三角变换的诀窍

三角变换的诀窍
——解题思路探索
贵定一中 许维发
三角是高中数学的一个重要组成部分，也是历年高考的必考点。

一个三角问题往往包含有不同名的三角函数和不同的角、不同结构的式子，所以三角变换比代数变换更趋复杂。

正因为如此，三角变换比代数变换更具有多样性，方法也更加灵活，思路也更开阔。

然而，三角变换也并非无规律可循、诀窍可探。

本文借以几个实例阐明三角变换的一些诀窍，同时也希望广大读者能在解题思路方面获得一些益处。

诀窍一：化繁为简
化繁为简是作任何数学变换都应遵循的基本规律，在三角变换中更是不能例外。

三角变换中的化繁为简是指：化复角为单角；化不同角为同角；化不同名函数为同名函数；化高次为低次；化多项式为单项式；化无理式为有理式；化分式为整式等。

例1、0
000008sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin -+的值为 。

分析：本题主要考查利用正弦、余弦、正切的差角或半角公式求值，式中出现的角是具体的70、80、150，但又非特殊角，故需灵活运用三角公式将式子化简、推算，以此考查观察、分析和运算能力。

非特殊角的三角函数式的求值，在不查表的情况下，一般应利用三角公式将式子化简，转化为特殊角的三角函数进行计算，故应通过观察，找出题中非特殊角与特殊角之间的联系，当然观察的结果不一，
计算方法也可能不一样。

本题的三个非特殊角有如下关系：
①150=2
1X300=450-300 ②70+80+150=300
解法1：原式=000000008
sin 15sin )815cos(8sin 15cos )815sin(--+-=00008cos 15cos 28cos 15sin 2 =3230cos 130sin 15cos 215cos 15sin 200
0200-=+= 解法2：原式=000000000023cos 7cos 23sin 7sin )7cos 23(cos 2
17cos )7sin 23(sin 217sin ++=-+-+ =3230tan 45tan 130tan 45tan )3045tan(15tan 8cos 15cos 28cos 15sin 20
00
00000000-=+==-==•• 例2、求值：0200080sin 2)]10tan 31(10sin 50sin 2[•++
分析：虽然500、100、800都不是特殊角，但它们的和是600、900都是特殊角，故可设法利用和角公式求出它们的函数值。

此外由于含正切，故化后出现分式，有望通过约分去掉非特殊角的三角函数达到求值的目的。

解法1：原式=[2sin(600-100)+sin100(1+3tan100)]·)1090(sin 2002- =0200
0010cos 2)10cos 10sin 310sin 10sin 10cos 3(++- =0000210cos 210cos 10sin 310cos 3+ =62)10sin 10(cos 30202=+
解法2：原式=000
00
080sin 2)10cos 10sin 310cos 10sin 50sin 2(++ =（2sin500+2sin100000
010cos 2)10
cos 10sin 2310cos 2
1+
=)]1060cos(10sin 10cos 50[sin 2200000-+ =62322)1050sin(2200=⨯
=+ 诀二：解除差异
三角函数式的“差异”主要表现在：已知与未知；条件与结论；左端与右端；各项的次数、角、函数名称、结构等等。

特别要时刻考虑的是：已经得到的式子和所想要得到的式子之间还存在哪些差异？如何沟通？选择什么样的公式来解除差异？树立作三角变换的这种目标意识是学习三角变换重点培养的一种能力。

例1、已知x x x x x tan 1sin 22sin ,471217,53)4cos(2-+<<=+求πππ
的值 分析：需要探求x x x tan 1sin 22sin 2-+如何用cos(4
π+x)来表示，第一步当然还是要化简。

解：x x x x x x x x x x x x x tan 4tan 1tan 4tan 2sin tan 1tan 12sin tan 1)cos sin 1(2sin tan 1sin 22sin 2ππ-+=-+=-+=-+ =sin2xtan()4x +π
又：sin2x=-cos(2x+)2π=-cos2(4
π+x) =4
71217257]1)53(2[]1)4(cos 2[22πππ<<=-⨯-=-+-x ：x 且， πππ24
35<+<x ∴34)4tan(-+x π ∴原式=sin2xtan()4x +π=75
28)34(257-=-⨯ 注：灵活变形2sin 2x=x
x x x x x x cos sin 2sin cos sin cos sin 2=， )4
tan(tan 1tan 1x x x +=-+π是常用的变形式，须掌握。

例2、已知α、β均为锐角，且17cos α+13cos β=17,17sin α
=13sin β,求βα
+2的值。

分析：解决本题，初看起来，
似无头绪，但只要认真分析，揭
示条件与结论的具体特征，便可找到解题的突破口。

下面从求
βα
+2的余弦值，
以及借问题的几何背景这两方面给出问题的两种不同的解法。

解法1：由已知的两个等式，可分别得到：
)2cos(,sin 1317sin ),cos 1(1317cos βααβαβ+=-=
又=βαβαsin 2
sin cos 2cos - =ααααsin 13
172sin )cos 1(13172cos •--• =)2
sin sin 2cos (cos 13172cos 1317ααααα+• 0)2cos(13172cos 1317=--ααα 同时因为α、β均为锐角，故)43,0(2πβα∈+综上可知22πβα=+ 解法2：由已知条件不难看出，本题有一种很形象的几何背景：构造等腰三角形△ABC ，使得AB=AC=17，BC=13，不妨设∠A=α，∠B=∠C=β（如图所示），过B 点作AC 的垂线BD 交AC 于D 点，则有AD+DC=AC ，即17cos α+13cos β=17,又17sin α=BD=13sin β。

故等腰三角形△ABC 就是满足题设的一个三角形。

(见下图)
由图形直观有：α+2β=22πβαπ=+即，
注：充分揭示问题的内涵，把问题进行有效地变形和转化，对解决一个数学问题是十分重要的。

实践证明，只要牢固掌握上述两种“诀窍”，就会正确把握三角
变换的方向，使你在作三角变换的过程中就少走或不走弯路，并且使你遇到的三角问题迎刃而解。