北师大版初中数学九年级上学期《4.7 相似三角形的性质》同步练习卷

北师大新版九年级上学期《4.7 相似三角形的性质》
同步练习卷
一．选择题（共15小题）
1．下列说法中不正确的是（）
A．相似多边形对应边的比等于相似比
B．相似多边形对应角平线的比等于相似比
C．相似多边形周长的比等于相似比
D．相似多边形面积的比等于相似比
2．如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（）
A．2：3B．3：2C．6：4D．9：4
3．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（）A．cm B．cm C．cm D．cm
4．如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（）
A．87°B．60°C．75°D．120°
5．两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是（）
A．3：2B．3：2C．9：4D．27：8
6．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为4：25，则△ABC与△DEF 周长之比为（）
A．4：25B．2：5C．5：2D．25：4
7．一个三角形的三条边长分别为：5，12，13，把这个三角形的三条边长同时扩大到原来的2倍，那么这个三角形的形状为（）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．无法确定形状
8．两个相似三角形的对应边的比为4：9，则它们的面积比为（）A．2：3B．9：4C．16：81D．81：16
9．如果两个相似三角形对应高的比是4：9，那么它们的面积比是（）A．4：9B．2：3C．16：81D．9：4
10．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为（）
A．2B．4C．8D．32
11．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为（）
A．9：1B．1：9C．3：1D．1：3
12．已知△ABC∽△A1B1C1且面积之比为1：3，则边长AB：A1B1的值为（）A．1：3B．1：9C．1：D．：1
13．两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）
A．：B．2：3C．4：9D．8：27
14．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
15．已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）
A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9
二．解答题（共28小题）
16．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α、∠β的大小和EH的长度．
17．一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
18．如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB＝BE，求BC与AB的比值．
19．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝4，S△AOC＝36，求
（1）AO的长．
（2）求S
．
△BOD
20．如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC ＝75°，∠ABC＝40°．
求：（1）∠ADE和∠AED的度数；
（2）DE的长．
21．已知，如图，△ABC中，AC＝4、BC＝3、AB＝5．若△ABC∽△A′B′C′，且A′B′＝15．求△A′B′C′的周长及∠C′的度数．
22．如图，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE∽△ACB，且DE＝4，BC＝12，AC＝8，求AD的长．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？
（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG＝BC吗？
（3）DG＝5cm，试求△AEF的周长．
24．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E．
（1）求CE的长；
（2）P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q．
①如果△ACQ∽△CPQ，求CP的长；
②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长．
25．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．（1）求∠APB的大小．
（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．
26．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．
27．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝6cm，EC＝3cm，BC＝6cm，∠BAC＝∠C＝47°．
（1）求∠AED和∠ADE的大小；
（2）求DE的长．
28．如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，AC＝4.8，CD＝1.6，BC＝
9.3．
（1）求CE的长；
（2）求证：BC⊥AD．
29．如图，已知△ABC∽△DEC，∠D＝45°∠ACB＝60°，AC＝3cm，BC＝4cm，CE＝6cm．求：（1）∠B的度数；
（2）AD的长．
30．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．
（1）AB＝；
（2）当∠D＝20°时，求∠BOD的度数．
（3）若△ACD与△BCO相似，求AC的长．
31．已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝35°．
（1）求∠ADE和∠AED的度数；
（2）求DE的长．
32．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；
（2）点F是OC边上一点，若△FBC∽△DEB，求点F的坐标．
33．如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A ＝58°，求AB、OC的长和∠D的度数．
34．如图，已知△ABC中，AB＝20，BC＝14，AC＝12，△ADE与△ACB相似，∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE的长．
35．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，△AEF∽△ABC．
（1）求证：△AED≌△AFD；
（2）若BC＝2AD，求证：四边形AEDF是正方形．
36．如图，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC．（1）求∠BAD的大小；（2）求CD的长．
37．如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△P AD与△PBC是相似三角形，求AP的长．
38．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝4，求AO 和AB的长．
39．已知△ABC中．AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边A′C′＝50cm，求△A′B′C′的周长和面积．
40．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC上的点D与AB交于点E，连接DE，若E是AB的中点．
（1）求D点的坐标；
（2）点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求BF的解析式．
41．已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1＝∠2＝∠3．
42．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝5cm，EC＝3cm，BC＝7cm，∠BAC＝45°，∠C＝40°．
（1）求∠AED和∠ADE的大小；
（2）求DE的长．
43．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝5cm，EC＝3cm，BC＝6cm，∠BAC＝∠C＝40°．
（1）求∠AED和∠ADE的大小；
（2）求DE的长．
北师大新版九年级上学期《4.7 相似三角形的性质》
同步练习卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．下列说法中不正确的是（）
A．相似多边形对应边的比等于相似比
B．相似多边形对应角平线的比等于相似比
C．相似多边形周长的比等于相似比
D．相似多边形面积的比等于相似比
【分析】根据相似多边形的性质判断即可．
【解答】解：若两个多边形相似可知：①相似多边形对应边的比等于相似比；
②相似多边形对应角平线的比等于相似比
③相似多边形周长的比等于相似比，
④对应面积的比等于相似比的平方，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形对应边的比相等、应面积的比等于相似比的平方．
2．如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（）
A．2：3B．3：2C．6：4D．9：4
【分析】根据相似多边形的对应高之比等于相似比、面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，
∴相似比为3：2，
∴五边形ABCDE和五边形FGHIJ的面积比是9：4，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应高之比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．
3．若四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD与A′D′分别是对应边，AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，则A′D′等于（）A．cm B．cm C．cm D．cm
【分析】直接利用相似多边形的性质，得出对应边成比例进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，AB与A′B′，AD 与A′D′分别是对应边，
∴＝，
∵AB＝8cm，A′B′＝6cm，AD＝5cm，
∴＝，
则A′D′＝．
故选：B．
【点评】此题主要考查了相似多边形的性质，正确得出对应边关系是解题关键．4．如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（）
A．87°B．60°C．75°D．120°
【分析】根据相似多边形的对应角相等求出∠1的度数，根据四边形内角和等于360°计算即可．
【解答】解：∵两个四边形相似，
∴∠1＝138°，
∵四边形的内角和等于360°，
∴∠α＝360°﹣60°﹣75°﹣138°＝87°，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．
5．两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是（）
A．3：2B．3：2C．9：4D．27：8
【分析】由两个相似三角形，其相似比3：2，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：因为两个三角形的相似比是3：2，则其面积之比是9：4；
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方．
6．若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为4：25，则△ABC与△DEF 周长之比为（）
A．4：25B．2：5C．5：2D．25：4
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出△ABC与△DEF 的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵相似三角形△ABC与△DEF面积的比为4：25，
∴它们的相似比为2：5，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．
7．一个三角形的三条边长分别为：5，12，13，把这个三角形的三条边长同时扩大到原来的2倍，那么这个三角形的形状为（）
A．直角三角形B．锐角三角形
C．钝角三角形D．无法确定形状
【分析】直接利用勾股定理的逆定理分析得出答案．
【解答】解：∵一个三角形的三条边长分别为：5，12，13，把这个三角形的三条边长同时扩大到原来的2倍，
∴扩大后三角形三边长分别为：10，24，26，
∵102+242＝676，
262＝676，
∴102+242＝262，
∴这个三角形的形状为直角三角形．
故选：A．
【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理，正确把握勾股定理的逆定理是解题关键．
8．两个相似三角形的对应边的比为4：9，则它们的面积比为（）A．2：3B．9：4C．16：81D．81：16
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解．
【解答】解：∵两个相似三角形的对应边的比为4：9，
∴它们的面积比为16：81．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
9．如果两个相似三角形对应高的比是4：9，那么它们的面积比是（）A．4：9B．2：3C．16：81D．9：4
【分析】相似三角形对应高的比等于相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题；
【解答】解：∵两个相似三角形对应高之比为4：9，
∴它们的相似比为4：9，
∴面积比＝（）2＝16：81．
故选：C．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
10．已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为（）
A．2B．4C．8D．32
【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比求解即可．
【解答】解：设△DEF的周长为x，
∵△ABC∽△DEF，相似比为2，
∴16：x＝2：1，
解得，x＝8．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键．
11．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为（）
A．9：1B．1：9C．3：1D．1：3
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方计算．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，
∴△ABC与△DEF的相似比为3，
∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，
∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
12．已知△ABC∽△A1B1C1且面积之比为1：3，则边长AB：A1B1的值为（）A．1：3B．1：9C．1：D．：1
【分析】根据相似三角形的面积比求出相似比，根据相似三角形的性质得到答案．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且面积之比为1：3，
∴它们的相似比为1：
∴△ABC和△A′B′C′的对应边AB和A′B′的比为1：，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比
的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．
13．两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）
A．：B．2：3C．4：9D．8：27
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3，
∴其面积之比是4：9，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
14．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．
【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，
根据题意，得：＝，
解得：x＝4.5，
即另一个三角形的最长边长为4.5cm，
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
15．已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）
A．1：1B．1：3C．1：6D．1：9
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可．
【解答】解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，
则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的
关键．
二．解答题（共28小题）
16．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α、∠β的大小和EH的长度．
【分析】观察图形，根据相似多边形的对应角相等可得出α＝∠C＝83°，∠A ＝∠E＝118°，再根据四边形的内角和等于360°可计算求出β的大小，然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出EH的长度x．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°，
在四边形EFGH中，∠β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°，
∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴EH：AD＝EF：AB，
∴x：21＝24：18，
解得x＝28，
∴EH＝28cm．
【点评】本题考查了相似多边形的对应角相等，对应边成比例的性质，四边形的内角和等于360°，熟记性质与公式是求解的关键．
17．一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【分析】（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；
（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）由已知得MN＝AB＝2，MD＝AD＝BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似，＝，
∴DM•BC＝AB•MN，即BC2＝4，
∴BC＝2，即它的另一边长为2；
（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴＝，
∵AB＝CD＝2，BC＝4，
∴DF＝＝1，
∴矩形EFDC的面积＝CD•DF＝2×1＝2．
【点评】本题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边的比相等．也考查了矩形的面积．
18．如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB＝BE，求BC与AB的比值．
【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可．【解答】解：∵矩形ABCD∽矩形ECDF，
∴＝，即＝，
∴BC2﹣BC•AB﹣CD2＝0，
解得，BC＝CD，
∵BC、CD是正数，
∴＝．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键．
19．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝4，S△AOC＝36，求
（1）AO的长．
．
（2）求S
△BOD
【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例即可解决问题；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题；
【解答】解：（1）∵△OBD∽△OAC，
∴＝＝，∵OB＝4，
∴OA＝6．
（2）∵△OBD∽△OAC，
∴＝（）2，
＝36，
∵S
△AOC
＝16．
∴S
△OBD
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC ＝75°，∠ABC＝40°．
求：（1）∠ADE和∠AED的度数；
（2）DE的长．
【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝65°，根据相似三角形的对应角相等即可得到结论；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝65°，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝40°，∠AED＝∠ACB＝65°；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴＝，
∵AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，
∴＝，
∴DE＝8（cm）．
【点评】本题考查了相似三角形对应角相等，对应边成比例的性质，准确找出对应边与对应角是解题的关键．
21．已知，如图，△ABC中，AC＝4、BC＝3、AB＝5．若△ABC∽△A′B′C′，且A′B′＝15．求△A′B′C′的周长及∠C′的度数．
【分析】求出AC2+BC2＝AB2，推出∠C＝90°，根据△ABC∽△A′B′C′，且A′B′＝15，即可得到△A′B′C′的周长及∠C′的度数．
【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴AC2+BC2＝25＝AB2，△ABC的周长为12，
∴∠C＝90°，
∵△ABC∽△A′B′C′，且A′B′＝15，
∴相似比＝＝，∠C＝∠C'，
∴△ABC的周长为12×3＝36，∠C的度数为90°．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理的逆定理的应用，注意：如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．22．如图，D、E分别是AB、AC上的点，△ADE∽△ACB，且DE＝4，BC＝12，AC＝8，求AD的长．
【分析】直接利用相似三角形的性质得出＝，进而得出答案．
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
解得：AD＝．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出比例式是解题关键．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB边上的垂直平分线与AB、BC交于点D、E，AC边上的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，
（1）△AEF是什么形状？你能证明吗？
（2）连结DG，你能根据学过的相似三角形的知识证明DG＝BC吗？
（3）DG＝5cm，试求△AEF的周长．
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠B＝∠C＝30°，再利用垂直平分线的性质得BE＝AE，AF＝CF，则∠EAB＝∠B＝30°，∠F AC ＝∠C＝30°，然后根据三角形的外角性质可求出∠AEF＝∠AFE＝60°，于是可判断△AEF为等边三角形；
（2）由D是AB中点、G是AC中点知DG是△ABC中位线，据此可得．（3）利用AE＝BE，AF＝CF可得AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10cm，从而可确定△AEF的周长．
【解答】解：（1）△AEF为等边三角形．
理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴BE＝AE，AF＝CF，
∴∠EAB＝∠B＝30°，∠F AC＝∠C＝30°，
∴∠AEF＝2∠B＝60°，∠AFE＝2∠C＝60°，
∴△AEF为等边三角形；
（2）∵D是AB中点、G是AC中点，
∴DG是△ABC中位线，
∴DG＝BC；
（3）∵DG＝5，
∴BC＝2DG＝10，
∵AE＝BE，AF＝CF，
∴AE+EF+AF＝BE+EF+CF＝BC＝10cm，
∴△AEF的周长为10cm．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段中垂线的性质、中位线定理、等腰三角形的性质与等边三角形的判定．
24．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E．
（1）求CE的长；
（2）P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q．
①如果△ACQ∽△CPQ，求CP的长；
②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长．
【分析】（1）设CE＝x，则AE＝BE＝x+2，依据勾股定理即可得到；（2）①依据△ACE∽△PCA，即可得到AC2＝CE•CP，即，进而得到；
②分两种情况讨论：若两圆外切，那么，此时方程无实数解；若
两圆内切，那么，即可得到．
【解答】解：（1）∵AE∥CD，
∴＝，
∵BC＝DC，
∴BE＝AE，
设CE＝x，则AE＝BE＝x+2，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+CE2＝AE2，即32+x2＝（x+2）2，∴，即；
（2）①∵△ACQ∽△CPQ，∠QAC＞∠P，∴∠ACQ＝∠P，
又∵AE∥CD，
∴∠ACQ＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠P，
∴△ACE∽△PCA，
∴AC2＝CE•CP，即，
∴；
②设CP＝t，则，
∵∠ACB＝90°，
∴，
∵AE∥CD，
∴，
即＝＝，
∴，
若两圆外切，那么，
此时方程无实数解；
若两圆内切，那么，
∴15t2﹣40t+16＝0，
解之得，
又∵t＞，
∴．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程等知识，解题的关键是利用相似三角形的对应边成比例解决问题．
25．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB．（1）求∠APB的大小．
（2）说明线段AC、CD、BD之间的数量关系．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠PCD＝60°，根据相似三角形的性质得到∠APC＝∠PBD，根据三角形内角和定理计算；
（2）根据相似三角形的性质、等边三角形的性质解答．
【解答】解：（1）∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD＝60°，
∴∠A+∠APC＝60°，
∵△ACP∽△PDB，
∴∠APC＝∠PBD，
∴∠A+∠B＝60°，
∴∠APB＝120°；
（2）∵△ACP∽△PDB，
∴＝，
∴CD2＝AC•BD．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质、等边三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．
26．如图，D、E分别是AC、AB上的点，△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，求AE、BE的长．
【分析】由△ADE∽△ABC，且DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵DE＝4，BC＝12，CD＝9，AD＝3，
∴AC＝ADD+CD＝12，
∴AE＝4，AB＝9，
∴BE＝AB﹣AE＝5．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用是解此题的关键．
27．如图，已知△ABC∽△ADE，AE＝6cm，EC＝3cm，BC＝6cm，∠BAC＝∠C＝47°．
（1）求∠AED和∠ADE的大小；
（2）求DE的长．
【分析】（1）根据相似三角形的对应角相等、三角形内角和定理计算；
（2）根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△ADE，
∴∠AED＝∠C＝47°，
∠ADE＝180°﹣∠BAC﹣∠AED＝86°；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴＝，即＝，
解得，DE＝4（cm）．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、对应角相等是解题的关键．
28．如图，BC，AD相交于点C，△ABC∽△DEC，AC＝4.8，CD＝1.6，BC＝
9.3．
（1）求CE的长；
（2）求证：BC⊥AD．
【分析】（1）根据相似三角形的性质解答即可；
（2）根据相似三角形的性质和平角的定义解答即可．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△DEC，
∴
又∵AC＝4.8，CD＝1.6，BC＝9.3
∴EC＝3.1；
（2）∵△ABC∽△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠ACB+∠DCE＝180°，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴BC⊥AD．
【点评】此题考查相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的性质解答．29．如图，已知△ABC∽△DEC，∠D＝45°∠ACB＝60°，AC＝3cm，BC＝4cm，CE＝6cm．求：（1）∠B的度数；
（2）AD的长．
【分析】（1）直接利用相似三角形对应角相等进而得出答案；
（2）直接利用相似三角形的对应边成比例进而得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△DEC，
∴∠B＝∠E，∠A＝∠D＝45°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠B＝180°﹣60°﹣45°＝75°；
（2）∵△ABC∽△DEC，
∴＝，
∵AC＝3cm，BC＝4cm，CE＝6cm，
∴＝，
∴DC＝（cm），
故AD＝3+＝（cm）．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出掌握相似三角形的性质是解题关键．
30．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．
（1）AB＝2；
（2）当∠D＝20°时，求∠BOD的度数．
（3）若△ACD与△BCO相似，求AC的长．
【分析】（1）过点O作OE⊥AB于E，由垂径定理即可求得AB的长；
（2）连接OA，由OA＝OB，OA＝OD，可得∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D，则可求得∠DAB的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得∠DOB的度数；
（3）由∠BCO＝∠A+∠D，可得要使△ACD与△BCO相似，只能∠DCA＝∠BCO ＝90°，然后由相似三角形的性质即可求得答案．
【解答】解：（1）过点O作OE⊥AB于E，
则AE＝BE＝AB，∠OEB＝90°，
∵OB＝2，∠B＝30°，
∴BE＝OB•cos∠B＝2×＝，
∴AB＝2；
故答案为：2；
（2）连接OA，
∵OA＝OB，OA＝OD，
∴∠BAO＝∠B，∠DAO＝∠D，
∴∠DAB＝∠BAO+∠DAO＝∠B+∠D，
又∵∠B＝30°，∠D＝20°，
∴∠DAB＝50°，
∴∠BOD＝2∠DAB＝100°；
（3）∵∠BCO＝∠A+∠D，
∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D，
∴要使△ACD与△BCO相似，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，
此时∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，
∴∠DAC＝60°，
∴△DAC∽△BOC，
∵∠BCO＝90°，
即OC⊥AB，
∴AC＝AB＝．
∴若△ACD与△BCO相似，AC的长度为．
【点评】此题考查了垂径定理，圆周角的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．题目综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．
31．已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，AD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝35°．
（1）求∠ADE和∠AED的度数；
（2）求DE的长．
【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∠C，再根据相似三角形对应角相等解答；
（2）根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝35°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝180°﹣75°﹣35°＝70°，
∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝35°，∠AED＝∠C＝70°；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴AB：AD＝BC：DE，
即30：18＝20：DE，
解得DE＝12cm．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和定理，主要利用了相似三角形对应角相等，对应边成比例的性质．
32．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），反比例函数y＝（k＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求反比例函数的表达式及点E的坐标；
（2）点F是OC边上一点，若△FBC∽△DEB，求点F的坐标．
【分析】（1）根据题意首先得出D点坐标，进而得出函数关系式，进而得出E
点坐标答案；
（2）直接利用相似三角形的判定方法分解析得出答案．
【解答】解：（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），
∴BC＝2，
∵点D为BC的中点，
∴CD＝1，
∴点D的坐标为（1，3），
代入双曲线y＝（x＞0）得：k＝1×3＝3；
∴反比例函数的表达式y＝，
∵BA∥y轴，
∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2，
∵点E在双曲线上，
∴y＝，
∴点E的坐标为（2，）；
（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），∴BD＝1，BE＝，BC＝2，
∵△FBC∽△DEB，
∴＝，
即：＝，
∴FC＝，
∴点F的坐标为（0，）．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质以及反比例函数图象上的性质和矩形的性质等知识，正确应用相似三角形的性质是解题关键．
33．如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A ＝58°，求AB、OC的长和∠D的度数．
【分析】先根据OA＝2，AD＝9求出OD的长，再根据△AOB∽△DOC即可得出＝＝，再把已知数据代入进行计算即可．
【解答】解：∵OA＝2，AD＝9，
∴OD＝9﹣2＝7，
∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝＝，
∵OA＝2，OB＝5，DC＝12，
∴＝＝，
解得OC＝，AB＝，
∵△AOB∽△DOC，
∴∠D＝∠A＝58°．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和，对顶角相等，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
34．如图，已知△ABC中，AB＝20，BC＝14，AC＝12，△ADE与△ACB相似，
∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE的长．
【分析】根据相似三角形的性质即可求出AD、AE的长度．
【解答】解：∵△ADE与△ACB相似，
∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴，
∴
∴AD＝
∵
∴
∴AE＝
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质，本题属于基础题型．
35．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，△AEF∽△ABC．
（1）求证：△AED≌△AFD；
（2）若BC＝2AD，求证：四边形AEDF是正方形．
【分析】（1）根据相似三角形的性质得到＝，根据AB＝AC，得到AE＝AF，利用HL定理证明；
（2）根据等腰三角形的性质得到BC＝2BD，得到BD＝AD，根据正方形的判定定理证明．
【解答】（1）证明：∵△AEF∽△ABC，
∴＝，
∵AB＝AC，
∴AE＝AF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD；
（2）证明：∵Rt△AED≌Rt△AFD，
∴∠EAD＝∠F AD，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，BC＝2BD，
∵BC＝2AD，
∴BD＝AD，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝45°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝90°，
∵∠AED＝∠AFD＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵AE＝AF，
∴矩形AEDF是正方形．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定，掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
36．如图，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC．（1）求∠BAD的大小；（2）求CD的长．
【分析】（1）根据相似三角形的对应角相等结合图形解答．
（2）根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABC∽△DAC，
∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝153°．
（2）∵△ABC∽△DAC，
∴，
又AC＝4，BC＝6，
∴CD＝＝；
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等、对应边的比相等是解题的关键．
37．如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△P AD与△PBC是相似三角形，求AP的长．
【分析】由AD∥BC，∠ABC＝90°，易得∠P AD＝∠PBC＝90°，又由AB＝8，AD＝3，BC＝4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x，然后分别从△APD∽△BPC与△APD∽△BCP去分析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°．
∵AD∥BC，
∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，
∴∠P AD＝∠PBC＝90°．
AB＝8，AD＝3，BC＝4，
设AP的长为x，则BP长为8﹣x．
若AB边上存在P点，使△P AD与△PBC相似，那么分两种情况：
①若△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，即x：（8﹣x）＝3：4，
解得x＝；
②若△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，即x：4＝3：（8﹣x），
解得x＝2或x＝6．
所以AP＝或AP＝2或AP＝6．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意利用分类讨论思想求解是关键．38．如图，AB与CD相交于点O，△OBD∽△OAC，＝，OB＝4，求AO 和AB的长．
【分析】由相似比可求得OA的长，再利用线段的和可求得AB长．
【解答】解：
∵△OBD∽△OAC，
∴＝＝，
∴＝，解得OA＝6，
∴AB＝OA+OB＝4+6＝10．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．
39．已知△ABC中．AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边A′C′＝50cm，求△A′B′C′的周长和面积．
【分析】根据△ABC中，AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，可得△ABC的周长和面积，利用最长边可求得两三角形的相似比，再根据周长比等于相似比，
可求得△A′B′C′的周长，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，可得△A′B′C′的面积．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝15cm，BC＝20cm，AC＝25cm，
∴△ABC的周长＝60cm，AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积＝×15×20＝150cm2，
∵△ABC∽△A′B′C′，且△ABC中最长边为25cm，△A′B′C′的最长边长为50cm，
∴相似比为，
∴＝，即＝，
＝120cm，
解得C
△A′B′C′
∵＝（）2，
∴＝，
＝600cm2．
解得S
△A′B′C′
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
40．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC上的点D与AB交于点E，连接DE，若E是AB的中点．
（1）求D点的坐标；
（2）点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求BF的解析式．。