在“欧洲七日游”的游玩中对某著名建筑物的景观记忆犹新，现绘制该建筑物的三视 图如图所示，若网格纸上小正方形的边长为 ，则小明绘制的建筑物的体积为
（A ） （B ）
（C ） （D ） 11. 已知函数
（
，
）， ，
，若
的最小值为 ，且
的图象关 于点 对称，则函数 的单调递增区间是（ ）
A. ，
B. ，
C.
，
D.
，
2x a
a ln x , x
12.若函数
为奇函数，
，则
f (x )
g (x )
2 1 e , x
x
ax
不等式 g (x ) 1的解集为（ ） 1 A ． (
,0) (0, ) B ．
C. D ．
(e ,
)
(,0) (0,e )
(
, 1)
e
e 二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）
13. 要考察某公司生产的 500克袋装牛奶的质量是否达标，现从 400袋牛奶中抽取 5袋进行检
验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行。

第一步，先将 400袋牛奶编号，可以编为 000，001， (399)
第二步，在随机数表中任选一个数，如从下表第 1行第 4列开始选数，由左往右，这样选取 的 5个样本的编号是 。

16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 33 21 12 34 29 14. 已知函数
，若
，则
__________．
15. 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积 为 ． 16. 已知等差数列 的公差 ，且 ， ， 成等比数列，若 ， 为数列
的前 项和，则
的最小值为__________．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分 10分）
2
18．某中学在高二年级开设大学选修课程《线性代数》，共有名同学选修，其中男同学
名，女同学名．为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽
取人进行考核．(12分)
（1）求抽取的人中男、女同学的人数；
（2）考核前，评估小组打算从选出的人中随机选出名同学进行访谈，求选出的两名同学
中恰有一名女同学的概率；
（3）考核分答辩和笔试两项．位同学的笔试成绩分别为，，，，；结合
答辩情况，他们的考核成绩分别为，，，，．这位同学笔试成绩与考
核成绩的方差分别记为，，试比较与的大小．（只需写出结论）
19．（12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分
析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：
日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日
温差x(C) 10 11 13 12 8
发芽数y
23 25 30 26 16
（颗）
该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
（1）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4的数据，求y
^
关于x的线性回归方程；
y^b x a
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到
的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？
n n
x y n x y(x x)(y y)
i i i i
^ 1 1
b
i i
a^ y bx
（注：，）
n n
2
x n x(x x)
2
2 i
i
i 1 i 1
20、（12分）已知圆C的圆心在直线x+y=3上，且点B（2,3）和D（0，5）在圆C上，
直线l过点A1，0且与圆C相交于P,Q两点，点M是线段PQ的中点.
（1）求圆C的方程；
（2）若AM AC9，求直线l的方程.
3
21、（12分）已知函数f(x) x x a2x
（1）若函数f(x) 在R上是增函数，求实数a的取值范围。

1
（2）若对任意的x[1,2]时，函数f(x) 的图象恒在函数g(x) x2 2x 2 图象的下方，
2
求实数a的取值范围。

22、（12分）已知函数y=f（x），若在定义域内存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0）成立，则称
x0为函数f（x）的局部对称点．
（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；
（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，求实数b的取值范围；
（3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．
广州市培正中学2017-2018学年高二年级第一次段考数学试题
答题卷
一、选择题（共60分）：请将答案涂在答题卡上
二、填空题(共20分)
13. ____________________________________ 14._____________；
15．___________ 16. _____________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本题满分10分）
18.（本题满分12分）
19.（本题满分12分）20．（本题满分12分）
21．(本题满分12分)
22.（本题满分12分）
2017-2018学年高二年级第一次段考数学试题
答案
1-5BABDC 6-10ABDCC 11-12BA
7 20
13、277，354，378，217，157．14。

2 15、a2 16
3 3
17. (1)因为(2a c) cos B b cos C 0 由正弦定理得(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0
所以2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0,
因为A+B+C=π,所以2sinAcosB+sinA=0,
1 2
因为sinA≠0,所以cosB=
,因为0<B<π,所以B=
2 3
2
(2)将b 13 ,a c 4,B=
代入b2=a2+c2-2accosB,
3
1
即b2=(a+c)2-2ac-2accosB,所以13=16-2ac（△ABC=
1）,可得ac=3,于是,S
2
3 3
acsinB= .
4
18. （1）抽取的人中男同学的人数为，……2分
1
2
女同学的人数为．……4分
（2）记名男同学为，名女同学为．从人中随机选出名同学，
所有可能的结果有，，，，，，，，，，共个．……6分
用表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则中的结果有个，它们是，，，，，．……8分
所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率．……10分
（3）．……12分
1 1
11 13 12 12
19．解：（1）由数据，求得，，．
x
y
2530 2627 3x y
972
3 3
3 3
2
x y 11251330 1226 977 x
2
2 2 2 3x 432
，，，
11 13 12
434 i i i
i 1 i 1
3
^ 1 ^
b
i a^ y b x 3
由公式求得，
3 2 43
4 432 2
x3x
2
i
i 1
^ 5
∴y关于x的线性回归方程为y x3．
2
（2）当x10 时，^ 5 10 3 22,| 22 23| 2
y
2
当x8时，^ 5 8 3 17,|17 16 | 2
y
2
∴（1）中所得的线性回归方程是可靠的．
9
22【解答】解：（1）由f（x）=ax2+x﹣a得f（﹣x）=ax2﹣x﹣a，
代入f（﹣x）=﹣f（x）得ax2+x﹣a+ax2﹣x﹣a=0
得到关于x的方程ax2﹣a=0（a≠0），
其中△=4a2，由于a∈R且a≠0，所以△＞0恒成立，
所以函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；
（2）f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，
∴方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1，2]上有解，于是﹣2b=2x+2﹣x，
设t=2x，≤t≤4，
∴﹣2b=t+，其中2≤t+ ≤，
所以﹣≤b≤﹣1
（3）∵f（﹣x）=4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3，
由f（﹣x）=﹣f（x），∴4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m•2x+1+m2﹣3），于是4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，
令t=2x+2﹣x（t≥2），则4x+4﹣x=t2﹣2，
∴方程（*）变为t2﹣2mt+2m2﹣8=0在区间[2，+∞）内有解，需满足条件：
即，
化简得1﹣≤m≤2
某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：
初一年级初二年级初三年级
女生373 x y
男生377 370 z 已知在全校学生中随机抽取
1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3）已知y245,z245,求初三年级中女生比男生多的概率.
20. 已知圆经过、，圆心在直线上，过点，且斜率为的直线交圆相交于、两点．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）（i）请问是否为定值．若是，请求出该定值，若不是，请说明理由；
（ii）若为坐标原点，且，求直线的方程．
【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）7; （ii）.
试题解析:（Ⅰ）设圆的方程为，
则依题意，得解得∴圆的方程为．
（Ⅱ）（i）为定值．
过点作直线与圆相切，切点为，则，
∴，∴为定值，且定值为7．
（ii）依题意可知，直线的方程为，
设，，将代入并整理得：
，
∴，，
∴，即，
解得，又当时，∴，所以直线的方程为．
20．已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[﹣1，1]时，不等式：f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的范围．
（3）设g（t）=f（2t+a），t∈[﹣1，1]，求g（t）的最大值．
【考点】二次函数在闭区间上的最值；二次函数的性质．
【分析】（1）设出二次函数的一般形式后，代入f（x+1）﹣f（x）=2x，化简后根据多项式相
等的条件求出a，b及c的值，即可确定出f（x）的解析式；
（2）不等式恒成立即为把不等式变为x2﹣3x+1＞m，令g（x）等于x2﹣3x+1，求出g（x）在
区间[﹣1，1]上的最大值，即可得到m的取值范围，求最大值的方法是：把g（x）配方成二
次函数的顶点形式，找出对称轴，经过判断发现对称轴在区间内，又二次函数的开口向上，所以得到g（x）的最小值为g（1），代入g（x）的解析式即可得到g（1）的值，让m小于等于g
（1）即可求出m的范围；
（3）把x=2t+a代入f（x）的解析式中即可表示出g（t）的函数关系式，由二次函数求对称轴的方法表示出g（t）的对称轴，根据对称轴大于等于0和小于0，分两种情况考虑，分别画
出相应的函数图象，根据函数的图象即可分别得到g（t）的最大值，并求出相应t的范围，联立即可得到g（t）最大值与t的分段函数解析式．
【解答】解：（1）令f（x）=ax2+bx+c（a≠0）代入f（x+1）﹣f（x）=2x，
得：a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）=2x，2ax+a+b=2x，即2a=2，a+b=0，
∴，
∴f（x）=x2﹣x+1；
（2）当x∈[﹣1，1]时，f（x）＞2x+m恒成立即：x2﹣3x+1＞m恒成立；
令，
x∈[﹣1，1]，
则对称轴：，
则g（x）min=g（1）=﹣1，
∴m＜﹣1；
（3）g（t）=f（2t+a）=4t2+（4a﹣2）t+a2﹣a+1，t∈[﹣1，1]
对称轴为：，
①当时，即：；如图1：
g（t）max=g（﹣1）=4﹣（4a﹣2）+a2﹣a+1=a2﹣5a+7
②当时，即：；如图2：
g（t）max=g（1）=4+（4a﹣2）+a2﹣a+1=a2+3a+3，
综上所述：．
12
（1）若a∈R且a≠0，证明：函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；
（2）若函数f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，求实数b的取值范围；
（3）若函数f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣3在R上有局部对称点，求实数m的取值范围．
【考点】函数的图象；函数的值．
【分析】（1）根据定义构造方程ax2+x﹣a=0，再利用判别式得到方程有解，问题得以解决．（2）根据定义构造方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1，2]上有解，再利用换元法，设t=2x，求出b 的范围，问题得以解决．
（3）根据定义构造方程4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，再利用换元法，设t=2x+2﹣x，方程变形为t2﹣2mt+2m2﹣8=0在区间[2，+∞）内有解，再根据判别式求
出m的范围即可
【解答】解：（1）由f（x）=ax2+x﹣a得f（﹣x）=ax2﹣x﹣a，
代入f（﹣x）=﹣f（x）得ax2+x﹣a+ax2﹣x﹣a=0
得到关于x的方程ax2﹣a=0（a≠0），
其中△=4a2，由于a∈R且a≠0，所以△＞0恒成立，
所以函数f（x）=ax2+x﹣a必有局部对称点；
（2）f（x）=2x+b在区间[﹣1，2]内有局部对称点，
∴方程2x+2﹣x+2b=0在区间[﹣1，2]上有解，于是﹣2b=2x+2﹣x，
设t=2x，≤t≤4，
∴﹣2b=t+，其中2≤t+ ≤，
所以﹣≤b≤﹣1
（3）∵f（﹣x）=4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3，
由f（﹣x）=﹣f（x），∴4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣3=﹣（4x﹣m•2x+1+m2﹣3），
于是4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0…（*）在R上有解，
令t=2x+2﹣x（t≥2），则4x+4﹣x=t2﹣2，
∴方程（*）变为t2﹣2mt+2m2﹣8=0在区间[2，+∞）内有解，需满足条件：
即，
化简得1﹣≤m≤2。