河北省承德市承德县咏曼中学2016届九年级(下)第一次月考数学试卷(解析版)

2015-2016学年河北省承德市承德县咏曼中学九年级（下）第一次月考
数学试卷
一、选择题（本题共6个小题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分）1．计算|﹣9+5|的结果是（）
A．﹣4 B．14 C．4 D．﹣14
2．将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（）
A．B． C．D．
3．在函数y=中，自变量x的取值范围是（）
A．x≥0 B．x＞0 C．x≤0 D．x＜0
4．北京在2015年6月初申办2022冬季奥运会的陈述中表示，若申办成功，这项活动将带动的3.2亿人参与，将3.2亿用科学记数法表示为（）
A．32×107B．3.2×108C．3.2×109D．0.32×1010
5．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（）
A．45°B．40°C．25°D．20°
6．使不等式x﹣1≥2与3x﹣7＜8同时成立的x的整数值是（）
A．3，4 B．4，5 C．3，4，5 D．不存在
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（）
A．（x﹣1）2=0 B．x2+2x﹣19=0 C．x2+4=0 D．x2+x+l=0
9．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=
BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的算术平方根为（）
A．±2 B．C．2 D．4
11．某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙
两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为S
甲2=141.7，S
乙
2=433.3，则产量稳定，适合推广
的品种为（）
A．甲、乙均可B．甲C．乙D．无法确定
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（）
A．4 B．4C．8 D．8
13．某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以（x﹣10）元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（）
A．原价减去10元后再打8折B．原价打8折后再减去10元
C．原价减去10元后再打2折D．原价打2折后再减去10元
14．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）
A．1组B．2组C．3组D．4组
15．如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（）
A．a2+4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．4a2﹣a﹣2
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）
A．2 B．4 C．2D．4
二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分，）
17．计算：2=．
18．已知（39+）×（40+）=a+b，若a是整数，1＜b＜2，则a=．
19．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为．
20．如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数
有．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．化简：，并解答：
（1）当x=1+时，求原代数式的值．
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？为什么？
22．如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．
（1）试说明AE 2+CF 2的值是一个常数；
（2）过点P 作PM ∥FC 交CD 于点M ，点P 在何位置时线段DM 最长，并求出此时DM 的值．
23．瑶寨中学食堂为学生提供了四种价格的午餐供其选择，这四种价格分别是：A ．3元，B ．4元，C ．5元，D ．6元．为了了解学生对四种午餐的购买情况，学校随机抽样调查了甲、乙两班学生某天购买四种午餐的情况，依据统计数据制成如下的统计图表：
甲、乙两班学生购买午餐的情况统计表
（1）求乙班学生人数；
（2）求乙班购买午餐费用的中位数；
（3）已知甲、乙两班购买午餐费用的平均数为4.44元，从平均数和众数的角度分析，哪个班购买的午餐价格较高？
（4）从这次接受调查的学生中，随机抽查一人，恰好是购买C 种午餐的学生的概率是多少？
24．正比例函数y=2x 的图象与反比例函数y=的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直x 轴于点C ，连接BC ．若△ABC 的面积为2．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
25．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=秒时，则OP=，S△ABP=；
（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；
（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ•BP=3．
2015-2016学年河北省承德市承德县咏曼中学九年级（下）第
一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共6个小题，1-10小题，每小题3分，11-16小题，每小题3分，共42分）1．计算|﹣9+5|的结果是（）
A．﹣4 B．14 C．4 D．﹣14
【考点】有理数的加法；绝对值．
【专题】计算题；实数．
【分析】绝对值里边的利用异号两数相加的法则计算，再利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．【解答】解：原式=|﹣4|=4，
故选C
【点评】此题考查了有理数的加法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（）
A．B． C．D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线．
故选A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．在函数y=中，自变量x的取值范围是（）
A．x≥0 B．x＞0 C．x≤0 D．x＜0
【考点】函数自变量的取值范围．
【专题】常规题型．
【分析】分式的分母不为0，偶次根式被开方数大于或等于0．当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
【解答】解：根据题意得到：x＞0，
故选：B．
【点评】本题考查了函数式有意义的x的取值范围．判断一个式子是否有意义，对于分母上有字母的，应考虑字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
4．北京在2015年6月初申办2022冬季奥运会的陈述中表示，若申办成功，这项活动将带动的3.2亿人参与，将3.2亿用科学记数法表示为（）
A．32×107B．3.2×108C．3.2×109D．0.32×1010
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将3.2亿用科学记数法表示为3.2×108．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（）
A．45°B．40°C．25°D．20°
【考点】圆周角定理．
【分析】先由圆周角定理求出∠A与∠ADB的度数，然后根据三角形外角的性质即可求出∠P的度数．
【解答】解：∵和所对的圆心角分别为90°和50°，
∴∠A=25°，∠ADB=45°，
∵∠P+∠A=∠ADB，
∴∠P=∠ADB﹣∠P=45°﹣25°=20°．
故选D．
【点评】此题考查了圆周角定理及三角形外角的性质，解题的关键是：熟记并能灵活应用圆周角定理及三角形外角的性质解题．
6．使不等式x﹣1≥2与3x﹣7＜8同时成立的x的整数值是（）
A．3，4 B．4，5 C．3，4，5 D．不存在
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】先分别解出两个一元一次不等式，再确定x的取值范围，最后根据x的取值范围找出x的整数解即可．
【解答】解：根据题意得：
，
解得：3≤x＜5，
则x的整数值是3，4；
故选A．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】平行线分线段成比例；菱形的判定与性质；作图—基本作图．
【分析】根据已知得出MN是线段AD的垂直平分线，推出AE=DE，AF=DF，求出DE∥AC，DF ∥AE，得出四边形AEDF是菱形，根据菱形的性质得出AE=DE=DF=AF，根据平行线分线段成比例定理得出=，代入求出即可．
【解答】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
∵AF=4，
∴AE=DE=DF=AF=4，
∵DE∥AC，
∴=，
∵BD=6，AE=4，CD=3，
∴=，
∴BE=8，
故选D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，能根据定理四边形AEDF是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．
8．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（）
A．（x﹣1）2=0 B．x2+2x﹣19=0 C．x2+4=0 D．x2+x+l=0
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，进行判断即可．
【解答】解：A、△=0，方程有两个相等的实数根；
B、△=4+76=80＞0，方程有两个不相等的实数根；
C、△=﹣16＜0，方程没有实数根；
D、△=1﹣4=﹣3＜0，方程没有实数根．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
9．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=
BC，连接OE．下列结论：①∠CAD=30°；②S▱ABCD=AB•AC；③OB=AB；④OE=BC，成立的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【专题】压轴题．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠
BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=BC，
∴AE=BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确，
∵AB=BC，OB=BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵CE=BE，CO=OA，
∴OE=AB，
∴OE=BC，故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
10．已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的算术平方根为（）
A．±2 B．C．2 D．4
【考点】二元一次方程组的解；算术平方根．
【分析】由是二元一次方程组的解，根据二元一次方程根的定义，可得，即可求得m与n的值，继而求得2m﹣n的算术平方根．
【解答】解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
解得：，
∴2m﹣n=4，
∴2m﹣n的算术平方根为2．
故选C．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程组的解法以及算术平方根的定义．此题难度不大，注意理解方程组的解的定义．
11．某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙
两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为S
甲2=141.7，S
乙
2=433.3，则产量稳定，适合推广
的品种为（）
A．甲、乙均可B．甲C．乙D．无法确定
【考点】方差．
【分析】首先根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，然后比较出它们的方差的大小，再根据方差越小，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，判断出产量稳定，适合推广的品种为哪种即可．
【解答】解：根据题意，可得甲、乙两种水稻的平均产量相同，
∵141.7＜433.3，
∴S
甲2＜S
乙
2，
即甲种水稻的产量稳定，
∴产量稳定，适合推广的品种为甲种水稻．
故选：B．
【点评】此题主要考查了方差的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（）
A．4 B．4C．8 D．8
【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【分析】求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=60°，
∴∠A=30°．
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=30°，
∴∠DCB=60°﹣30°=30°，
∵BD=2，
∴CD=AD=4，
∴AB=2+4=6，
在△BCD中，由勾股定理得：CB=2，
在△ABC中，由勾股定理得：AC==4，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．
13．某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以（x﹣10）元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（）
A．原价减去10元后再打8折B．原价打8折后再减去10元
C．原价减去10元后再打2折D．原价打2折后再减去10元
【考点】代数式．
【分析】首先根据“折”的含义，可得x变成x，是把原价打8折后，然后再用它减去10元，即是
x﹣10元，据此判断即可．
【解答】解：根据分析，可得
将原价x元的衣服以（x﹣10）元出售，
是把原价打8折后再减去10元．
故选：B．
【点评】此题主要考查了代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确“折”的含义．
14．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）
A．1组B．2组C．3组D．4组
【考点】相似三角形的应用；解直角三角形的应用．
【分析】根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性质，根
据=即可解答．
【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，
①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
③，因为△ABD∽△EFD可利用=，求出AB；
④无法求出A，B间距离．
故共有3组可以求出A，B间距离．
故选C．
【点评】本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．
15．如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（）
A．a2+4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．4a2﹣a﹣2
【考点】平方差公式的几何背景．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据拼成的平行四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
【解答】解：（2a）2﹣（a+2）2
=4a2﹣a2﹣4a﹣4
=3a2﹣4a﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为（）
A．2 B．4 C．2D．4
【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】压轴题．
【分析】过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，根据A，B两点的纵坐标分别为3，1，可得出横坐标，即可求得AE，BE，再根据勾股定理得出AB，根据菱形的面积公式：底乘高即可得出答案．
【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，
∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，
∴A，B横坐标分别为1，3，
∴AE=2，BE=2，
∴AB=2，
=底×高=2×2=4，
S
菱形ABCD
故选D．
【点评】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟记菱形的面积公式是解题的关键．
二、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分，）
17．计算：2=﹣．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】把化为最简二次根式，再利用二次根式的加减运算可求得结果．
【解答】解：
2﹣
=2﹣3
=（2﹣3）
=﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查二次根式的化简和计算，能利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
18．已知（39+）×（40+）=a+b，若a是整数，1＜b＜2，则a=1611．
【考点】有理数的混合运算．
【分析】首先把原式整理，利用整式的乘法计算，进一步根据b的取值范围得出a的数值即可．【解答】解：（39+）×（40+）
=1560+27+24+
=1611+
∵a是整数，1＜b＜2，
∴a=1611．
故答案为：1611．
【点评】此题考查有理数的混合运算，掌握运算的方法和数的估算是解决问题的关键．
19．如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使
AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为3．
【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．
【专题】压轴题．
【分析】先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质得AD=AE=5，∠DAE=∠BAC=60°，CE=BD=6，于是可判断△ADE为等边三角形，得到DE=AD=5；过E点作EH⊥CD于
H，如图，设DH=x，则CH=4﹣x，利用勾股定理得到52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x=，再计算出EH，然后根据正切的定义求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ABD绕A点逆时针旋转得△ACE，
∴AD=AE=5，∠DAE=∠BAC=60°，CE=BD=6，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=5，
过E点作EH⊥CD于H，如图，设DH=x，则CH=4﹣x，
在Rt△DHE中，EH2=52﹣x2，
在Rt△CHE中，EH2=62﹣（4﹣x）2，
∴52﹣x2=62﹣（4﹣x）2，解得x=，
∴EH==，
在Rt△EDH中，tan∠HDE===3，
即∠CDE的正切值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质和解直角三角形．
20．如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有485．
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】由图可以看出：第一个图形中5个正三角形，第二个图形中5×3+2=17个正三角形，第三个图形中17×3+2=53个正三角形，由此得出第四个图形中53×3+2=161个正三角形，第五个图形中161×3+2=485个正三角形．
【解答】解：第一个图形正三角形的个数为5，
第二个图形正三角形的个数为5×3+2=2×32﹣1=17，
第三个图形正三角形的个数为17×3+2=2×33﹣1=53，
第四个图形正三角形的个数为53×3+2=2×34﹣1=161，
第五个图形正三角形的个数为161×3+2=2×35﹣1=485．
如果是第n个图，则有2×3n﹣1个
故答案为：485．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出数字与图形之间的联系，找出规律解决问题．
三、解答题（本大题共6个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．化简：，并解答：
（1）当x=1+时，求原代数式的值．
（2）原代数式的值能等于﹣1吗？为什么？
【考点】分式的化简求值；解分式方程．
【分析】（1）原式括号中两项约分后，利用乘法分配律化简，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值；
（2）先令原式的值为﹣1，求出x的值，代入原式检验即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=[﹣]•
=﹣
=，
当x=1+时，原式==1+；
（2）若原式的值为﹣1，即=﹣1，
去分母得：x+1=﹣x+1，
解得：x=0，
代入原式检验，分母为0，不合题意，
则原式的值不可能为﹣1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
22．如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．
（1）试说明AE2+CF2的值是一个常数；
（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．
【考点】正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，结合∠ABE=∠BCF，证明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数；
（2）设AP=x，则PD=4﹣x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出关于x的一元二次函数，求出DM的最大值．
【解答】解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，
又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，
∴∠ABE=∠BCF，
∵在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
∴AE=BF，
∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数；
（2）设AP=x，则PD=4﹣x，
由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，
∴△PDM∽△BAP，
∴=，
即=，
∴DM==x﹣x2，
当x=2时，即点P是AD的中点时，DM有最大值为1．
【点评】本题主要考查正方形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知识，此题有一定的难度，是一道不错的中考试题．
23．瑶寨中学食堂为学生提供了四种价格的午餐供其选择，这四种价格分别是：A．3元，B．4元，C．5元，D．6元．为了了解学生对四种午餐的购买情况，学校随机抽样调查了甲、乙两班学生某天购买四种午餐的情况，依据统计数据制成如下的统计图表：
甲、乙两班学生购买午餐的情况统计表
（1）求乙班学生人数；
（2）求乙班购买午餐费用的中位数；
（3）已知甲、乙两班购买午餐费用的平均数为4.44元，从平均数和众数的角度分析，哪个班购买的午餐价格较高？
（4）从这次接受调查的学生中，随机抽查一人，恰好是购买C种午餐的学生的概率是多少？
【考点】扇形统计图；统计表；加权平均数；中位数；众数；概率公式．
【分析】（1）由乙班学生购买C午餐的人数为25人，占百分比为：50%，即可求得乙班学生人数；（2）由乙班学生人数共50人，即可求得乙班购买午餐费用的中位数；
（3）由甲、乙两班购买午餐费用的平均数为4.44元，可得甲班购买午餐费用的众数是：购买B午餐：4元；乙班购买午餐费用的众数是：购买C午餐：5元；即可求得答案；
（4）直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵乙班学生购买C午餐的人数为25人，占百分比为：50%，
∴乙班学生人数为：25÷50%=50（人）；
（2）∵乙班学生人数共50人，
∴乙班购买午餐费用的中位数应在25与26人的平均数，
∴乙班购买午餐费用的中位数是：购买C午餐：5元；
（3）∵甲、乙两班购买午餐费用的平均数为4.44元，甲班购买午餐费用的众数是：购买B午餐：4元；乙班购买午餐费用的众数是：购买C午餐：5元；
∴乙班购买的午餐价格较高；
（4）恰好是购买C种午餐的学生的概率是：=．
【点评】本题考查扇形统计图、众数、中位数以及概率公式．注意在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°比．
24．正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC．若△ABC的面积为2．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）首先由正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点，可得O为
线段AB的中点，然后由反比例函数y=的比例系数k的几何意义，可知△AOC的面积等于|k|，从而求出k的值；
（2）先将y=2x与y=联立成方程组，求出A、B两点的坐标，然后分三种情况讨论：①当AD⊥AB时；②当BD⊥AB时；③当AD⊥BD时，去分析求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，
∴A、B两点关于原点对称，
∴OA=OB，
∴△BOC的面积=△AOC的面积=2÷2=1，
又∵A是反比例函数y=图象上的点，且AC⊥x轴于点C，
∴△AOC的面积=|k|，
∴|k|=1，
∵k＞0，
∴k=2．
故这个反比例函数的解析式为y=；
（2）x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形．
将y=2x与y=联立成方程组得：
，
解得：，，
∴A（1，2），B（﹣1，﹣2），
①当AD⊥AB时，如图1，
设直线AD的关系式为y=﹣x+b，
将A（1，2）代入上式得：b=，
∴直线AD的关系式为y=﹣x+，
令y=0得：x=5，
∴D（5，0）；
②当BD⊥AB时，如图2，
设直线BD的关系式为y=﹣x+b，
将B（﹣1，﹣2）代入上式得：b=﹣，
∴直线AD的关系式为y=﹣x﹣，
令y=0得：x=﹣5，
∴D（﹣5，0）；
③当AD⊥BD时，如图3，
∵O为线段AB的中点，
∴OD=AB=OA，
∵A（1，2），
∴OC=1，AC=2，
由勾股定理得：OA==，
∴OD=，
∴D（，0）．
根据对称性，当D为直角顶点，且D在x轴负半轴时，D（﹣，0）．
故x轴上存在一点D，使△ABD为直角三角形，点D的坐标为（5，0）或（﹣5，0）或（，0）
或（﹣，0）．
【点评】此题属于反比例函数综合题．考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法求解析式．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．
25．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；（2）点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4），连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小，可求出直线BA′的解析式，即可得出点P的坐标．
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N
（t，t2﹣t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．
【解答】解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣5），
把点A（0，4）代入上式得：a=，
∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，
∴抛物线的对称轴是：x=3；。