工程控制理论基础
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第三章 工程控制理论基础
3.1
引言
自动控制学科在工程实践中具有十分重要的意义，它的作用是：使系统按照一定的指标要求完
成规定的功能。比如，对于中央空调系统来说，其控制任务是，在一定的时间间隔内，将某一封闭 空间内的温度、湿度调节到某一状态值上，并维持在该状态值上；再比如象光电经纬仪这样的伺服 跟踪系统，它的控制任务是，使拍摄镜头按照规定的精度跟踪目标的变化。
利用 Laplace 变换的性质，可以将微分方程或积分方程转化为代数方程，如前文的微分方程：
y 6 y 5 y u 3u
利用性质 1、4，上述微分方程可以转化为：
s
2
6s 5 Y ( s ) s 3U ( s )
d () s dt 1 t dt s
来解决电路分析计算中经常遇到的微分方程或积分方程问题，比如对下面的微分方程：
y 6 y 5 y u 3u
采用算子方法可以简化成：
( s 5)(s 1) y ( s 3)u
图 3.2.2
一阶微分方程解的结构
进一步假设 Troom
t 0
0 ，则常系数微分方程(3.2.1)的解为：
t
Lc t Troom (t ) Tin 1 e Tin 1 e Cv
(3.2.2)
其结构如图 3.2.2 所示，其中送风温度 Tin 是外部输入条件，在 Tin 为常数的情况下，封闭间的温度 变化曲线 Troom (t ) 完全由特征方程的根 Lc / Cv 确定。 2．二阶系统的建模 电动机系统是一个典型二阶系统，它有广泛的应用基础，如雷达伺服系统、光电经纬仪伺服系 统等等都和电动机密切相关。为了简化问题的描述，下面以直流他励电动机为例来说明二阶系统的 建模过程。 一个简单的直流电动机系统原理如图 3.2.3 所示，其电枢方程为：
Ea k d M kd I a
kd
pN d 是电机系数 2a
综合上述方程，消去中间变量后，得：
R dM L d 2 d 1 TaTm 2 Tm U a2 Ta ML dt dt dt kd kd
2
(3.2.3)
而 Tm JRa k d 称作是机电时间 式(3.2.3)中的 Ta La Ra 称作是电枢回路的电磁时间常数， 常数。
3.2
系统建模
我们首先从两个常见系统的建模过程开始，由此逐步引申出更多的关于系统建模方面的内容。
3.2.1
两个被控系统的例子
1．一阶系统的建模 首先考虑一个一阶系统，对于一个封闭房间的温度控制，按照能量守恒定律，单位时间内进入 封闭间的能量减去流出的能量，等于封闭间能量储存量的变化，即有：
封闭间能 单位时间进 单位时间排 量变化率 入的能量 出的能量
3.2.2
Laplace 变换
控制系统建模所列出的方程式往往都是一些微分方程，当系统较为复杂时，相应的微分方程的 阶次也会较高，求解起来十分困难，这时需要采用一些方法简化微分方程的求解，如上面第二个例 子中——采用记号 D 表示求导运算 d dt 。 这种方法是由英国工程师 Oliver Heaviside 在电路分析计算时提出的，他是通过定义如下算子：
0
t
t F ( s) 0 1 nk 1 f (t )dt n n 0 t 0 s k 1 s
性质 6(初值定理)：若 L[ f (t )] F ( s ) ，则 lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
性质 7(终值定理)：若 L[ f (t )] F ( s ) ，则 lim f (t ) lim s分定理)：若 L[ f (t )] F ( s ) ，则 L[ f 性质 5(积分定理)：若 L[ f (t )] F ( s ) ，则：
(n)
(t )] s n F ( s ) s nk f ( k 1) (0)
k 1
n
L[ f (t )dt n ]
ery u Ce
y Gu
合并上述关系，可以得到整个闭环负反馈系统的数学表示形式 H ：
H
y GC r 1 GC
（3.1.1）
式(3.1.1)中的意义是： 如果被控对象 G 和控制器 C 是已知的， 则闭环系统 H 就可以确定下来， 而 H 是和闭环系统所要求的性能指标一一对应的，因此，通过选择合适的控制器 C 就可以使闭环系 统满足要求的指标。另一方面，从控制器设计角度来看，通常闭环系统性能指标(和 H 相对应)和被 控对象 G 是已知的，而控制器 C 是需要求解的，这时，式(3.1.1)可以表示为：
图 3.1.1
一个典型的闭环负反馈结构
为了完成控制任务，自动控制通常采用如图 3.1.1 所示的闭环负反馈结构，这种结构形式使得 系统的输出精度和抗干扰能力比开环系统大大提高。通过设计不同的控制器，上述闭环系统能够取 得不同的系统性能。 假设图中控制器和被控对象分别为 C 、G （下文将进一步讨论系统的数学模型， 这里只用字母来代表相应的系统） ，图 3.1.1 中的各信号具有下述关系：
C
H G HG
（3.1.2）
式(3.1.1)、(3.1.2)揭示了闭环系统性能指标 H 、被控对象 G 、控制器 C 三者的关系。本章 就是按照这三者的关系，逐步讲述控制系统的设计、调试问题，首先在 3.2 节对被控系统建模进行 介绍，主要是通过两个例子引出 Laplace 变换、传递函数概念以及系统的参数辨识等内容，为后续 内容打下基础；3.3 节介绍系统性能指标，它是和系统的闭环传递函数是一一对应的；介绍完被控 系统的模型、控制的期望指标，下一步自然就是控制器设计的问题了，3.4 节介绍了 PID 控制，先 是介绍 PID 控制器的结构及其物理意义，接着再介绍 PID 控制器的参数整定方法；除了 PID 控制器 外，我们在 3.5 节对其它的一些工程控制方法也做了介绍，内容包括 Smith 预估控制、预测控制、 神经网络控制及模糊控制等；在介绍完各种控制方法的基础上，3.6 节对工程中常见的基本控制系 统结构作了介绍，使读者对工程控制有个简单直观的认识。 需要指出的是，为了对系统实施高性能控制，需要事先获得被控对象全面、准确的数学模型， 但在实际工程中，这是很难做到甚至是不可能做到的；这时往往是退而求其次去获得一个工程近似 模型，控制设计就依托这个近似模型来进行的；在实际控制工程中，有时为了节省时间，甚至连这 个近似模型都不要，而是直接根据系统输出情况调节控制参数，使系统输出满足一定的要求。因此， 自动控制并不是完全依托于数学模型的一种教条式的理论，而是包含了许多设计者自身个性特点的 一种行为艺术，比如：对于同一控制问题，不同的工程师可能会有不同的设计、调试偏好，所采用 的控制方法，以及最后的控制效果也或多或少会有些差异。控制理论本质上只是给出了解决控制问 题的思路，至于具体的工程实现则在很大程度上依赖于工程师的经验，这就要求：一方面，控制工 程师不能沉湎于控制理论研究而忽视工程实践，毕竟任何控制方法必须经过实践的检验才有意义； 另一方面，更为重要的是，控制工程师需要真正搞清楚控制理论背后的工程意义，这样在实践时才 不至于盲目，尤其是在面对较为复杂的控制问题时，只有掌握了一定的理论知识，才能有针对性地 开展工作。
0
f (t )e st dt
在 s 的某一区域内收敛，则由此积分确定的参数为 s 的函数：
F (s)
0
f (t )e st dt
(3.2.4)
称作是函数 f (t ) 的 Laplace 变换。记作 F ( s ) L[ f (t )] 。 相应地，若 F ( s ) 是 f (t ) 的 Laplace 变换，则称 f (t ) 是 F ( s ) 的 Laplace 逆变换：
U Ea La
dI a Ra I a dt
U 是外加的电枢电压、La 和 Ra 是等效的电枢电感和电阻，Ea 是反电动势、 式中的参数意义是：
I a 是电枢回路的电流。
机械方程为：
M ML J
d dt
式中的 M 电动机产生的电磁力矩、 M L 为阻尼转矩，参量 是电动机轴的转速。 根据电动机工作原理，转速 和反电动势 Ea 相关，转矩 M 和电枢电流 I a 相关，既有：
t s 0
性质 8(卷积定理)：若 L[ f1 (t )] F1 ( s ) 、 L[ f 2 (t )] F2 ( s ) ，则：
t t L f1 (t ) f 2 ( )d L f1 (t ) f 2 (t )d F1 ( s ) F2 ( s ) 0 0
从而可以用代数方法来解决微分方程问题。 这种方法虽然简单、实用，但在当时缺少严谨的数学论证，后来人们在 Laplace 的著作中找到了 相关的理论依据，于是，这种方法便被称为 Laplace 变换法。 1．Laplace 变换及其性质、意义 Laplace 变换的定义：设函数 f (t ) 当 t 0 时有定义，且广义积分：
f (t ) L1[ F ( s )] F ( s )e st ds
0
(3.2.5)
根据上述定义，可以证明 Laplace 变换具有如下性质： 性质 1(线性定理)：若 a 、 b 为常数，且有 L[ f1 (t )] F1 ( s ) 、 L[ f 2 (t )] F2 ( s ) ，则：
表示成数学关系式为：
Cv
dTroom LcTin LcTroom dt
(3.2.1)
式(3.2.1)中： C v 为封闭间的热容系数， L 为送风量、 为空气密度、 c 为比热， Tin 表示送风 温度，是外部输入量， Troom 表示封闭间内温度，是所要求取的状态量。 显然，式(3.2.1)是一个常系数微分方程，它的解由齐次方程：
图 3.2.3 直流他励电动机的原理简图
图 3.2.4 二阶微分方程解的结构
显然， 微分方程(3.2.3)是一个二阶微分方程， 其中， 电机转速 是方程的状态变量， 而 U 、M L 为外部输入量。直接求解微分方程(3.2.3)十分复杂，为此引入记号 D 表示求导算子 d dt ；并考虑 到线性系统的叠加性，方程(3.2.3)可以表示为图 3.2.4 左边部分所示的两个输入量的叠加形式。 对记号 D 作代数分解，可以将微分方程(3.2.3)变换成图 3.2.4 右边部分所示的分解图结构形 式， 此时， 二阶微分方程(3.2.3)被化简成 4 个一阶微分方程的形式， 每个分解部分的解和式(3.2.2) 形式一致。 通过前面的两个例子，我们可以知道：为了建立系统的数学模型，需要根据系统受到的外部作 用及内部相互作用的情况，列出相应的方程式，求解这些方程就可以得到系统响应的时间函数。
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )] aF1 ( s ) bF2 ( s )
性质 2(平移定理)：若 L[ f (t )] F ( s ) ，则 L[e f (t )] F ( s a ) 。
at
性质 3(延滞定理)：若 L[ f (t )] F ( s ) ，则 L[ f (t a )] e
Cv
dTroom LcTroom 0 dt
t
所对应的通解 Troom C0 e ( C0 为待定系数， Lc / Cv 为特征方程的根)，以及方程(3.2.1)所 对应的特解所构成。假设送风温度 Tin 为常数，采用待定系数方法可以求得方程(3.2.1)的特解为：
y * Tin
3.1
引言
自动控制学科在工程实践中具有十分重要的意义，它的作用是：使系统按照一定的指标要求完
成规定的功能。比如，对于中央空调系统来说，其控制任务是，在一定的时间间隔内，将某一封闭 空间内的温度、湿度调节到某一状态值上，并维持在该状态值上；再比如象光电经纬仪这样的伺服 跟踪系统，它的控制任务是，使拍摄镜头按照规定的精度跟踪目标的变化。
利用 Laplace 变换的性质，可以将微分方程或积分方程转化为代数方程，如前文的微分方程：
y 6 y 5 y u 3u
利用性质 1、4，上述微分方程可以转化为：
s
2
6s 5 Y ( s ) s 3U ( s )
d () s dt 1 t dt s
来解决电路分析计算中经常遇到的微分方程或积分方程问题，比如对下面的微分方程：
y 6 y 5 y u 3u
采用算子方法可以简化成：
( s 5)(s 1) y ( s 3)u
图 3.2.2
一阶微分方程解的结构
进一步假设 Troom
t 0
0 ，则常系数微分方程(3.2.1)的解为：
t
Lc t Troom (t ) Tin 1 e Tin 1 e Cv
(3.2.2)
其结构如图 3.2.2 所示，其中送风温度 Tin 是外部输入条件，在 Tin 为常数的情况下，封闭间的温度 变化曲线 Troom (t ) 完全由特征方程的根 Lc / Cv 确定。 2．二阶系统的建模 电动机系统是一个典型二阶系统，它有广泛的应用基础，如雷达伺服系统、光电经纬仪伺服系 统等等都和电动机密切相关。为了简化问题的描述，下面以直流他励电动机为例来说明二阶系统的 建模过程。 一个简单的直流电动机系统原理如图 3.2.3 所示，其电枢方程为：
Ea k d M kd I a
kd
pN d 是电机系数 2a
综合上述方程，消去中间变量后，得：
R dM L d 2 d 1 TaTm 2 Tm U a2 Ta ML dt dt dt kd kd
2
(3.2.3)
而 Tm JRa k d 称作是机电时间 式(3.2.3)中的 Ta La Ra 称作是电枢回路的电磁时间常数， 常数。
3.2
系统建模
我们首先从两个常见系统的建模过程开始，由此逐步引申出更多的关于系统建模方面的内容。
3.2.1
两个被控系统的例子
1．一阶系统的建模 首先考虑一个一阶系统，对于一个封闭房间的温度控制，按照能量守恒定律，单位时间内进入 封闭间的能量减去流出的能量，等于封闭间能量储存量的变化，即有：
封闭间能 单位时间进 单位时间排 量变化率 入的能量 出的能量
3.2.2
Laplace 变换
控制系统建模所列出的方程式往往都是一些微分方程，当系统较为复杂时，相应的微分方程的 阶次也会较高，求解起来十分困难，这时需要采用一些方法简化微分方程的求解，如上面第二个例 子中——采用记号 D 表示求导运算 d dt 。 这种方法是由英国工程师 Oliver Heaviside 在电路分析计算时提出的，他是通过定义如下算子：
0
t
t F ( s) 0 1 nk 1 f (t )dt n n 0 t 0 s k 1 s
性质 6(初值定理)：若 L[ f (t )] F ( s ) ，则 lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
性质 7(终值定理)：若 L[ f (t )] F ( s ) ，则 lim f (t ) lim s分定理)：若 L[ f (t )] F ( s ) ，则 L[ f 性质 5(积分定理)：若 L[ f (t )] F ( s ) ，则：
(n)
(t )] s n F ( s ) s nk f ( k 1) (0)
k 1
n
L[ f (t )dt n ]
ery u Ce
y Gu
合并上述关系，可以得到整个闭环负反馈系统的数学表示形式 H ：
H
y GC r 1 GC
（3.1.1）
式(3.1.1)中的意义是： 如果被控对象 G 和控制器 C 是已知的， 则闭环系统 H 就可以确定下来， 而 H 是和闭环系统所要求的性能指标一一对应的，因此，通过选择合适的控制器 C 就可以使闭环系 统满足要求的指标。另一方面，从控制器设计角度来看，通常闭环系统性能指标(和 H 相对应)和被 控对象 G 是已知的，而控制器 C 是需要求解的，这时，式(3.1.1)可以表示为：
图 3.1.1
一个典型的闭环负反馈结构
为了完成控制任务，自动控制通常采用如图 3.1.1 所示的闭环负反馈结构，这种结构形式使得 系统的输出精度和抗干扰能力比开环系统大大提高。通过设计不同的控制器，上述闭环系统能够取 得不同的系统性能。 假设图中控制器和被控对象分别为 C 、G （下文将进一步讨论系统的数学模型， 这里只用字母来代表相应的系统） ，图 3.1.1 中的各信号具有下述关系：
C
H G HG
（3.1.2）
式(3.1.1)、(3.1.2)揭示了闭环系统性能指标 H 、被控对象 G 、控制器 C 三者的关系。本章 就是按照这三者的关系，逐步讲述控制系统的设计、调试问题，首先在 3.2 节对被控系统建模进行 介绍，主要是通过两个例子引出 Laplace 变换、传递函数概念以及系统的参数辨识等内容，为后续 内容打下基础；3.3 节介绍系统性能指标，它是和系统的闭环传递函数是一一对应的；介绍完被控 系统的模型、控制的期望指标，下一步自然就是控制器设计的问题了，3.4 节介绍了 PID 控制，先 是介绍 PID 控制器的结构及其物理意义，接着再介绍 PID 控制器的参数整定方法；除了 PID 控制器 外，我们在 3.5 节对其它的一些工程控制方法也做了介绍，内容包括 Smith 预估控制、预测控制、 神经网络控制及模糊控制等；在介绍完各种控制方法的基础上，3.6 节对工程中常见的基本控制系 统结构作了介绍，使读者对工程控制有个简单直观的认识。 需要指出的是，为了对系统实施高性能控制，需要事先获得被控对象全面、准确的数学模型， 但在实际工程中，这是很难做到甚至是不可能做到的；这时往往是退而求其次去获得一个工程近似 模型，控制设计就依托这个近似模型来进行的；在实际控制工程中，有时为了节省时间，甚至连这 个近似模型都不要，而是直接根据系统输出情况调节控制参数，使系统输出满足一定的要求。因此， 自动控制并不是完全依托于数学模型的一种教条式的理论，而是包含了许多设计者自身个性特点的 一种行为艺术，比如：对于同一控制问题，不同的工程师可能会有不同的设计、调试偏好，所采用 的控制方法，以及最后的控制效果也或多或少会有些差异。控制理论本质上只是给出了解决控制问 题的思路，至于具体的工程实现则在很大程度上依赖于工程师的经验，这就要求：一方面，控制工 程师不能沉湎于控制理论研究而忽视工程实践，毕竟任何控制方法必须经过实践的检验才有意义； 另一方面，更为重要的是，控制工程师需要真正搞清楚控制理论背后的工程意义，这样在实践时才 不至于盲目，尤其是在面对较为复杂的控制问题时，只有掌握了一定的理论知识，才能有针对性地 开展工作。
0
f (t )e st dt
在 s 的某一区域内收敛，则由此积分确定的参数为 s 的函数：
F (s)
0
f (t )e st dt
(3.2.4)
称作是函数 f (t ) 的 Laplace 变换。记作 F ( s ) L[ f (t )] 。 相应地，若 F ( s ) 是 f (t ) 的 Laplace 变换，则称 f (t ) 是 F ( s ) 的 Laplace 逆变换：
U Ea La
dI a Ra I a dt
U 是外加的电枢电压、La 和 Ra 是等效的电枢电感和电阻，Ea 是反电动势、 式中的参数意义是：
I a 是电枢回路的电流。
机械方程为：
M ML J
d dt
式中的 M 电动机产生的电磁力矩、 M L 为阻尼转矩，参量 是电动机轴的转速。 根据电动机工作原理，转速 和反电动势 Ea 相关，转矩 M 和电枢电流 I a 相关，既有：
t s 0
性质 8(卷积定理)：若 L[ f1 (t )] F1 ( s ) 、 L[ f 2 (t )] F2 ( s ) ，则：
t t L f1 (t ) f 2 ( )d L f1 (t ) f 2 (t )d F1 ( s ) F2 ( s ) 0 0
从而可以用代数方法来解决微分方程问题。 这种方法虽然简单、实用，但在当时缺少严谨的数学论证，后来人们在 Laplace 的著作中找到了 相关的理论依据，于是，这种方法便被称为 Laplace 变换法。 1．Laplace 变换及其性质、意义 Laplace 变换的定义：设函数 f (t ) 当 t 0 时有定义，且广义积分：
f (t ) L1[ F ( s )] F ( s )e st ds
0
(3.2.5)
根据上述定义，可以证明 Laplace 变换具有如下性质： 性质 1(线性定理)：若 a 、 b 为常数，且有 L[ f1 (t )] F1 ( s ) 、 L[ f 2 (t )] F2 ( s ) ，则：
表示成数学关系式为：
Cv
dTroom LcTin LcTroom dt
(3.2.1)
式(3.2.1)中： C v 为封闭间的热容系数， L 为送风量、 为空气密度、 c 为比热， Tin 表示送风 温度，是外部输入量， Troom 表示封闭间内温度，是所要求取的状态量。 显然，式(3.2.1)是一个常系数微分方程，它的解由齐次方程：
图 3.2.3 直流他励电动机的原理简图
图 3.2.4 二阶微分方程解的结构
显然， 微分方程(3.2.3)是一个二阶微分方程， 其中， 电机转速 是方程的状态变量， 而 U 、M L 为外部输入量。直接求解微分方程(3.2.3)十分复杂，为此引入记号 D 表示求导算子 d dt ；并考虑 到线性系统的叠加性，方程(3.2.3)可以表示为图 3.2.4 左边部分所示的两个输入量的叠加形式。 对记号 D 作代数分解，可以将微分方程(3.2.3)变换成图 3.2.4 右边部分所示的分解图结构形 式， 此时， 二阶微分方程(3.2.3)被化简成 4 个一阶微分方程的形式， 每个分解部分的解和式(3.2.2) 形式一致。 通过前面的两个例子，我们可以知道：为了建立系统的数学模型，需要根据系统受到的外部作 用及内部相互作用的情况，列出相应的方程式，求解这些方程就可以得到系统响应的时间函数。
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )] aF1 ( s ) bF2 ( s )
性质 2(平移定理)：若 L[ f (t )] F ( s ) ，则 L[e f (t )] F ( s a ) 。
at
性质 3(延滞定理)：若 L[ f (t )] F ( s ) ，则 L[ f (t a )] e
Cv
dTroom LcTroom 0 dt
t
所对应的通解 Troom C0 e ( C0 为待定系数， Lc / Cv 为特征方程的根)，以及方程(3.2.1)所 对应的特解所构成。假设送风温度 Tin 为常数，采用待定系数方法可以求得方程(3.2.1)的特解为：
y * Tin