山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测(一模)数学(理科)试题

山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测（一模）
数学（理科）试题
2013.3
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}{}
1,1,124x A B x =-=≤<，则A B ⋂等于 A.{}1,0,1- B.{}1
C.{}1,1-
D.{}0,1
【答案】B
{}124{02}x B x x x =≤<=≤<，所以{1}A B ⋂=，选B.
2.复数31
1i i
-+（i 为虚数单位）的模是
B.
C.5
D.8
【答案】A
31(31)(1)24
121(1)(1)2
i i i i
i i i i ---+===+++-，所以
31121i i i -=+=+ A. 3.如果椭机变量(
)()2
1,,310.4N P ζσζ---≤≤-=且，则()1P ζ≥等于
A.0.4
B.0.3
C.0.2
D.0.1
【答案】D 因
为
()()311
10.
P P ζζ-≤≤-=-≤≤=
，
所以()()()1311110.40.4
10.122
P P P ζζζ--≤≤---≤≤--≥=
==，选D.
4.下列结论错误．．
的是 A.命题“若2
340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若2
4,340x x x ≠--≠则”
B.“4x =”是“2
340x x --=”的充分条件
C.命题“若0m >，则方程2
0x x m +-=有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若22
0m n +=，则00m n ==且”的否命题是“若2
2
0.00m n m n +≠≠≠则或”
【答案】C
命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为“若方程2
0x x m +-=有实根，则0m >”。

若方程2
0x x m +-=有实根，则140m ∆=+≥，解得14m ≥-。

所以1
4
m ≥-时，不一定有0m >，所以C 错误。

5.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是
A.4
B.5
C.6
D.7
【答案】B
第一次35116,1n k =⨯+==；
第二次168,22n k ===；第三次8
4,32
n k ===；第四次42,42n k =
==；第五次2
1,52
n k ===此时满足条件输出5k =，选B. 6.当4
x π=
时，函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数34y f x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
是 A.奇函数且图像关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 B.偶函数且图像关于点(),0π对称 C.奇函数且图像关于直线2
x π=
对称
D.偶函数且图像关于点,02π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 【答案】C 当4
x π=
时，函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值，即
2,42
k k Z π
π
ϕπ+=-
+∈，即
32,4k k Z π
ϕπ=-
+∈，所以()()3s i n ()04
f x A x A π=->，所以
333()s i n ()s i n 444y f x A x A x πππ=-=--=-，所以函数为奇函数且图像关于直线2
x π=对
称，选C.
7.在,2ABC AB ∆∠=中,A=60，且ABC ∆的面积为2
，则BC 的长为
B.3
D.7
【答案】A
11sin 60222S AB AC AC =⨯⋅=⨯=
，所以
1
AC =，所以
2
2
2
2c o s 63B
C
A B
A C A
B A C
=+-⋅,，所以BC =,选A. 8.已知(
)
1,6,2a b a b a ==⋅-=则向量a b 与的夹角为 A.
2
π B.
3
π
C.
4
π D.
6
π 【答案】B
2
()2a b a a b a ⋅-=⋅-=，所以3a b ⋅=，所以31cos ,162a b a b a b
⋅<>=
=
=⨯，所以,3
a b π<>=，选B.
9.若,,0,a b R ab ∈>且则下列不等式中，恒成立的是
A.a b +≥
B.11
a b +> C.2b a a b +≥ D.22
2a b ab +> 【答案】C
因为0ab >，所以
0,0b a
a b
>>，即2b a a b +≥=，所以选C. 10.设函数()()3
402f x x x a a =-+<<有三个零点1x 、x 2、x 3，且123,x x x <<则下列结论正确的
是 A.11x >-
B.20x <
C.32x >
D.201x <<
【答案】D
∵函数()()3
402f x x x a a =-+<<，
∴f ′（x ）=3x 2
﹣4．令f ′（x ）=0，得 x=±
．
∵当x <'()0f x >；在(上，'()0f x <；在)+∞上，'()0f x >．故
函数在(,3-∞-
）上是增函数，在(33-上是减函数，在()3
+∞上是增函数．故
(3f -
是极大值，(3
f 是极小值．再由f （x ）的三个零点为x 1，x 2，x 3，且123,x x x <<得 x 1＜﹣
，﹣
＜x 2
，x 3＞． 根据f （0）=a ＞0，且f （）=a ﹣
＜0，得
＞x 2＞0．
∴0＜x 2＜1．选D.
11.直线(
)
2
110x a y +++=的倾斜角的取值范围是 A.0,
4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B.3[
,)4
π
π C.0,
,42πππ⎡⎤⎛⎫
⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
D.3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫
⋃⎪⎪⎢
⎢⎣⎭⎣⎭
【答案】B
直线的斜截式方程为221111y x a a =-
-++，所以斜率为211k a =-+，即21
tan 1a α=-+，所以1tan 0α-≤<，解得34παπ≤<，即倾斜角的取值范围是3[,)4
π
π，选B. 12.设奇函数()[]1,1f x -在上是增函数，且()11f -=-，若函数，()2
21f x t at ≤-+对所有的
[]1,1x ∈-都成立，则当[]1,1a ∈-时t 的取值范围是
A.22t -≤≤
B.11
22t -
≤≤ C.202t t t ≤-=≥或或
D.11
022
t t t ≤-=≥或或
【答案】C
因为奇函数()[]1,1f x -在上是增函数，且()11f -=-，所以最大值为(1)1f =，要使
()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-都成立，则2121t a t ≤-+，即220t at -≥，即
(2)0
t t a -≥，当0t =时，不等式成立。

当01a ≤≤时，不等式的解为22t a ≥≥。

当10a -≤≤时，不等式的解为22t a ≤≤-。

综上选C.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置. 13.从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数，这个数可以构成等差数列的概率为 ▲ . 【答案】
25
从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种。

则3个数能构成等差数列的有，
1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种，所以这个数可以构成等差数列的概率为
42
105
=。

14.二项式6
213x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，常数项等于 ▲ （用数字作答）.
【答案】1215
展开式的通项公式为666316621(3)
(
)3k
k
k k k k
k T C x C x x
---+==，由630k -=得2k =，所以常数项为423631215T C ==。

15.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为5的球O 的球面上，且8,AB BC ==则棱锥O ABCD -的体积为 ▲ .
【答案】
=
=1
83
⨯=。

16.设双曲线
22
1x y m n
+=的离心率为2，且一个焦点与抛物线28x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为 ▲ .
【答案】2
2
13
x y -=
抛物线的焦点坐标为(0,2)，所以双曲线的焦点在y 轴上且2c =，所以双曲线的方程为
22
1y x
n m -=-，即220,0a n b m =>=->，所以a =2c e a ==
，解得1n =，所以2
2
2
413b c a =-=-=，即3,3m m -==-，所以双曲线的方程为2
2
13
x y -=。

三、解答题：
17.（本小题满分12分）
设等比数列{}n a 的前n 项和为,415349,,,n S a a a a a =-成等差数列. （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）证明：对任意21,,,k k k R N S S S +
++∈成等差数列.
18.（本小题满分12分）
已知()sin
,,3,cos ,,334x x m A A n f x m n f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫
===⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎭⎝⎭
且 （1）求A 的值； （II ）设α、()()30780,
,3,3,cos 21725f f πβαπβπαβ⎡⎤
⎛
⎫∈+=-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭求的值.
19.（本小题满分12分）
如图在多面体ABCDEF 中，ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB//ED ，且AD=DE=2BF=2. （I ）求证：AC EF ⊥；
（II ）求二面角C —EF —D 的大小；
（III ）设G 为CD 上一动点，试确定G 的位置使得BG//平面CEF ，
并证明你的结论.
20.（本小题满分12分）
某产品按行业生产标准分成6个等级，等级系数ξ依次为1，2，3，4，5，6，按行业规定产品的等级系数5ξ≥的为一等品，35ξ≤<的为二等品，3ξ<的为三等品.
若某工厂生产的产品均符合行业标准，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一
个样本，数据如下；
（I ）以此30件产品的样本来估计该厂产品的总体情况，试分别求出该厂生产原一等品、二等品和三等品的概率；
（II ）已知该厂生产一件产品的利润y （单位：元）与产品的等级系数ζ的关系式为1,32,354,5y ξξξ<⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
，
若从该厂大量产品中任取两件，其利润记为Z ，求Z 的分布列和数学期望.
21.（本小题满分13分）
已知椭圆22
1:
1164
y x C +=，椭圆C 2以C 1的短轴为长轴，且与C 1有相同的离心率. （I ）求椭圆C 2的方程；
（II ）设直线l 与椭圆C 2相交于不同的两点A 、B ，已知A 点的坐标为()2,0-，点()00,Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ⋅=，求直线l 的方程.
22.（本小题满分13分）
已知函数()()
()()2
01,10.x
f x ax bx c e f f =++==且
（I ）若()f x 在区间[]0,1上单调递减，求实数a 的取值范围；
（II ）当a=0时，是否存在实数m 使不等式()2
24141x
f x xe mx x x +≥+≥-++对任意x R ∈恒成
立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.。