2019版高考数学一轮复习训练： 基础与考点过关 第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形

第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形
第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1. (必修4P 10习题9改编)小明从家步行到学校需要15 min ，则这段时间内钟表的分针走过的角度是________．
答案：－90°
解析：利用定义得分针是顺时针走的，形成的角是负角．又周角为360°，所以360°
60
×
15＝90°，即分针走过的角度是－90°.
2. (必修4P 10习题4改编)若角θ的终边与角4π
5
的终边相同，则在[0，2π)内终边与
角θ
2
的终边相同的角的集合为__________________．(用列举法表示) 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫
2π5
，7π5
解析：由题意θ＝4π5＋2k π(k∈Z )，∴ θ2＝2π
5
＋k π(k∈Z )．
由0≤θ2<2π，即0≤2π5＋k π<2π知－25≤k<8
5
，k ∈Z .
∴ k ＝0或1.故在[0，2π)内终边与角θ
2的终边相同的角的集合为
⎩⎨⎧⎭⎬⎫2π5
，7π5. 3. (必修4P 9例3改编)已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为__________．
答案：6
解析：设扇形的半径为R ，则12R 2α＝2，∴ 12
R 2×4＝2.而R 2
＝1，∴ R ＝1，∴ 扇形的
周长为2R ＋α·R＝2＋4＝6.
4. 已知角θ的终边经过点P(8，m ＋1)，且sin θ＝3
5
，则m ＝________．
答案：5
解析：sin θ＝m ＋182＋（m ＋1）2
＝3
5
，解得m ＝5. 5. 函数y ＝lg(2cos x －1)的定义域为____________．
答案：⎝
⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3(k∈Z ) 解析：∵ 2cos x －1＞0，∴ cos x ＞1
2
.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如
图阴影部分所示)，∴ x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3(k∈Z )．
1. 任意角
(1) 角的概念的推广
① 按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ② 按终边位置不同分为象限角和轴线角． (2) 终边相同的角
终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z )． (3) 弧度制
① 1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
② 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝l
r
，
l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．
③ 弧度与角度的换算：360°＝2π rad ；180°＝π rad ；1°＝π180 rad ；1 rad ＝
180
π
度．
④ 弧长公式：l ＝|α|r ．
扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12
|α|r 2
．
2. 任意角的三角函数
(1) 任意角的三角函数的定义
设P(x ，y)是角α终边上任意一点，且|PO|＝r(r ＞0)，则有sin α＝y r ，cos α＝x
r
，
tan α＝y
x
，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．
(2) 三角函数在各象限内的正值口诀是：Ⅰ全正、Ⅱ正弦、Ⅲ正切、Ⅳ余弦． (3) 特殊角的三角函数值
45°π
4
2
2
2
2
1
60°π
3
3
2
1
2
3
90°π
2
1 0 /
120°2π
3
3
2
－
1
2
－ 3
续表
角αα弧度数sin αcos αtan α
135°3π
4
2
2
－
2
2
－1
150°5π
6
1
2
－
3
2
－
3
3
180°π0 －1 0
270°3π
2
－1 0 /
3.
设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过点P作PM垂直x轴于点M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，
点P的坐标为(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT．我们把有向线段OM，MP，AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．
三角函数线
[备课札记]
, 1象限角及终边相同的角)
, 1) (1) 已知α＝－2 017°，则与角α终边相同的最小正角为
________，最大负角为________．
(2) (必修4P 10习题12改编)已知角α是第三象限角，试判断：
① π－α是第几象限角？② α
2
是第几象限角？③ 2α的终边在什么位置？
(1) 答案：143° －217° 解析：α可以写成－6×360°＋143°的形式，则与α终边相同的角可以写成k·360°＋143°(k∈Z )的形式．当k ＝0时，可得与角α终边相同的最小正角为143°，当k ＝－1时，可得最大负角为－217°.
(2) 解：①∵ α是第三象限角，
∴ 2k π＋π<α<2k π＋3π
2
，k ∈Z .
∴ －2k π－π
2
<π－α<－2k π，k ∈Z .
∴ π－α是第四象限角．
② ∵ k π＋π2<α2<k π＋3π
4
，k ∈Z ，
∴ α
2
是第二或第四象限角．
③ ∵ 4k π＋2π<2α<4k π＋3π，k ∈Z ，
∴ 2α的终边在第一或第二象限或y 轴非负半轴上． 变式训练
(必修4P 10习题5改编)终边在直线y ＝3x 上的角的集合可表示为____________．
答案：
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x|x ＝k π＋π3，k ∈Z 解析：直线y ＝3x 经过第一象限、第三象限，直线的倾斜角为π
3
，则终边在该直线上
的角的集合为{x|x ＝k π＋π
3
，k ∈Z }．
, 2 三角函数的
定义)
, 2) (1) 点P 是始边与x 轴的正半轴重合、顶点在原点的角θ的终
边上的一点，若|OP|＝2，θ＝60°，则点P 的坐标是__________；
(2) (2017·泰州模拟)已知角α的终边过点P(－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－4
5
，
则m 的值为________．
答案：(1) (1，3) (2) 1
2
解析：(1) 设点P 的坐标为(x ，y)，由三角函数的定义，得sin 60°＝y
2
，cos 60°＝
x
2
，所以x ＝2cos 60°＝1，y ＝2sin 60°＝3，故点P 的坐标为(1，3)． (2) ∵ r＝64m 2
＋9，∴ cos α＝－8m 64m 2
＋9
＝－45，
∴ m ＞0，∴ 4m 2
64m 2＋9＝125，即m ＝1
2
.
变式训练
(2017·无锡期末)已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α＝________．
答案：－3
2
解析：由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2
＝34，y ＝±32.
当y ＝
32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时sin α·tan α＝－32
. 当y ＝－
32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时sin α·tan α＝－3
2
.
, 3 三角函数的
符号及判定)
, 3) 点A(sin 2 017°，cos(－2 017°))位于第________象限． 答案：三 解析：因为2 017°＝5×360°＋217°是第三象限角，所以sin 2 017°＜0.又－2 017°＝－6×360°＋143°是第二象限角，所以cos(－2 017°)＜0，所以点A(sin 2 017°，cos(－2 017°))位于第三象限．
变式训练
下列判断正确的是________．(填序号)
① sin 300°＞0；② cos(－305°)＜0；③ tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－223π＞0；④ sin 10＜0. 答案：④
解析：300°＝360°－60°，则300°是第四象限角； －305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角； －223π＝－8π＋23π，则－22
3
π是第二象限角； 因为3π＜10＜7
2
π，所以10是第三象限角．
故sin 300°＜0，cos(－305°)＞0，tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－223＜0，sin 10＜0，④正确．
, 4 弧长公式与
扇形面积公式)
, 4) 扇形AOB 的周长为8 cm.
(1) 若这个扇形的面积为3 cm 2
，求圆心角的大小；
(2) 求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 解：设扇形AOB 的半径为r cm ，弧长为l cm ，圆心角为α，
(1) 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12
lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪
⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，
∴ α＝l r ＝2
3
或6.
(2) ∵ 2r＋l ＝8，∴ S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14·⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭
⎪⎫822＝4(cm 2
)，
当且仅当2r ＝l ，即α＝l
r
＝2时，扇形面积取得最大值，
∴ r ＝2，∴ 弦长AB ＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)． 备选变式（教师专享）
已知扇形的周长是 4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是________；扇形的圆心角所对的弦长为________cm.
答案： 2 2sin 1
解析：设此扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝1
2
r(4－2r)
＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2
＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2 cm.从而α＝l r ＝21
＝2.
扇形的圆心角所对的弦长为
2sin 1 cm.
1. 若tan(α＋45°)<0，则sin α，cos α，sin 2α，cos 2α中一定为负数的是__________．
答案：cos 2α
解析：∵ tan(α＋45°)<0，∴ k ·180°－135°<α<k ·180°－45°，∴ k ·360°－270°<2α<k ·360°－90°，∴ cos 2α<0.
2. (2017·苏州期末)已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝3
5
，则m ＝________．
答案：3
解析：sin θ＝m 16＋m 2
＝3
5，解得m ＝3. 3. 若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k ，m ∈Z )，则下列关于角α与β的终边的位置关系的说法正确的是________．(填序号)
① 重合；② 关于原点对称；③ 关于x 轴对称；④ 关于y 轴对称． 答案：③
解析：显然角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，而θ与－θ的终边关于x 轴对称，故说法正确的是③.
4. 已知一扇形的圆心角为α (α>0)，扇形所在圆的半径为R.
(1) 若α＝90°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
(2) 若扇形的周长是一定值C cm(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解：(1) 设弧长为l ，弓形面积为S 弓，又α＝90°＝π2，R ＝10，则l ＝π
2
×10＝5π
(cm)，
S 弓＝S 扇－S 三角形＝12×5π×10－12
×102＝25π－50 (cm 2
)．
(2) 扇形周长C ＝2R ＋l ＝(2R ＋αR)cm ，∴ R ＝C
2＋α
cm ，
∴ S 扇＝12α·R 2
＝12α·⎝ ⎛⎭
⎪⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·
14＋α＋
4α
≤C 2
16. 当且仅当α2＝4，即α＝
2时，扇形面积有最大值C 216
cm 2
.
1. 给出下列命题：
① 第二象限角大于第一象限角；
② 三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③ 不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④ 若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤ 若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是________．(填序号) 答案：③
解析：由于第一象限角370°大于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；正弦值相等，但角的终边不一定相同，故④错；当θ＝π时，cos θ＝－1<0，θ既不是第二象限角，也不是第三象限角，故⑤错．综上可知，只有③正确．
2. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________．
答案：－3
5
解析：取终边上一点(a ，2a )(a≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55
，故cos 2θ＝2cos 2
θ－1＝－35
.
3. (2017·扬州一中月考改编)已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2
＝1交于点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，y 0，
则cos α＝________．
答案：12
解析：∵ r＝1，∴ cos α＝x r ＝1
2
.
4. (2017·苏北四市期末)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．
答案：(－2，3]
解析：∵ cos α≤0，sin α>0，
∴ 角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上． ∴ ⎩
⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴ －2<a≤3.
1. (1) 要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式．
(2) 已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角．
2. 已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解α的三角函数值．
3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．
4. 利用单位圆解有关三角函数的不等式(组)的一般步骤 (1) 用边界值定出角的终边位置． (2) 根据不等式(组)定出角的范围． (3) 求交集，找单位圆中公共的部分． (4) 写出角的表达式．
第2课时 同角三角函数的基本关系式与 诱导公式(对应学生用书(文)、(理)51～52
页
)
1. 已知sin α＝14，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan α＝__________． 答案：－
1515
解析：由sin α＝14，α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，得cos α＝－154， 则tan α＝sin αcos α＝－15
15
.
2. (必修4P 20练习2改编)sin(－585°)的值为__________．
答案：2
2
解析：sin(－585°)＝－sin 585°＝－sin(360°＋225°)＝－sin 225°＝－
sin(180°＋45°)＝sin 45°＝2
2
.
3. (2017·苏北四市摸底)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝1
5
，则cos α的值为________．
答案：15
解析：∵ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝cos α，∴ cos α＝15. 4. (必修4P 23习题11改编)已知tan α＝2，则2sin α－cos α
sin α＋cos α
＝__________．
答案：1
解析：因为tan α＝2，所以2sin α－cos αsin α＋cos α＝2tan α－1tan α＋1＝2×2－1
2＋1
＝1.
5. (必修4P 21例4改编)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π6＋α＝__________．
答案：119
解析：∵ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1
3
，
∴ sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
＋α＝13，
∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝1
3
.
∴ cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝1－sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫π＋α－π6 ＝1－sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
6－α＝1－19＝89.
∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π
6＋α＝13＋89＝119
.
1. 同角三角函数的基本关系
(1) 平方关系：sin 2α＋cos 2
α＝1．
(2) 商数关系：tan_α＝sin α
cos α
.
2. 诱导公式
k ·2
±α(k∈Z )与α的三角函数关系的记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．
, 1 同角三角函
数的基本关系式
)
, 1) (必修4P 23习题20改编)已知－π2<x<0，sin x ＋cos x ＝1
5
.
(1) 求sin 2x －cos 2
x 的值；
(2) 求tan x
2sin x ＋cos x
的值．
解：由sin x ＋cos x ＝15，得1＋2sin xcos x ＝1
25，
则2sin xcos x ＝－24
25
.
∵ －π
2<x<0，∴ sin x<0，cos x>0，即sin x －cos x<0.
则sin x －cos x ＝－sin 2
x －2sin xcos x ＋cos 2
x ＝－
1＋2425＝－75
.
(1) sin 2
x －cos 2
x ＝(sin x ＋cos x)(sin x －cos x)
＝15×⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝－725
. (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15，sin x －cos x ＝－75，得⎩
⎪⎨⎪
⎧sin x ＝－3
5，
cos x ＝4
5，
则tan x ＝－3
4.
即tan x 2sin x ＋cos x ＝－34－65＋4
5
＝15
8
. 变式训练
(2017·盐城模拟)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π
2
，则cos α－sin α的值为
________．
答案：3
2
解析：∵ 5π4<α<3π
2
，∴ cos α<0，sin α<0，且cos α>sin α，∴ cos α－sin
α>0.
又(cos α－sin α)2
＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34
，
∴ cos α－sin α
＝
3
2
. , 2) (必修4P 23习题12(2)改编)化简： (
1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α)·(1＋cos α1－cos α－1－cos α
1＋cos α
)．
解：原式＝[
（1＋sin α）
2
cos 2
α
－（1－sin α）
2
cos 2
α
]·[（1＋cos α）
2
sin 2
α
－
|cos α|·|sin α|
＝⎩
⎪⎨⎪⎧4，α在第一、三象限时，－4，α在第二、四象限时. 备选变式（教师专享）
若α为第二象限角，则cos α1＋tan 2
α＋sin α1＋1tan 2α
＝________．
答案：0
解析：原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2
α＝cos α1
|cos α|
＋sin α1|sin α|.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α
1
|cos α|
＋sin α1
|sin α|
＝－1＋1＝0，即原式等于0.
, 2 诱导公式及
其运用)
, 3) 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
3－x 的值为
__________．
答案：59
解析：由诱导公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－13，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝
89，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
3－x ＝89－13＝59
.
变式训练
已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a(|a|≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2π3－θ＝__________．
答案：0
解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝ －cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－θ＝－a. sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，
∴ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2π3－θ＝0.
, 3 同角三角函
数的基本关系与诱导公式的综合应用)
, 4) (1) 设tan(5π＋α)＝m ，求sin （α－3π）＋cos （π－α）
sin （－α）－cos （π＋α）
的
值；
(2) 在△ABC 中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A ＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．
解：(1) 由tan(5π＋α)＝m ，得tan α＝m ，
∴ sin （α－3π）＋cos （π－α）sin （－α）－cos （π＋α）＝－sin α－cos α－sin α＋cos α
＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1
.
(2) 由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②
①2＋②2得2cos 2
A ＝1，即cos A ＝±22
.
(ⅰ) 当cos A ＝
22时，cos B ＝32
. 又∵ A，B 是三角形的内角，
∴ A ＝π4，B ＝π6，∴ C ＝π－(A ＋B)＝7π12.
(ⅱ) 当cos A ＝－
22时，cos B ＝－3
2
. 又∵ A，B 是三角形的内角，
∴ A ＝3π4，B ＝5π
6
，不合题意．
综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝7π
12
.
变式训练 (1) (2017·江西联考)已知tan(π－α)＝－23，且α∈⎝
⎛⎭⎪⎫－π，－π2，求cos （－α）＋3sin （π＋α）
cos （π－α）＋9sin α
的值；
(2) 在△ABC 中，若sin(3π－A)＝2sin(π－B)，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－A ＝2cos(π－B)．试判断三角形的形状．
解：(1) 由已知得tan α＝23，cos （－α）＋3sin （π＋α）cos （π－α）＋9sin α＝cos α－3sin α
－cos α＋9sin α
＝
1－3tan α－1＋9tan α＝1－3×
23－1＋9×
23
＝－1
5
.
(2) 由题设条件，得sin A ＝2sin B ，－sin A ＝－2cos B ， ∴ sin B ＝cos B ，∴ tan B ＝1.
∵ B ∈(0，π)，∴ B ＝π
4，
∴ sin A ＝2×
2
2
＝1. 又A∈(0，π)，∴ A ＝π2，∴ C ＝π
4
.
∴ △ABC 是等腰直角三角形．
1. 已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°的值是________．
答案：1－a 2
解析：sin 239°·tan 149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos
31°)·(－tan 31°)＝sin 31°＝1－a 2
.
2. 已知α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，则sin α的值是________．
解析：(解法1)由tan(π－α)＋3＝0，得tan α＝3，即sin α
cos α＝3，sin α＝3cos α，
所以sin 2α＝9(1－sin 2α)，10sin 2α＝9，sin 2
α＝910.因为α为锐角，所以sin α＝31010
.
(解法2)因为α为锐角，且tan(π－α)＋3＝0，所以－tan α＋3＝0即tan α＝3.
在如图所示的直角三角形中，令∠A＝α，BC ＝3，则AC ＝1，所以AB ＝32＋12
＝10，故
sin α＝310＝310
10.
3. (2017·南通调研)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ＝
________．
答案：－2
3
解析：∵ sin θ＋cos θ＝43，∴ 2sin θcos θ＝7
9，
∴ (sin θ－cos θ)2
＝1－2sin θcos θ＝29，∴ sin θ－cos θ＝23或－23
.∵
θ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π4，∴ sin θ<cos θ，∴ sin θ－cos θ＝－23.
4. 已知sin 2
θ＋4
cos θ＋1
＝2，则(cos θ＋3)(sin θ＋1)的值为__________．
答案：4
解析：因为sin 2
θ＋4cos θ＋1
＝2，所以sin 2θ＋4＝2cos θ＋2，即cos 2
θ＋2cos θ－3＝0，
解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)．由cos θ＝1得sin θ＝0，故(cos θ＋3)(sin θ＋1)＝4.
1. 已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2 ＋α，则sin αcos α＝__________． 答案：－2
5
解析：因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2
α＝tan αtan 2α＋1＝－2
5
. 2. 已知cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝__________．
答案：－1－k
2
k
解析：因为cos(－80°)＝cos 80°＝k ，所以sin 80°＝1－cos 2
80°＝1－k 2
.所
3. (2017·盐城调研)若3sin α＋cos α＝0，则1
cos 2α＋2sin αcos α
＝________．
答案：103
解析：∵ 3sin α＋cos α＝0，且cos α≠0，∴ tan α＝－1
3
，∴
1cos 2α＋2sin αcos α＝cos 2α＋sin 2αcos 2
α＋2sin αcos α＝1＋tan 2
α1＋2tan α＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1321－23
＝10
3
. 4. (2017·南京、盐城模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12－α＝________．
答案：－22
3
解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π12＋α. 因为－π＜α＜－π2，所以－7π12＜α＋5π12＜－π
12
.
又cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π12＋α＝13
＞0，所以－π2＜α＋5π12＜－π12， 所以sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π12＋α＝－
1－cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π12＋α＝－1－
⎝ ⎛⎭
⎪⎫132
＝－223.
1. 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．
2. 应熟练应用诱导公式．诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：① 负角变正角，再写成2k π＋α(k∈Z )，0≤α＜2π的形式；② 转化为锐角．
3. 同角三角函数基本关系可用于统一函数；诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．
4. 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：
① 弦切互化法：主要利用公式tan x ＝sin x cos x 进行切化弦或弦化切，如asin x ＋bcos x
csin x ＋dcos x
，
asin 2x ＋bsin xcos x ＋ccos 2
x 等类型可进行弦化切．
② 和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2
＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．
③ 注意变角技巧：如32π＋α为π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α或2π－⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α等． ④ 巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝sin 2
θ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1tan 2θ＝
tan π
4
＝…
5. 在△ABC 中常用到以下结论： sin(A ＋B)＝sin(π－C)＝sin C ， cos(A ＋B)＝cos(π－C)＝－cos C ， tan(A ＋B)＝tan(π－C)＝－tan C ，
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－C 2＝cos C 2， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋B 2＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－C 2＝sin C 2.[备课札记]
第3课时 三角函数的图象和性质(对应学生用书(文)、(理)53～55页
)
1. (2017·南京期初)若函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为π，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3的值是________．
答案：12
解析：由题意，得2πω＝π，所以ω＝2，f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3
＋π6＝sin 5π6＝12
.
2. 将函数f(x)＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π
6
个单位，得到函数y ＝g(x)的图
象，则g(x)＝____________．
答案：2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析：将函数f(x)＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π
6
个单位，得到函数g(x)＝2sin
2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．本题主要考查三角函数的图象变换(平移变换)．
3. 已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π3，π，值域为[a ，
b]，则b －a 的值是__________．
答案：3
解析：因为x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，所以cos x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，所以y ＝2cos x 的值域为[－2，1]，所以b －a ＝3.
4. 函数f(x)＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为________．
答案：⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k∈Z ) 解析：由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
，k ∈Z .
故所求函数的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k∈Z )． 5. (必修4P 45习题9改编)电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I ＝Asin(ωt ＋
φ)⎝
⎛⎭⎪⎫A>0，ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，则当t ＝1100 s 时，电流强度是
__________A.
答案：－5
解析：由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ ω＝2π
T
＝100π.∴ I ＝10sin(100πt
＋φ).⎝ ⎛⎭
⎪⎫1300，10为五点中的第二个点，∴ 100π×1300＋φ＝π2.∴ φ＝π6.∴ I ＝
10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1
100
s 时，I ＝－
5 A.
1. 周期函数的定义
周期函数的概念：对于函数y ＝f(x)，如果存在一个非零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋T)＝f(x)都成立，那么称y ＝f(x)为周期函数；函数y ＝Asin(ωx
＋φ)和y ＝Acos(ωx ＋φ)的周期均为T ＝2π
|ω|；
函数y ＝Atan(ωx ＋φ)的周期为T ＝π
|ω|
.2. 三角函数的图象和性质
在确定正弦函数y ＝sin x 在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数呢？
4. 函数 y ＝Asin(ωx ＋φ)的特征
若函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，x ∈(－∞，＋∞))表示一个振动量时，则A
叫做振幅，T ＝2πω叫做周期，f ＝1
T
叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相．
[备课札记]
, 1 “五点法”
与“变换法”作图)
, 1) (必修4P 40练习7改编)已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋π
3
)(ω＞0)
的周期为π.
(1) 用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(2) 说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．
解：∵ T＝π，∴ 2π
ω＝π，即ω＝2.
∴ f(x)＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1) 令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X. 列表如下： x －π6 π12 π3 7π12 5π
6
X 0 π2 π 3π
2
2π y ＝sin X 0 1 0 －1 0
y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 0 2 0 －2 0
(2) (解法1)把y ＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图
象；再把y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． (解法2)将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 变为原来的1
2
，纵坐标不变，得到y ＝
sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 备选变式（教师专享）
(1) 求ω和φ的值；
(2) 在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；
(3) 若f(x)>2
2
，求x 的取值范围．
解：(1) 周期T ＝2π
ω
＝π，∴ ω＝2.
∵ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32.又－π2<φ<0，∴ φ＝－
π
3
. (2) 由(1)得f(x)＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表如下：
(3)∵ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3>22，∴ 2k π－π4<2x －π3<2k π＋π4，∴ 2k π＋π12<2x<2k π＋7π12， ∴ k π＋π24<x<k π＋7π
24
，k ∈Z ，
∴ x 的取值范围是
⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫k π＋π24<x<k π＋7π24，k ∈Z .,
2 三角函数的性质)
●典型示例
2
已知函数f(x)＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. (1) 求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2) 求f(x)在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值；
(3) 求f(x)图象的一条对称轴和一个对称中心，使得它们到y 轴的距离分别最小． 【思维导图】
【规范解答】解：(1) 函数f(x)的最小正周期为T ＝
2π
2
＝π. 令－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k∈Z )，解得－3π8＋k π≤x ≤π
8
＋k π(k∈Z )，
所以函数f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k∈Z )． (2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4.由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，5π4上的图象
知，
当2x ＋π4＝π2，即x ＝π
8时，f(x)取最大值2＋1；
当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π
2
时，f(x)取最小值0.
综上，f(x)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.
(3) 令2x ＋π4＝π2＋k π(k∈Z )，解得x ＝π8＋k π
2
(k∈Z )，
所以当k ＝0时，直线x ＝π
8
是所有对称轴中最靠近y 轴的．
令2x ＋π4＝k π(k∈Z )，解得x ＝－π8＋k π
2
(k∈Z )，
所以当k ＝0时，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π8，1是所有对称中心中最靠近y 轴的， 所以所求的对称轴为直线x ＝π8，对称中心为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π8，1. 【精要点评】 对于三角函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的性质(定义域、单调性、对称性、最值或值域等)问题，通常用换元的方法，令t ＝ωx ＋φ，将其转化为函数y ＝Asin t ，再进行其性质的研究．
●总结归纳
解有关三角函数性质的问题，通常需先将函数转化为f(x)＝Asin(ωx ＋φ)的形式，再用研究复合函数的单调性、值域的方法利用正弦函数的图象和性质来处理．若ω<0，还需先利用诱导公式转化为f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再将ωx ＋φ看成整体，利用正弦函数y ＝sin x 的性质进行求解．
●题组练透
1. 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ＞0)个单位，若所得的图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
6，32，
则φ的最小值为__________．
答案：π6
解析：易知y ＝sin 2(x ＋φ)，即y ＝sin(2x ＋2φ)．∵ 图象过点⎝
⎛⎭
⎪⎫π
6，32，∴ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2φ＝32
，∴ π3＋2φ＝π3＋2k π或π3＋2φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，即φ＝k π或
φ＝π6＋k π，k ∈Z .∵ φ>0，∴ φ的最小值为π
6
.Ｋ
2. 设函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(0＜x ＜π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为__________．
答案：2
解析：当x ＝π12时，令ωx ＋π3＝π
2
，则正数ω＝2.
3. 函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________． 答案：－
2
2
解析：由已知x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，故函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－22. 4. 设函数f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且满足f(－x)＝－f(x)．
(1) 求函数f(x)的单调递增区间；
(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，试求y ＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．
解：(1) 因为f(x)的最小正周期为π，所以T ＝2π
ω
＝π，解得ω＝2.又f(－x)＝－f(x)，
所以f(0)＝0，所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫φ＋π3＝0.又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f(x)＝2sin 2x.则2x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k∈Z )，解得函数f(x)的单调递增区间为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k∈Z )． (2) 当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6＝
2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，f(x)取得最大值2；当2x －π3＝－π
3，即x ＝0时，f(x)
取得最小值－ 3.
, 3 根据图象
和性质确定函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的解析式)
, 3) 设函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π
2
，x
∈R )的部分图象如图所示．
(1) 求函数y ＝f(x)的解析式；
(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2时，求f(x)的取值范围．
解：(1) 由图象知，A ＝2. 又T 4＝5π6－π3＝π2，ω＞0，所以T ＝2π＝2π
ω
，得ω＝1.所以f(x)＝2sin(x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，2代入，得π3＋φ＝π2＋2k π(k∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k∈Z )． 又－π2＜φ＜π2，所以φ＝π6.所以f(x)＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6.
(2) 当x∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π2时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－32，1，
即f(x)∈[－3，2]．
变式训练
已知函数f(x)＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π
2
.
(1) 求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8的值； (2) 将函数y ＝f(x)的图象向右平移π
6
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为
原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)的单调递减区间．
解：(1) ∵ f(x)为偶函数，
∴ φ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2π
3
＋k π，k ∈Z .
∵ 0＜φ＜π，∴ φ＝2π
3
.
由题意得2πω＝2×π
2
，解得ω＝2.
故f(x)＝2cos 2x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2cos π4＝ 2. (2) 将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到f ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，再将所得图象上各点
的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 4－π6的图象，所以g(x)＝f(x 4－π6)＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2－π3. 当2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k∈Z )，即4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π
3
(k∈Z )时，g(x)单调
递减．
因此g(x)的单调递减区间为[4k π＋2π3，4k π＋8π
3
](k∈Z )．
, 4 三角函数的
应用)
, 4) (必修4P 42例2改编)如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O
距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．
(1) 将点P 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2) 点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？
解：(1) 建立如图所示的直角坐标系，
设角φ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．
OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π
6.
则OP 在t(s)内所转过的角为π
6
t.
由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π
6.
故所求函数解析式为z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6
t －π6＋2.
(2) 令z ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6
t －π6＝1.
令π6t －π6＝π
2
，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s. 备选变式（教师专享）
如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m ，且60 s 转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面间的距离为h.
(1) 求h 与θ之间的函数解析式； (2) 设从OA 开始转动，经过t s 后到达OB ，求h 与t 之间的函数解析式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少．
解：(1) 以圆心O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．
则以Ox 为始边，OB 为终边的角为θ－π
2
，
故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4.8cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2，4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2， ∴ h ＝5.6＋4.8sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π2. (2) 点A 在圆上转动的角速度是π
30
rad/s ，
故t s 转过的弧度数为π
30t ，
∴ h ＝5.6＋4.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
30
t －π2，t ∈[0，＋∞)．
到达最高点时，h ＝10.4 m.
由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
30
t －π2＝1，得π30t －π2＝π2，∴ t ＝30 s ，
∴ 缆车到达最高点时，用的最少时间为30 s.
1. 已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且它的图象过点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π12，－2，则φ的值为__________． 答案：－π
12
解析：f(x)＝2sin(ωx ＋φ) 的最小正周期为π，则ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x ＋φ)，
它的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，－2，则sin ⎝
⎛⎭⎪⎫φ－π6＝－22⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，故φ＝－π12. 2. 函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示．若A ，B 两点之间的距离AB ＝5，则ω的值为________．
答案：π3
解析：AB ＝5，|y A －y B |＝4，则|x A －x B |＝3＝T 2，则T ＝6，则2πω＝6，ω＝π
3
.
3. 将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π
12
个单位得到的图象关于
点⎝
⎛⎭
⎪⎫π3，0对称，则φ＝________．
答案：π6
解析：由题意得平移以后的函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ，因为图象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，0对称，
所以2×π3＋π6＋φ＝k π(k∈Z )，解得φ＝k π－5π6(k∈Z )．因为0<φ<π，所以φ＝π
6
.
4. 函数f(x)＝cos(πx ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象如图所示． (1) 求φ及图中x 0的值；
(2) 求f(x)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．
解：(1) 由图可知，f(0)＝f(x 0)＝32
， 即cos φ＝
32，cos(πx 0＋φ)＝32
. 又φ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，x 0>0，所以φ＝π6，x 0＝53.
(2) 由(1)可知f(x)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6. 因为x∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，13，所以－π3≤πx ＋π6≤π2. 所以当πx ＋π6＝0，即x ＝－1
6时，f(x)取得最大值1；
当πx ＋π6＝π2，即x ＝1
3
时，f(x)取得最小值0.
1. (2017·南师附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数y ＝sin(2x ＋
φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π
8
个单位后，得到函数y ＝f(x)的图象，若函数f(x)
的图象过原点，则φ＝________．
答案：3π4
解析：将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π
8
个单位后，得到函数
f(x)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象，若函数f(x)的图象过原点，则f(0)
＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋φ＝0，π4＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝k π－π4，k ∈Z .又0<φ<π，则φ＝3π4. 2. 若函数y ＝sin(ωx －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则
ω，φ的值分别是______．
答案：2，π
3
解析：由题图可知，T ＝2⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ＝0，
所以π3－φ＝k π(k∈Z )，即φ＝π3－k π(k∈Z )．而|φ|<π2，所以φ＝π
3
.
3. (2017·第三次全国大联考江苏卷)将函数f(x)＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
2
<θ<π2的图象
向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点
P ⎝
⎛
⎭⎪⎫0，32，则φ的值为________．
答案：5π6
解析：由题意，可得sin θ＝
32.因为－π2＜θ＜π2，所以θ＝π
3
.因为g(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π3，所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫－2φ＋π3＝32.又因为0＜φ＜π，所以－2φ＋π3∈⎝
⎛⎭⎪⎫－5π3，π3，－2φ＋π3＝－4π3，φ＝5π6. 4. 已知函数f(x)＝3sin 2x ＋2cos 2
x ＋m 在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为3，则
(1) m ＝________；
(2) 当f(x)在[a ，b]上至少含20个零点时，b －a 的最小值为________．
答案：(1) 0 (2) 28π
3
解析：(1) f(x)＝ 3 sin 2x ＋2cos 2
x ＋m ＝3sin 2x ＋1＋cos 2x ＋m ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1.
因为0≤x≤π2，所以π6≤2x ＋π6≤7π
6
.
所以－12≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1， f(x)max ＝2＋m ＋1＝3＋m ＝3，∴ m ＝0.
(2) 由(1)得f(x)＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，周期T ＝2π2＝π，在长为π的闭区间内有2个或3个零点．
由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1＝0，得sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12， 2x ＋π6＝2k π＋7π6，k ∈Z 或2x ＋π6＝2k π＋11π6
，k ∈Z ，
所以x ＝k π＋π2或x ＝k π＋5π
6
，k ∈Z .
不妨设a ＝π2，则当b ＝9π＋π
2
时，f(x)在区间[a ，b]上恰有19个零点，当b ＝9π＋
5π6时恰有20个零点，此时b －a 的最小值为9π＋π3＝28π3
.
1. 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2. 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型： ① 形如y ＝asin x ＋bcos x ＋c 的三角函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)；
② 形如y ＝asin 2
x ＋bsin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；
③ 形如y ＝asin xcos x ＋b(sin x ±cos x)＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．
3. 对于形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)，可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．
4. 求函数y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由最高(低)点的纵坐标确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由条件求得y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的解析式一般不惟一，只有限定φ的取值范围，才能得出惟一解．
5. 由y ＝sin x 的图象变换到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，
平移的量是|φ|
ω
(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x 本身
加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．
[备课札记]
第4课时 两角和与差的正弦、余弦和 正切公式(对应学生用书(文)、(理)56～58
页
)
1. 设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，若sin α＝35，则cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________．
答案：
2 解析：∵ α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin α＝35，∴ cos α＝45.
∴ cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π
4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝45×22－35×22＝210. 2. (必修4P 106练习4改编)sin 20°cos 10 °－cos 160°sin 10°＝__________．
答案：12
解析：sin 20°·cos 10°－cos 160°·sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°·sin
10°＝sin 30°＝1
2.
3. (必修4P 109练习8改编)函数y ＝2sin x ＋6cos x 的值域是__________． 答案：[－22，22]
解析：y ＝2sin x ＋6cos x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈[－22，22]．
4. (必修4P 118习题9改编)若α＋β＝π
4
，则(tan α＋1)·(tan β＋1)的值是
________．
答案：2
解析：(tan α＋1)(tan β＋1)＝tan αtan β＋tan α＋tan β＋1＝tan αtan β
＋tan(α＋β)(1－tan αtan β)＋1＝tan αtan β＋tan π
4
·(1－tan αtan β)＋1
＝2.
5. (必修4P 110例6改编)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝110，则tan α
tan β
的值为
________．
答案：32
解析：(解法1)
⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝110⇒⎩
⎪⎨⎪
⎧sin αcos β＝3
10，
cos αsin β＝1
5
，
从而tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝310×5＝32
.
(解法2)设x ＝tan αtan β，∵ sin （α＋β）
sin （α－β）
＝5，
∴ sin （α＋β）cos αcos βsin （α－β）cos αcos β＝tan α＋tan βtan α－tan β＝tan α
tan β＋1
tan αtan β－1
＝x ＋1x －1
＝5. ∴ x ＝32，即tan αtan β ＝32
.
1. 两角差的余弦公式推导过程
设单位圆上两点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，sin β)，则∠P 1OP 2＝α－β(α>β)．
向量a ＝OP 1→＝(cos α，sin α)，b ＝OP 2→
＝(cos β，sin β)，
则a·b ＝|a||b|cos(α－β)＝cos(α－β)，
由向量数量积的坐标表示，可知a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β， 因而cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. 2. 公式之间的关系及导出过程
3. 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； sin(α＋β
)＝sin_αcos_β＋cos_α
sin_β；
tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β；
tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
．
4. asin α＋bcos α＝a 2
＋b 2
sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2
＋b
2
，sin φ＝b a 2
＋b
2
，
tan φ＝b
a .φ的终边所在象限由a ，
b 的符号来决定．
5. 常用公式变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)；
sin α＋cos α＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4； sin α－cos α＝2sin ⎝
⎛⎪⎫α－π4.
[备课札记]
, 1 利用角的
和、差公式进行化简、求值或证明)
, 1) (1) 求值：cos 350°－2sin 160°
sin （－190°）＝__________；
(2) (原创)化简：tan (18°－θ)·sin （12°＋θ）
sin （78°－θ）
＋3[tan (18°－θ)＋tan (12°
＋θ)]＝__________．
答案：(1) 3 (2) 1
解析：(1) 原式＝cos （360°－10°）－2sin （180°－20°）
－sin （180°＋10°）
＝cos 10°－2sin （30°－10°）－（－sin 10°）
＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
12cos 10°－32sin 10°sin 10°
＝ 3.
(2) 原式＝tan(18°－θ)·sin （12°＋θ）
cos （12°＋θ）＋3[tan(18°－θ)＋tan(12°＋θ)]
＝tan(18°－θ)·tan(12°＋θ)＋3tan[(18°－θ)＋(12°＋θ)][1－tan(18°－θ)tan(12°＋θ)]
＝tan(18°－θ)·tan(12°＋θ)＋[1－tan(18°－θ)·tan(12°＋θ)]＝1. 变式训练
(1) (改编题)求4(cos 24°cos 26°－cos 66°sin 26°)－tan 40°的值； (2) 化简：sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)． 解：(1) 原式＝4(sin 66°cos 26°－cos 66°sin 26°)－tan 40°
＝4sin 40°－sin 40°cos 40°＝4cos 40°sin 40°－sin 40°
cos 40°
＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin （120°－40°）－sin 40°cos 40°
＝
3cos 40°＋sin 40°－sin 40°cos 40°＝3cos 40°
cos 40°
＝ 3.
(2) 原式＝sin[(θ＋45°)＋30°]＋cos(θ＋45°)－3·cos[(θ＋45°)－30°]＝
32sin(θ＋45°)＋12cos(θ＋45°)＋cos(θ＋45°)－32cos(θ＋45°)－3
2sin(θ＋
45°)＝0., 2 给值求值、求角问题)
●典型示例
, 2) 已知0＜α＜
π2＜β＜π，tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－7，cos(β－α)＝。