山东省菏泽市部分市县2022-2023学年数学九年级第一学期期末经典试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．抛物线y＝x2+6x+9与x轴交点的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图，矩形AOBC，点C在反比例
2
y
x
=的图象上，若1
OB=，则OA的长是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下列四个几何体中，主视图与俯视图不同的几何体是（）
A．B．
C．D．
4．如图是用围棋棋子在6×6的正方形网格中摆出的图案，棋子的位置用有序数对表示，如A点为（5，1），若再摆一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（）
A．黑（1，5），白（5，5）B．黑（3，2），白（3，3）
C．黑（3，3），白（3，1）D．黑（3，1），白（3，3）
5．下列图案中，是中心对称图形的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A ．摸出的是3个白球
B ．摸出的是3个黑球
C ．摸出的是2个白球、1个黑球
D ．摸出的是2个黑球、1个白球 7．方程224x x -﹣1＝12x +的解是（ ） A ．﹣1
B ．2或﹣1
C ．﹣2或3
D ．3 8．若反比例函数3k y x -=
的图象在每一条曲线上y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（ ） A ．3k > B ．3k < C ．03k << D ．3k ≤
9．若B A ∠∠、均为锐角，且11sin cos 22A B =
=，，则（ ）. A ．60A B ∠=∠=︒
B ．30A B ==︒∠∠
C ．6030A B ∠=︒∠=︒，
D ．3060A B ∠=︒∠=︒，
10．某校数学课外小组，在坐标纸上为某湿地公园的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点P k （x k ，y k ）处，
其中x 1＝1，y 1＝1，且k≥2时，111255121555k k k k k k x x k k y y --⎧--⎡⎤⎡⎤=+-⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎨⎛⎫
--⎡⎤⎡⎤⎪=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎩
，[a]表示非负实数a 的整数部分，例如[2.3]＝2，
413⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，[1.5]＝1．按此方案，第2119棵树种植点的坐标应为（ ） A ．(6，2121) B ．(2119，5) C ．(3，413) D ．(414，4)
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，反比例函数3(0)y x x
=-<的图象经过点 A ，过 A 作 x 轴垂线，垂足是 B C ，是 y 轴上任意一点，则ABC ∆的面积是_________．
12．把所有正整数从小到大排列，并按如下规律分组：(1)、(2，3)、(4，5，6)、(7，8，9，10)、……，若A n =(a ，b )表示正整数n 为第a 组第b 个数(从左往右数)，如A 7=(4，1)，则A 20=______________．
13．反比例函数y ＝k x 的图象经过点（﹣2，3），则k 的值为_____． 14．定义{},,a b c 为函数2y ax bx c =++的“特征数”如：函数2
32y x x =++的“特征数”是{}1,3,2，函数24y x =-的“特征数”是{}1,0,4-，在平面直角坐标系中，将“特征数”是{}2,0,4的函数的图象向下平移3个单位，再向右平移1个单位，得到一个新函数，这个新函数的“特征数”是_______.
15．已知tan （α+15°）= 33
，则锐角α的度数为______°． 16．如图，五边形ABCDE 是正五边形，若12l l //，则12∠-∠=__________．
17．如图，在平面直角坐标系中，函数y kx =与2y x =-
的图象交 于,A B 两点，过A 作y 轴的垂线，交函数4y x
=的图象于点C ,连接BC ，则ABC ∆的面积为_______.
18．把抛物线2y x =-向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式是__________.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，四边形ABCE 内接于O ，AB 是O 的直径，点D 在AB 的延长线上，延长AE 交BC 的延长线于点F ，点C 是BF 的中点，BCD CAE ∠=∠．
（1）求证：CD 是O 的切线；
（2）求证：CEF ∆是等腰三角形；
（3）若1BD =，2CD =，求cos CBA ∠的值及EF 的长．
20．（6分）如图1，点A 是ｘ轴正半轴上的动点，点B 的坐标为（0，4），M 是线段AB 的中点．将点M 绕点A 顺时针方向旋转900得到点C ，过点C 作ｘ轴的垂线，垂足为F ，过点B 作ｙ轴的垂线与直线CF 相交于点E ，点D 是点A 关于直线CF 的对称点．连结AC ，BC ，CD ，设点A 的横坐标为ｔ，
（1）当ｔ=2时，求CF 的长；
（2）①当ｔ为何值时，点C 落在线段CD 上；
②设△BCE 的面积为S ，求S 与ｔ之间的函数关系式；
（3）如图2，当点C 与点E 重合时，将△CDF 沿ｘ轴左右平移得到C'D'F'∆，再将A ，B ，C',?
D'为顶点的四边形沿C'F'剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出符合上述条件的点C'坐标，
21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，﹣4）．
（1）请在图中，画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；
（2）以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的
12
，得到△A 2B 2C 2，请在图中y 轴右侧，画出△A 2B 2C 2，并求出∠A 2C 2B 2的正弦值．
22．（8分）随着私家车的增多，“停车难”成了很多小区的棘手问题.某小区为解决这个问题，拟建造一个地下停车库.如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，入口处斜坡AB 的坡角为20︒，水平线
12,, 1.5AC m CD AC CD m =⊥=.根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所驾车辆能否
安全驶入.请求出限制高度为多少米，(结果精确到 0.1m ，
参考数据：200.34sin ≈，200.94cos ≈，200.36tan ≈)．
23．（8分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC ∥BD ，交AD 于点E ，连结BC ．
（1）求证：AE=ED ；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求AC 的长．
24．（8分）如图，港口B 位于港口A 的南偏西30︒方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正东方向D 处，它沿正北方向航行15km 到达E 处，侧得灯塔C 在北偏西45︒方向上.求此时海轮距离港口A 有多远？
25．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．
（1）已知原抛物线表达式是2
25y x x =-+，求它的“影子抛物线”的表达式；
（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是25y x =-+，求原抛物线的表达式； （3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y 轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y 轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．
26．（10分）某公司2017年产值2500万元，2019年产值3025万元
（1）求2017年至2019年该公司产值的年平均增长率；
（2）由（1）所得结果，预计2020年该公司产值将达多少万元？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据题意，求出b 2﹣4ac 与0的大小关系即可判断.
【详解】∵b 2﹣4ac ＝36﹣4×
1×9＝0 ∴二次函数y ＝x 2+6x +9的图象与x 轴有一个交点．
故选：B ．
【点睛】
此题考查的是求二次函数与x轴的交点个数，掌握二次函数与x轴的交点个数和b2﹣4ac的符号关系是解决此题的关键.
2、B
【分析】根据OB的长度即为点C的横坐标，代入反比例函数的解析式中即可求出点C的纵坐标，即BC的长度，再根据矩形的性质即可求出OA．
【详解】解：∵1
OB=
∴点C的横坐标为1
将点C的横坐标代入
2
y
x
=中，解得y=2
∴BC=2
∵四边形AOBC是矩形
∴OA=BC=2
故选B．
【点睛】
此题考查的是根据反比例函数解析式求点的坐标和矩形的性质，掌握根据反比例函数解析式求点的坐标和矩形的性质是解决此题的关键．
3、C
【分析】根据正方体的主视图与俯视图都是正方形，圆柱横着放置时，主视图与俯视图都是长方形，球体的主视图与俯视图都是圆形，只有圆锥的主视图与俯视图不同进行分析判定．
【详解】解：圆锥的主视图与俯视图分别为圆形、三角形，
故选：C．
【点睛】
本题考查简单的几何体的三视图，注意掌握从不同方向看物体的形状所得到的图形可能不同．
4、D
【分析】利用轴对称图形以及中心对称图形的性质即可解答．
【详解】如图所示：黑（3，1），白（3，3）．
【点睛】
此题主要考查了旋转变换以及轴对称变换，正确把握图形的性质是解题关键．
5、C
【解析】根据中心对称图形的概念即可得出答案.
【详解】A选项中，不是中心对称图形，故该选项错误；
B选项中，是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项错误；
C选项中，是中心对称图形，故该选项正确；
D选项中，不是中心对称图形，故该选项错误.
故选C
【点睛】
本题主要考查中心对称图形，掌握中心对称图形的概念是解题的关键.
6、A
【解析】由题意可知，不透明的袋子中总共有2个白球，从袋子中一次摸出3个球都是白球是不可能事件，故选B.
7、D
【分析】找到最简公分母，去分母后得到关于x的一元二次方程，求解后，再检验是否有增根问题可解.
【详解】解：去分母得2x﹣（x2﹣4）＝x﹣2，
整理得x2﹣x﹣6＝0，
解得x1＝1，x2＝-2，
检验：当x＝1时，x2﹣4≠0，所以x＝1是原方程的解；当x＝-2时，x2﹣4＝0，所以x＝2是原方程的增根，
所以原方程的解为x＝1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了可化为一元二次方程的分式方程的解法，解答完成后要对方程的根进行检验，判定是否有增根产生. 8、A
【分析】根据反比例函数的图象和性质，当反比例函数y
3
k
x
-
=的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，可
知，k﹣1＞0，进而求出k＞1．
【详解】∵反比例函数y
3
k
x
-
=的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，
∴k﹣1＞0，
故选：A．【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质，对于反比例函数y
k
x
=，当k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k
＜0时，在每个象限内，y随x的增大而增大．9、D
【解析】根据三角函数的特殊值解答即可．
【详解】解：∵∠B，∠A均为锐角，且sinA=1
2
，cosB=
1
2
，
∴∠A=30°，∠B=60°．
故选D．
【点睛】
本题考查特殊角的三角函数值．
10、D
【分析】根据已知分别求出1≤k≤5时，P点坐标为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5），当6≤k≤11时，P点坐标为（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5），通过观察得到点的坐标特点，进而求解．
【详解】解：由题可知1≤k≤5时，P点坐标为（1，1）、（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5），
当6≤k≤11时，P点坐标为（2，1）、（2，2）、（2，3）、（2，4）、（2，5），
……
通过以上数据可得，P点的纵坐标5个一组循环，
∵2119÷5＝413…4，
∴当k＝2119时，P点的纵坐标是4，横坐标是413+1＝414，
∴P（414，4），
故选：D．
【点睛】
本题考查点的坐标和探索规律；能够理解题意，通过已知条件探索点的坐标循环规律是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、3 2
【分析】连接OA，根据反比例函数中k的几何意义可得
3
2
ABO
S
∆
=，再根据等底同高的三角形的面积相等即可得出结
论
【详解】解：连接OA ，
∵反比例函数3(0)y x x
=-<的图象经过点 A ， ∴32
ABO S ∆=
； ∵过 A 作 x 轴垂线，垂足是 B ； ∴AB//OC
∴ABC ∆和ABO ∆等底同高; ∴32ABC ABO
S S ∆∆； 故答案为：
32 【点睛】
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义、等底同高的三角形的面积，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键
12、 (6，5)
【分析】通过新数组确定正整数n 的位置，A n =(a ，b )表示正整数n 为第a 组第b 个数(从左往右数)，
所有正整数从小到大排列第n 个正整数，第一组（1），1个正整数，第二组（2,3）2个正整数，第三组（4,5,6）三个正整数，…，这样1+2+3+4+…+a> n ，而1+2+3+4+…+(a -1)<n ，能确第a 组a 个数从哪一个是开起，直到第b 个数(从左往右数)表示正整数n
A 7表示正整数7按规律排1+2+3+4=10>7，1+2+3=6<7，说明7在第4组，第四组应有4个数为（7,8,9,10）而7是这组的第一个数，为此P 7=（4,1），
理解规律A 20，先求第几组排进20，1+2+3+4+5+6=21>20，由1+2+3+4+5=15，第六组从16开始，按顺序找即可．
【详解】A 20是指正整数20的排序，按规律1+2+3+4+5+6=21>20，说明20在第六组，而1+2+3+4+5=15<20，第六组从16开始，取6个数即第六组数（16，17，18，19，20，21），从左数第5个数是20，故A 20=（6，5）． 故答案为：（6，5）．
【点睛】
本题考查按规律取数问题，关键是读懂An=（a ，b ）的含义，会用新数组来确定正整数n 的位置．
13、-1
【解析】将点（−2，3）代入解析式可求出k 的值．
【详解】把（−2，3）代入函数y ＝
k x 中，得3＝k 2-，解得k ＝−1． 故答案为−1．
【点睛】
主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式．先设y ＝
k x
，再把已知点的坐标代入可求出k 值，即得到反比例函数的解析式．
14、{}2,4,3-
【分析】首先根据“特征数”得出函数解析式，然后利用平移规律得出新函数解析式，化为一般式即可判定其“特征数”.
【详解】由题意，得
“特征数”是{}2,0,4的函数的解析式为224y x =+， 平移后的新函数解析式为()222143243y x x x =-+-=-+
∴这个新函数的“特征数”是{}2,4,3-
故答案为：{}2,4,3-
【点睛】
此题主要考查新定义下的二次函数的平移，解题关键是理解题意.
15、15
【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．
【详解】解：tan （α+15°） ∴α+15°=30°,
∴α=15°
故答案是15
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键．
16、72
【解析】分析：延长AB 交2l 于点F ，根据12//l l 得到∠2=∠3,根据五边形ABCDE 是正五边形得到∠FBC=72°,最后
根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.
详解：延长AB 交2l 于点F ，
∵12//l l ，
∴∠2=∠3，
∵五边形ABCDE 是正五边形，
∴∠ABC=108°,
∴∠FBC=72°,
∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°
故答案为：72°
. 点睛：此题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.
17、6
【分析】根据正比例函数y=kx 与反比例函数2y x
=-
的图象交点关于原点对称，可得出A 、B 两点坐标的关系，根据垂直于y 轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A 、C 两点坐标的关系，设A 点坐标为（x ，-2x ），表示出B 、C 两点的坐标，再根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】∵正比例函数y=kx 与反比例函数2y x
=-
的图象交点关于原点对称， ∴设A 点坐标为(x,−2x ),则B 点坐标为(−x, 2x ),C(−2x,−2x
)， ∴S ABC =12×(−2x−x)⋅(− 2x −2x )=12×(−3x)⋅(−4x )=6. 故答案为6.
【点睛】
此题考查正比例函数的性质与反比例函数的性质，解题关键在于得出A 、C 两点.
18、2
y -x 2=+
【分析】根据题意直接运用平移规律“左加右减，上加下减”，在原式上加2即可得新函数解析式即可．
【详解】解：∵2y x =-向上平移2个单位长度，
∴所得的抛物线的解析式为2y -x 2=+．
故答案为2y -x 2=+．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）见解析；（3）5cos 5
CBA ∠=，65=EF 【分析】（1）根据圆的切线的定义来证明，证∠OCD=90°即可；
（2）根据全等三角形的性质和四边形的内接圆的外角性质来证；
（3）根据已知条件先证△CDB ∽△ADC ，由相似三角形的对应边成比例，求CB 的值,然后求求cos CBA ∠的值；连结BE,在Rt △FEB 和Rt △AEB 中，利用勾股定理来求EF 即可．
【详解】解：（1）如图1，连结OC ，
AB 是O 的直径，AC BF ∴⊥，
又点C 是BF 的中点，AC AC =
ACB ACF ∴∆≅∆．
CAB CAE ∴∠=∠
OC OA =，CAB OCA ∴∠=∠
又BCD CAE ∠=∠
BCD OCA ∴∠=∠
OCD OCB BCD OCB OCA ∴∠=∠+∠=∠+∠
90ACB =∠=︒
CD ∴是O 的切线
图1
（2）四边形ABCE 内接于O ，
FEC CBA ∴∠=∠
ACB ACF ∆≅∆．
∴F FBA =∠∠
F FEC ∴∠=∠，
FC EC ∴=
即CEF ∆是等腰三角形
（3）如图2，连结BE ，
设OC x =，EF y =，
在Rt OCD ∆中，222OC CD OD +=
2222(1)x x ∴+=+
1.5x ∴=，3AB ∴=
由（1）可知BCD CAB ∠=∠，又D D ∠=∠
DCB DAC ∴∆∆， 12BC BD AC CD ∴== 在Rt ACB ∆中，222AC CB AB +=
355
BC EC FC ∴===， 5cos 5
BC CBA AB ∴∠==， AB 是O 的直径，BE AF ∴⊥，
2222AB AE BF EF ∴-=-
即222263(3)55y y ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭
解得65
EF y == 图2
【点睛】
本题考查了圆的切线、相似三角形的性质、勾股定理的应用，解本题关键是找对应的线段长．
20、（2）CF=2；（2
）①t 2=；②()()2213t t 40<t 842S 13t t 4t>84
2⎧-++≤⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩；（3）点C'的坐标为：（22，2），（8，2），（2，2）．
【分析】（2）由Rt △ABO ∽Rt △CAF 即可求得CF 的长．
（2）①点C 落在线段CD 上，可得Rt △CDD ∽Rt △BOD ，从而可求ｔ的值．
②由于当点C 与点E 重合时，CE=2，t OA 8==，因此，分0<t 8≤和t>8两种情况讨论．
（3）分三种情况作出图形讨论即可得到答案.
【详解】解：（2）当ｔ=2时，OA=2，
∵点B （0，2），
∴OB=2．
又∵∠BAC=900，AB=2AC ，
∴Rt △ABO ∽Rt △CAF ． ∴AF CF 1422
==， CF=2．
（2）①当OA=ｔ时，
∵Rt △ABO ∽Rt △CAF ， ∴1CF t,AF 22
==． ∴FD 2,AF t 4==+．
∵点C 落在线段CD 上，
∴Rt △CDD ∽Rt △BOD ． ∴1t 22
t 44
=+， 整理得2t 4t 160+-=．
解得12t 2,t 2==-（舍去）．
∴当t 2=时，点C 落在线段CD 上．
②当点C 与点E 重合时，CE=2，可得t OA 8==．
∴当0<t 8≤时，()211113S BE CE t 24t t t 422242⎛⎫=⋅=+-=-++ ⎪⎝
⎭；
当t>8时，211113S BE CE (t 2)t 4t t 42224
2⎛⎫=⋅=+-=-- ⎪⎝⎭． 综上所述，S 与ｔ之间的函数关系式为()()2213t t 40<t 842S 13t t 4t>84
2⎧-++≤⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩． （3）（3）点C'的坐标为：（22，2），（8，2），（2，2）．理由如下：
如图2，当F'C'=A'F'时，点F'的坐标为（22，0），
根据C'D'F'AHF'∆∆≌，BC'H ∆为拼成的三角形，此时点C'的坐标为（22，，2）．
如图2，当点F'与点A 重合时，点F'的坐标为（8，0），
根据OC'A BAC'≌∆∆，OC'D'∆为拼成的三角形，此时点C'的坐标为（8，，2）．
如图3，当BC'=F'D'时，点F'的坐标为（2，0），
根据BC'H D'F'H ∆∆≌，AF'C'∆为拼成的三角形，此时点C'的坐标为（2，，2）．
∴点C'的坐标为：（22，2），（8，2），（2，2）．
21、（1）见解析（2）1010
【解析】试题分析：（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置，再利用锐角三角三角函数关系得出答案．
试题解析：（1）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；
（2）如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求，由图形可知，∠A 2C 2B 2=∠ACB ，过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D ，由A （2，2），C （4，﹣4），B （4，0），易得D （4，2），故AD=2，CD=6，AC==，
∴sin ∠ACB===，即sin ∠A 2C 2B 2=．
考点：作图﹣位似变换；作图﹣平移变换；解直角三角形．
22、2.6米．
【分析】根据锐角三角函数关系得出CF 以及DF 的长，进而得出DE 的长即可得出答案．
【详解】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，延长CD 交AB 于点F ．
在△ACF 中，∠ACF=90°，∠CAF=20°，AC=12， ∴CF tan CAF AC
∠=， ∴tan 20120.36 4.32CF AC =︒≈⨯=(m)，
∴ 4.32 1.5 2.82DF CF CD =-=-=(m)，
在△DFE 中，90902070DFE CAF ∠∠=︒-=︒-︒=︒，
又∵DE ⊥AB ，
∴907020FDE ∠=︒-︒=︒， ∴DE cos FDE DF
∠=， ∴ 2.8220 2.820.94 2.65 2.6DE DF cos FDE cos ∠==⨯︒≈⨯=≈(m)，
答: 地下停车库坡道入口限制高度约为2.6m ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，主要是余弦、正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
23、（1）证明见解析；（2）2AC π=
【详解】分析：（1）根据平行线的性质得出∠AEO=90°，再利用垂径定理证明即可；
（2）根据弧长公式解答即可．
详证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°
， ∵OC ∥BD ，
∴∠AEO=∠ADB=90°
， 即OC ⊥AD ，
∴AE=ED ；
（2）∵OC ⊥AD ，
∴AC BD = ，
∴∠ABC=∠CBD=36°
， ∴∠AOC=2∠ABC=2×
36°=72°， ∴AC =7252180
ππ⨯=． 点睛：此题考查弧长公式，关键是根据弧长公式和垂径定理解答． 24、海轮距离港口A 的距离为15330+
【分析】过点C 作CF ⊥AD 于点F ，设CF=x ，根据正切的定义用x 表示出AF ，根据等腰直角三角形的性质用x 表示出EF ，根据三角形中位线定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解:如图，过点C 作CF AD ⊥于点F ．
设CF x ＝，表示出3EF x AF x ＝，＝
利用//CF BD ，求出AF DF ＝
315x x =+
求出15315x =+ 求出15330AE =
答：海轮距离港口A 的距离为330．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
25、（1）23y x =+；（2）2
(1)4y x =-++或2
(2)1y x =--+；（3）结论成立，理由见解析 【分析】（1）设影子抛物线表达式是2y x n =+，先求出原抛物线的顶点坐标，代入2y x n =+，可求解； （2）设原抛物线表达式是2()y x m k =-++，用待定系数法可求m ，k ，即可求解；
（3）分别求出两个抛物线的顶点坐标，即可求解．
【详解】解：（1）原抛物线表达式是22
25(1)4y x x x =-+=-+ ∴原抛物线顶点是(1,4)，
设影子抛物线表达式是2y x n =+，
将(1,4)代入2y x n =+，解得3n =，
所以“影子抛物线”的表达式是23y x =+；
（2）设原抛物线表达式是2()y x m k =-++，
则原抛物线顶点是(,)m k -，
将(,)m k -代入25y x =-+，得2()5m k --+=①，
将(1,0)代入2()y x m k =-++，20(1)m k =-++②，
由①、②解得1114m k =⎧⎨=⎩，22
21m k =-⎧⎨=⎩． 所以，原抛物线表达式是2(1)4y x =-++或2
(2)1y x =--+；
（3）结论成立．
设影子抛物线表达式是2y ax n =+．原抛物线于y 轴交点坐标为(0,)c 则两条原抛物线可表示为211y ax b x c =++与抛物线222y ax b x c =++（其中a 、1b 、2b 、c 是常数，且0a ≠，12)b b ≠ 由题意，可知两个抛物线的顶点分别是21114(,)24b ac b P a a --、22224(,)24b ac b P a a
-- 将1P 、2P 分别代入2y ax n =+， 得221122224()244()24b ac b a n a a b ac b a n a a ⎧--+=⎪⎪⎨-⎪-+=⎪⎩
消去n 得2212b b =，
12b b ≠，
12b b ∴=- ∴22214(,)24b ac b P a a -，22224(,)24b ac b P a a
--， 1P ∴、2P 关于y 轴对称．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，理解“影子抛物线”的定义并能运用是本题的关键．
26、（1）这两年产值的平均增长率为10%；（2）预计2020年该公产值将达到3327.5万元.
【分析】（1）先设出增长率，再根据2019年的产值列出方程，解方程即可得出答案；
（2）根据（1）中求出的增长率乘以2019年的产值，再加上2019年的产值，即可得出答案.
【详解】解：设增长率为x ，则2018年()25001x +万元，2019年()2
25001x +万元. 则()2250013025x +=，
解得0.110%x ==，或 2.1x =-（不合题意舍去）.
答：这两年产值的平均增长率为10%.
（2）()3025110%3327.5⨯+=（万元）.
故由（1）所得结果，预计2020年该公产值将达到3327.5万元.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用——增长率问题，解题关键是根据题意列出方程.。