山东省聊城市庆云县渤海中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

山东省聊城市庆云县渤海中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知等差数列中，，公差，若
，，则数列的前项和的最大值为
π5π10π15π
参考答案：
D
2. 从5个不同的小球中选4个放入3个箱子中，要求第一个箱子放入1个小球，第二个箱子放入2个小球，第三个箱子放入1个小球，则不同的放法共有（）
A．120种B．96种C．60种D．48种
参考答案：
C
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】使用分步乘法计数原理计算．
【解答】解：第一步，从5个不同的小球中选4个，共有=5种不同的方法；
第二步，从选出的4个小球中选出1个放入第一个箱子，共有=4种不同的方法；
第三步，从剩余的3个小球中选出2个放入第二个箱子，共有=3种不同的方法；
第四步，将最后1个小球放入第三个箱子，共有=1种不同的方法．
故不同的放法共有5×4×3×1=60种．
故选C．
【点评】本题考查了组合数公式，分步乘法计数原理，属于中档题．
3. 在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若，则角C的值为
（）A．B．C．或D．或
参考答案：
A
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；解三角形．
【分析】利用余弦定理表示出cosC，将已知等式代入求出cosC的值，即可确定出C的度数．
【解答】解：∵△ABC中，a2+b2﹣c2=ab，
∴cosC==，
则C=，
故选：A．
【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
4.
已知= a ,且函数y=a++c在上存在反函数，则（）
A、 B、
C、 D、
参考答案：
答案:C
5.
A. B. C. D.
参考答案：
C
6. 已知抛物线的焦点到准线的距离为, 且上的两点关于直线对称, 并且, 那么= ( )
A. B. C.
2 D. 3
参考答案：
A
7. 命题“?x＞0，≥0”的否定是（）
A．?x≤0，＜0 B．?x＞0，＜0 C．?x＞0，0≤x＜2 D．?x＞0，0＜x＜2参考答案：
C
【考点】2J：命题的否定．
【分析】根据已知中的原命题，结合全称命题否定的方法，可得答案．
【解答】解：命题“?x＞0，≥0”的否定是?x＞0，0≤x＜2
故选：C
【点评】本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，难度不大，属于基础题．
8. 若复数z＝（3﹣6i）（1+9i），则（）
A. 复数z的实部为21
B. 复数z的虚部为33
C. 复数z的共轭复数为57﹣21i
D. 在复平面内，复数z所对应的点位于第二象限
参考答案：
C
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数的基本概念逐一核对四个选项得答案．【详解】解：∵复数z＝（3﹣6i）（1+9i）＝57+21i．
∴复数z的实部为57，虚部为21，复数z的共轭复数为57-21i，
在复平面内，复数z所对应的点的坐标为（57，21），位于第一象限．
故选：C．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念. 9. 已知二面角为，，，A为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值
为
（）
A．B．C．D．
参考答案：
B.
10. 已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点A，B，，抛物线的准线l与x轴交于点C，AM⊥l于点M，则四边形AMCF的面积为().
A. B. C. D.
参考答案：
A
设直线的方程为，
与联立可得
，，
，，
则，
可得，
四边形的面积为
，故选A.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=x2﹣1，若f（x0）=，则x 0= ．
参考答案：﹣
【考点】3L：函数奇偶性的性质．
【分析】利用奇函数的定义求出f（x）的解析式，令f（x0）=得到方程解得．
【解答】解：因为f（x）是奇函数，由x∈（0，1）时，f（x）=x2﹣1，当x∈（﹣1，0）时，f （x）=﹣x2+1，
所以时，．
故答案为：﹣．
12. 给出下列命题：
①已知命题：，命题：，则命题为真；
②函数在定义域内有且只有一个零点；
③数列满足：，且，则；
④设，则的最小值为.
其中正确命题的序号是____________.
参考答案：
略
13. 已知盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为．
参考答案：
．
【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【解答】解：
易得共有3×3=9种等可能的结果，两次记下的数字之和为2的有3种，所以概率是．
故答案为．
14. 若曲线上点P处的切线平行于直线，则点P的坐标是__________
参考答案：
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B11
解析：设P（x，y），则y=e﹣x，∵y′=﹣e﹣x，在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，∴﹣e﹣x=﹣2，解得x=﹣ln2，∴y=e﹣x=2，故P．
故答案为：．
【思路点拨】先设P（x，y），对函数求导，由在在点P处的切线与直线2x+y+1=0平行，求出x，最后求出y．
15. 现有五张连号的电影票分给甲、乙、丙三人，每人至少一张,其中有两人各分得两张连号的电影票，则不同的分法有种（用数字作答）.
参考答案：
16. 如图是函数的图像的一部分，若图像的最高点的纵坐标为
则
b+c= 。

参考答案：
略
17. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标
是．
参考答案：
2
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|=3，则P到准线的距离也为3，即x+1=3，即可求出x．
【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，
∴p=2，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|PF|=x+1=3，
∴x=2，
故答案为：2．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分15分）已知函数．
（Ⅰ）当时，求在点处的切线方程；
（Ⅱ）若对于任意的，恒有成立，求的取值范围．
参考答案：
（Ⅰ）当时，∴
∴
∵
∴在点处的切线方程为：．
（Ⅱ）∵∴
令，则
∴在
上
∵，当时，∴存在，使，且在上，在上
∵∴，即
∵对于任意的，恒有成立
∴∴
∴∴∴
∵∴
令，而，当时，
∴存在，使
∵在上，∴
∴
∵在上∴
∴
∴．
19. 设斜率不为0的直线l与抛物线交于A，B两点，与椭圆交于C，D两点，记直线OA，OB，OC，OD的斜率分别为.
（Ⅰ）求证：的值与直线l的斜率的大小无关；
（Ⅱ）设抛物线的焦点为F，若，求面积的最大值.
参考答案：
解：（Ⅰ）设直线l：，，，，．
联立和，得，则，，
，
联立和得，
在的情况下，
，，
，
所以是一个与k无关的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，而由得
得m=4（m=0显然不合题意），
此时，，，
，点到直线的距离，
所以，
（求面积的另法：将直线l与y轴交点（0,4）记为E，则
，也可得到）
设，则，
当且仅当，即时，有最大值．
20. 已知为半圆的直径，，为半圆上一点，过点作半圆的切线，
过点作于，交圆于点，．
（Ⅰ）求证：平分；
（Ⅱ）求的长．
参考答案：
解：（Ⅰ）连结，因为，所以，………2分
因为为半圆的切线，所以，又因为，所以∥，所以，，所以平分． (4)
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，……6分
连结，因为四点共圆，，所以，
所以，所以．………10分
略
21. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F 分别为AB和PD中点．
（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．
参考答案：
考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（Ⅰ）首先利用中点引出中位线，进一步得到线线平行，再利用线面平行的判定定理得到结论．
（Ⅱ）根据直线间的两两垂直，尽力空间直角坐标系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值．
解答：解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．
∵点F为PD中点，
∴．
∵点E为AB的中点．
∴，
又AE∥FM，∴四边形AEMF为平行四边形，
∴AF∥EM，
∵AF?平面PEC，EM?平面PEC，
∴直线AF∥平面PEC．
（Ⅱ）已知∠DAB=60°，
进一步求得：DE⊥DC，
则：建立空间直角坐标系，
则 P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），A（，﹣，0），B（，，0）．
所以：，．设平面PAB的一个法向量为：，．∵，
则：，
解得：，
所以平面PAB的法向量为：
∵，
∴设向量和的夹角为θ，
∴cosθ=，
∴PC平面PAB所成角的正弦值为．
点评：本题考查的知识要点：线面平行的判定的应用，空间直角坐标系的建立，法向量的应用，线面的夹角的应用，主要考查学生的空间想象能力和应用能力．
22. （本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知动点到两个定点，
的距离的和为定值．
求点运动所成轨迹的方程；
设为坐标原点，若点在轨迹上，点在直线上，且，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．
参考答案：(1) (2) 直线与圆相切
考点：由椭圆定义求椭圆方程，直线与圆的位置关系。