2020届高考数学大二轮复习层级二专题五解析几何第1讲直线与圆教学案

第1讲 直线与圆
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对于直线的考查，主要是求直线的方程；两条直线平行与垂直的判定；两条直线的交点和距离等问题．一般以选择题、填空题的形式考查．对于圆的考查，主要是结合直线的方程，用几何法或待定系数法确定圆的标准方程；对于直线与圆、圆与圆的位置关系等问题，含参数问题为命题热点，一般以选择题、填空题的形式考查，难度不大，涉及圆的解答题有逐渐强化的趋势．
[真题体验]
1．(2018·全国Ⅲ卷)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2
＋y 2
＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )
A ．[2,6]
B ．[4,8]
C ．[2，32]
D ．[22，32]
解析：A [由已知A (－2,0)，B (0，－2)．圆心(2,0)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|2＋0＋2|
2＝22，又圆的半径为 2.∴点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离的最小值为2，最大值为32，又|AB |＝2 2.∴△ABP 面积的最小值为S min ＝12×22×2＝2，最大值为S max ＝1
2×22
×32＝6.]
2．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 解析：C [本题考查直线与圆的位置关系．
点P (cos θ，sin θ)是单位圆x 2
＋y 2
＝1上的点，直线x －my －2＝0过定点(2,0)，当直线与圆相离时，d 可取到最大值，设圆心到直线的距离为d 0，d 0＝21＋m
2
，d ＝d 0＋1＝21＋m
2
＋
1，可知，当m ＝0时，d max ＝3，故选C.]
3．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．
解析：设圆的方程为x 2＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则：
⎩⎪⎨⎪
⎧
F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋0＋2D ＋F ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝－2，
E ＝0，
F ＝0，
则圆的方程为x 2
＋y 2
－2x ＝0. 答案：x 2
＋y 2
－2x ＝0
4．(2018·全国Ⅰ卷)直线y ＝x ＋1与圆x 2
＋y 2
＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.
解析：圆方程可化为x 2
＋(y ＋1)2
＝4，∴圆心为(0，－1)，半径r ＝2，圆心到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝
22
＝2，∴|AB |＝222－d 2
＝24－2＝2 2.
答案：2 2
[主干整合]
1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．两个距离公式
(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|
A 2＋
B 2.
(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2.
3．圆的方程
(1)圆的标准方程：(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .
(2)圆的一般方程：x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2
＋E 2
－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫
－D 2，－E 2，半径为r
＝
D 2＋
E 2－4F
2
.
4．直线与圆的位置关系的判定
(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d ＜r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；
d ＞r ⇔相离．
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离．
热点一 直线的方程及其应用
[例1] (1)(2020·大连模拟)“a ＝2”是“直线ax ＋y －2＝0与直线2x ＋(a －1)y ＋4＝0平行”的( )
A ．充要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
[解析] A [由ax ＋y －2＝0与直线2x ＋(a －1)y ＋4＝0平行，得a (a －1)＝2，∴a ＝－1，a ＝2.经检验当a ＝－1时，两直线重合(舍去)．∴“a ＝2”是“直线ax ＋y －2＝0与直线2x ＋(a －1)y ＋4＝0平行”的充要条件．]
(2)(2020·厦门模拟)过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点
P (0,4)的距离为2的直线方程为________________．
[解析] 由⎩⎪⎨
⎪⎧
x －2y ＋3＝0，
2x ＋3y －8＝0，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，y ＝2.
所以l 1与l 2的交点为(1,2)，当所求直线的
斜率不存在时，所求直线为x ＝1，显然不符合题意．
故设所求直线的方程为y －2＝k (x －1)， 即kx －y ＋2－k ＝0，
因为P (0,4)到所求直线的距离为2，所以2＝|－2－k |1＋k 2
，所以k ＝0或k ＝4
3. 所以所求直线的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. [答案] y ＝2或4x －3y ＋2＝0
(3)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i ＝1,2,3.
①记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q 1，Q 2，Q 3中最大的是________． ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p 1，p 2，p 3中最大的是________．
[解析] 设，线段A 1B 1的中点
为E 1(x 1，y 1)，则Q 1＝＝2y 1.。