江苏省泰州市2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)

江苏省泰州市2020年中考数学试卷
一、选择题（共6题；共12分）
1.-2的倒数是（）
A. -2
B. −1
2C. 1
2
D. 2
【答案】B
【考点】有理数的倒数
【解析】【解答】-2的倒数是- 1
2
故答案为：B
【分析】求一个数的倒数就是用1除以这个数的商，即可求解。

2.把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以得到的几何体是（）
A. 三棱柱
B. 四棱柱
C. 三棱锥
D. 四棱锥
【答案】A
【考点】几何体的展开图
【解析】【解答】由图形折线部分可知,有两个三角形面平行,三个矩形相连,可知为三棱柱.
故答案为：A.
【分析】观察图形可知有两个面是三角形，就是几何体的上下底面，侧面是三个矩形，由此可得到此几何体的形状。

3.下列等式成立的是（）
A. 3+4√2=7√2
B. √3×√2=√5
C. √3÷1
√6
=2√3 D. √(−3)2=3
【答案】 D
【考点】二次根式的性质与化简，二次根式的乘除法，二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、3和4√2不能合并，故A错误；
B、√3×√2=√6，故B错误；
C、√3
√6
=√3×√6=√18=3√2，故C错误；
D、√(−3)2=3，正确；
故答案为：D.
【分析】根据同类二次根式才能合并，可对A作出判断；两个二次根式相乘，把被开方数相乘，结果化成最简，可对B作出判断；利用二次根式除法法则，可对C作出判断；利用二次根式的性质√a2=|a|，可对D作出判断；
4.如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光.下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）
A. 只闭合1个开关
B. 只闭合2个开关
C. 只闭合3个开关
D. 闭合4个开关
【答案】B
【考点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路，
只闭合1个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意；
闭合4个开关，小灯泡发光是必然事件，所以D不符合题意；
只闭合2个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意；
只闭合3个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意.
故答案为：B.
【分析】观察电路发现，闭合A,B或闭合C,D或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，从而可得答案.
5.点P(a,b)在函数y=3x+2的图像上，则代数式6a−2b+1的值等于（）
A. 5
B. 3
C. -3
D. -1
【答案】C
【考点】代数式求值，待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】把P(a,b)代入函数解析式y=3x+2得：b=3a+2，
化简得到：3a−b=−2，
∴6a−2b+1=2(3a−b)+1=2×(−2)+1=-3.
故答案为：C.
【分析】把P(a,b)代入函数解析式得b=3a+2，化简得3a−b=−2，化简所求代数式即可得到结果；
6.如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB=90°，C为AB⌢上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E.若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（）
A. 10π
B. 9π
C. 8π
D. 6π
【答案】A
【考点】矩形的判定与性质，扇形面积的计算
【解析】【解答】连接OC 交DE 为F 点，如下图所示：
由已知得：四边形DCEO 为矩形.
∵∠CDE=36°，且FD=FO ，
∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE 面积等于△DCO 面积.
S 阴影=S 扇形AOB −S 扇形AOC =
90•π•102360−54•π•102360=10π .
故答案为：A.
【分析】本题可通过做辅助线，利用矩形性质对角线相等且平分以及等面积性，利用扇形ABC 面积减去扇形AOC 面积求解本题. 二、填空题（共10题；共11分）
7.9的平方根是________ ，使分式1x+1有意义的x 的取值范围是________ ．
【答案】 ±3；x≠﹣1
【考点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3；
由题意得，x+1≠0，
解得x≠﹣1．
故答案为：±3；x≠﹣1．
【分析】根据平方根的定义解答；
根据分母不等于0列式计算即可得解．
8.因式分解： x 2−4= ________.
【答案】 (x +2)(x −2)
【考点】因式分解﹣运用公式法
【解析】【解答】解：x 2 − 4 =( x + 2 ) ( x − 2 )，
故答案为：( x + 2 ) ( x − 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解为止.
9.据新华社2020年5月17日消息，全国各地和军队约42600名医务人员支援湖北抗击新冠肺炎疫情，将42600用科学记数法表示为________.
【答案】4.26×104.
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：42600=4.26×104.
故答案为：4.26×104.
【分析】科学记数法的形式是：a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数.所以a=4.26，n取决于原数小数点的移动位数与移动方向，n是小数点的移动位数，往左移动，n为正整数，往右移动，n 为负整数。

本题小数点往左移动到4的后面，所以n=4.
10.方程x2+2x−3=0的两根为x1、x2则x1⋅x2的值为________.
【答案】-3
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵方程x2+2x−3=0的两根为x1、x2，
∴x1·x2= c
=-3，
a
故答案为：-3.
可得.
【分析】直接根据韦达定理x1·x2= c
a
11.今年6月6日是第25个全国爱眼日，某校从八年级随机抽取50名学生进行了视力调查，并根据视力值绘制成统计图（如图），这50名学生视力的中位数所在范围是________.
【答案】4.65-4.95
【考点】条形统计图，中位数
【解析】【解答】解：由中位数概念知道这个数据位于中间位置，共50个数据，根据频率直方图的数据可知，中位数位于第四组，即这50名学生视力的中位数所在范围是4.65-4.95.
故答案为：4.65-4.95.
【分析】根据频率直方图的数据和中位数概念可知，在这50个数据的中位数位于第四组，据此求解即可.
12.如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为________.
【答案】140°
【考点】三角形内角和定理，三角形的外角性质
【解析】【解答】解：如图，标注字母，
由题意得：∠ACB=90°−65°=25°,
∵∠A=60°,
∴∠BDE=∠ADC=180°−60°−25°=95°,
∵∠B=45°,
∴α=∠B+∠BDE=45°+95°=140°.
故答案为：140°
【分析】如图，首先标注字母，利用三角形的内角和求解∠ADC，再利用对顶角的相等，三角形的外角的性质可得答案.
13.以水平数轴的原点O为圆心过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、⋯、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为(5,0°)、(4,300°)，则点C的坐标表示为________.
【答案】（3,240°）
【考点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：图中为5个同心圆，且每条射线与x轴所形成的角度已知，A、B的坐标分别表示为(5,0°)、(4,300°)，根据点的特征，所以点C的坐标表示为(3,240°)；
故答案为：(3,240°).
【分析】根据同心圆的个数以及每条射线所形成的角度，以及A，B点坐标特征找到规律，即可求得C点坐标.
14.如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，若以
1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为________.
【答案】3或5
【考点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵a⊥b
∴⊙O与直线a相切，OH=1
当⊙O在直线a的左侧时，OP=PH-OH=4-1=3；
当⊙O在直线a的右侧时，OP=PH+OH=4+1=5；
故答案为3或5.
【分析】根据切线的性质可得OH=1,故OP=PH-OH或OP=PH+OH，即可得解.
15.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A、B、C、在直角坐标系中的坐标分别为(3,6)，(−3,3)，(7,−2)，则△ABC内心的坐标为________.
【答案】（2，3）
【考点】待定系数法求一次函数解析式，勾股定理的逆定理，正方形的判定与性质，三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系，
根据题意可得：AB= √32+62=3√5，AC= √42+82=4√5，BC= √52+102=5√5，
∵AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
设BC 的关系式为：y=kx+b ，
代入B (−3,3) ，C (7,−2) ，
可得 {3=−3k +b −2=7k +b
， 解得： {k =−12b =32
， ∴BC ： y =−12x +32 ，
当y=0时，x=3，即G （3,0），
∴点A 与点G 关于BD 对称，射线BD 是∠ABC 的平分线，
设点M 为三角形的内心，内切圆的半径为r ，在BD 上找一点M ，过点M 作ME ⊥AB ，过点M 作MF ⊥AC ，且ME=MF=r ，
∵∠BAC=90°，
∴四边形MEAF 为正方形，
S △ABC = 12AB ×AC =12AB ×r +12AC ×r +12BC ×r ，
解得： r =√5 ，
即AE=EM= √5 ，
∴BE= 3√5−√5=2√5 ，
∴BM= √BE 2+EM 2=5 ，
∵B （-3，3），
∴M （2，3），
故答案为：（2，3）.
【分析】根据A 、B 、C 三点的坐标建立如图所示的坐标系，计算出△ABC 各边的长度，易得该三角形是直角三角形，设BC 的关系式为：y=kx+b ，求出BC 与x 轴的交点G 的坐标，证出点A 与点G 关于BD 对称，射线BD 是∠ABC 的平分线，三角形的内心在BD 上，设点M 为三角形的内心，内切圆的半径为r ，在BD 上找一点M ，过点M 作ME ⊥AB ，过点M 作MF ⊥AC ，且ME=MF=r ，求出r 的值，在△BEM 中，利用勾股定理求出BM 的值，即可得到点M 的坐标.
16.如图，点 P 在反比例函数 y =3x 的图像上且横坐标为1，过点 P 作两条坐标轴的平行线，与反比例函数 y =k x (k <0) 的图像相交于点 A 、 B ，则直线 AB 与 x 轴所夹锐角的正切值为________.
【答案】 3
【考点】锐角三角函数的定义，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点 P 在反比例函数 y =3x 的图像上且横坐标为1，
∴点P 的坐标为：（1，3），
如图，AP ∥x 轴，BP ∥y 轴，
∵点A 、B 在反比例函数 y =k x (k <0) 的图像上，
∴点A 为（ k 3,3 ），点B 为（1， k ），
∴直线 AB 与 x 轴所夹锐角的正切值为：
tanα=3−k
1−k 3=3 ；
故答案为：3.
【分析】由题意，先求出点P 的坐标，然后表示出点A 和点B 的坐标，即可求出答案.
三、解答题（共10题；共101分）
17.
（1）计算： (−π)0+(12)−1−√3sin60°
（2）解不等式组： {3x −1≥x +1x +4<4x −2
【答案】 （1）解：原式= 1+2-32
=32
（2）解：解不等式 3x −1≥x +1 得 x ≥1 ；
解不等式 x +4<4x −2 得 x >2 ；
综上所述，不等式组的解集为： x >2 .
【考点】实数的运算，负整数指数幂的运算性质，解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）应用零指数幂、负指数幂和特殊角的三角函数值化简求值即可；（2）分别求出两个不等式的解集即可得到结果；
18. 2020年6月1日起，公安部在全国开展“一盔一带”安全守护行动.某校小交警社团在交警带领下，从5月29日起连续6天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，并将数据绘制成图表如下：
2020年5月29日∼6月3日骑乘人员头盔佩戴率折线统计图
2020年6月2日骑乘人员头盔佩戴情况统计表
（1）根据以上信息，小明认为6月3日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率约为95%.你是否同意他的观点？请说明理由；
（2）相比较而言，你认为需要对哪类人员加大宣传引导力度？为什么？
（3）求统计表中m的值.
【答案】（1）解：不同意。

由题目可知，本次调查是从5月29日起连续6天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，数据代表比较单一，没有普遍性，故不能代表6月3日该地区全天摩托车骑乘人员头盔佩戴率；
（2）解：由折线统计图可知，骑电动自行车骑乘人员戴头盔率比摩托车骑乘人员头盔佩戴率要低很多，故应该对骑电动自行车骑乘人员加大宣传引导力度；
（3）解：由折线统计图可知，2020年6月2日骑电动自行车骑乘人员戴头盔率为45%，则骑电动自行车骑乘人员不戴头盔率为：1-45%=55%，
∴72
m =45%
55%
∴m=88.
【考点】统计表，折线统计图
【解析】【分析】（1）根据本次调查是从5月29日起连续6天，在同一时段对某地区一路口的摩托车和电动自行车骑乘人员佩戴头盔情况进行了调查，可知数据代表比较单一，没有普遍性，据此判断即可；（2）由折线统计图可知，骑电动自行车骑乘人员戴头盔率比摩托车骑乘人员头盔佩戴率要低很多，据此
判断即可；（3）由折线统计图可知，骑电动自行车骑乘人员不戴头盔率为55%，则有72
m =45%
55%
，据此求
解即可.
19.一只不透明袋子中装有1个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
（1）该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是________（精确到0.01），由此估出红球有________个.
（2）现从该袋中摸出2个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到1个白球，1个红球的概率.
【答案】（1）0.33；2
（2）解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，摸到一个白球，一个红球有4种情况，
∴摸到一个白球一个红球的概率为：4
6=2
3
；
故答案为：2
3
.
【考点】列表法与树状图法，利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）随着摸球次数的越来越多，频率越来越靠近0.33，因此接近的常数就是0.33；设红球由x个，由题意得：
1
1+x
=0.33，解得：x≈2，经检验：x=2是分式方程的解；
故答案为：0.33，2；
【分析】（1）通过表格中的数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在0.33左右，进而得出答案；利用频率估计概率，摸到白球的概率0.33，利用概率的计算公式即可得出红球的个数；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸到一个白球一个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案.
20.近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A为全程
25km的普通道路，路线B包含快速通道，全程30km，走路线B比走路线A平均速度提高50%，时间节省6min，求走路线B的平均速度.
【答案】解：设走线路A的平均速度为xkm/ℎ，则线路B的速度为1.5xkm/ℎ，则
25 x −6
60
=30
1.5x
，
解得：x=50，
检验：当x=50时，1.5x≠0，
∴x=50是原分式方程的解；
∴走路线B的平均速度为：50×1.5=75（km/h）；
【考点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】根据题意，设走线路A的平均速度为xkm/ℎ，则线路B的速度为1.5xkm/ℎ，由等量关系列出方程，解方程即可得到答案.
21.如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内，
（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若a≈2√5，A点的坐标为(3,1)，求P点的坐标.
【答案】（1）解：如图所示，作第一象限的平分线OM，再以点A为圆心，a为半径画弧，交OM于点P，则点P为所求；
（2）解：∵点P到两坐标轴的距离相等，且在第一象限，
∴设点P（t，t），
则AP= √(t−3)2+(t−1)2=2√5，
解得：t=5或t=-1（舍去），
∴P（5,5）.
【考点】坐标与图形性质，勾股定理，作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）作第一象限的平分线OM，再以点A为圆心，a为半径画弧，交OM于点P即可；（2）根据题意，设点P（t，t），再根据两点之间的距离公式列出方程即可解答.
22.我市在凤城河风景区举办了端午节赛龙舟活动，小亮在河畔的一幢楼上看到一艘龙舟迎面驶来，他在高出水面15m的A处测得在C处的龙舟俯角为23°；他登高6m到正上方的B处测得驶至D
处的龙舟俯角为50°，问两次观测期间龙舟前进了多少？（结果精确到1m，参考数据：tan23°≈0.42，tan40°≈0.84，tan50°≈1.19，tan67°≈2.36）
【答案】解：设BA与CD的延长线交于点O，
根据题意易得：∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，
在Rt△BOD中，tan∠BDO=OB
OD =
15+6
OD
≈1.19，
解得：OD≈17.65m，
在Rt△AOC中，tan∠ACO=OA
OC =
15
17.65+DC
≈0.42，
DC≈18m，
答：两次观测期间龙舟前进了18米.
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设BA与CD的延长线交于点O，由题意得出∠BDO=50°，∠ACO=23°，OA=15m，AB=6m，在Rt△BOD中，解直角三角形求得OD的长度，在Rt△AOC中，解直角三角形求出DC的长度即可. 23.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD//AB，交AC于点D，连接AP，设CP=x，△ADP的面积为S.
（1）用含x的代数式表示AD的长；
（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围.
【答案】（1）解：∵PD∥AB,AC=3,BC=4,CP=x,
∴CP
CD =CB
CA
,即x
CD
=4
3
.
∴CD=3x
4
.
∴AD= 3−3x
4
.
（2）解：S=1
2⋅AD⋅CP=1
2
⋅(3−3x
4
)⋅x=3x
2
−3x2
8
.
对称轴为x=−b
2a =−
3
2
2⋅3
8
=2,二次函数开口向下,
∴S随x增大而减小时x的取值为2≤x＜4.
【考点】平行线分线段成比例，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)由比例求出CD与CP的关系式,再求出AD.(2)把AD当作底,CP当作高,利用三角形面积公式求出S与x的函数表达式,再由条件求出范围即可.
24.如图，在⊙O中，点P为AB
⌢的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN.
（1）求证：N为BE的中点.
（2）若⊙O的半径为8，AB
⌢的度数为90°，求线段MN的长.
【答案】（1）解：∵点P为AB
⌢的中点
∴AP⌢=PB⌢
∴∠PCE=∠PDE=∠PDB
∵∠CEM=∠DEN
∴∠PCE+∠CEM=∠DEN+∠PDE
∴∠CME=∠DNE
∵PC⊥AD
∴∠EMC=∠DNE=90°
在△DEN和△DBN中
{∠EDN=∠BDN DN=DN
∠DNE=∠DNB
∴△DEN≅△DBN
∴EN=BN
∴点N为BE中点
（2）解：连接CA，AB，OA，OB，如图所示：
∵点 P 为 AB
⌢ 的中点 ∴ AP
⌢=PB ⌢ ∠ECM =∠ACM
在 △EMC 和 △AMC 中
{∠EMC =∠AMC =90°
CM =CM
∠ECM =∠ACM
∴ △EMC ≅ △AMC
∴ EM =AM ，即M 为AE 中点
∵N 为BE 中点
∴MN 为 △AEB 的中位线
又∵ ⊙O 的半径为8， AB
⌢ 的度数为 90° ∴ ∠AOB =90° ，OA=OB=8
∴ AB =8√2
∴ MN =12AB =4√2
【考点】圆周角定理，解直角三角形，三角形全等的判定（ASA ）
【解析】【分析】（1）通过同弧或等弧所对的圆周角相等，结合 AD 、 PC 互相垂直，证明 △DEN ≅ △DBN ，可得结果；（2）连接AC ，OA ，OB ，AB ，证明M 为AE 中点，得MN 为 △ABE 的中位线，结
合 AB
⌢ 的度数为90°，半径为8，得到AB 的长度，进而得到MN 长度. 25.如图，正方形 ABCD 的边长为6， M 为 AB 的中点， △MBE 为等边三角形，过点 E 作 ME 的垂线分别与边 AD 、 BC 相交于点 F 、 G ，点 P 、 Q 分别在线段 EF 、 BC 上运动，且满足 ∠PMQ =60° ，连接 PQ .
（1）求证： △MEP ≅△MBQ .
（2）当点 Q 在线段 GC 上时，试判断 PF +GQ 的值是否变化？如果不变，求出这个值，如果变化，请说明理由.
（3）设 ∠QMB =α ，点 B 关于 QM 的对称点为 B ′ ，若点 B ′ 落在 ΔMPQ 的内部，试写出 α 的范围，并说明理由.
【答案】 （1）解：∵ △MBE 为等边三角形，
∴ MB =ME ， ∠BME =60∘ ,
∴ ∠BME =∠PMQ =60∘ ,
∴ ∠BME −∠QME =∠PMQ −∠QME
即有： ∠BMQ =∠EMP ，
∵四边形 ABCD 是正方形， ME ⊥FG
∴ ∠MBQ =∠MEP =90∘
在 △MBQ 和 △MEP 中
{∠BMQ =∠EMP
MB =ME
∠MBQ =∠MEP
∴ △MBQ ≅△MEP (ASA)
（2）解： PF +GQ 的值不变，
理由如下：如图1，连接 MG ，过点 F 作 FH ⊥BC 于 H ，
∵ME =MB ， MG =MG ，
∴Rt ΔMBG ≅Rt ΔMEG (HL ) ，
∴BG =GE ， ∠BMG =∠EMG =30° ， ∠BGM =∠EGM ，
∴MB =√3BG =3 ， ∠BGM =∠EGM =60° ，
∴GE =√3 ， ∠FGH =60° ，
∵FH ⊥BC ， ∠C =∠D =90° ，
∴ 四边形 DCHF 是矩形，
∴FH =CD =6 ，
∵sin ∠FGH =FH GF =√32=6FG ， ∴FG =4√3 ，
∵ΔMBQ ≅ΔMEP ，
∴BQ =PE ，
∴PE=BQ=BG+GQ，
∵FG=EG+PE+FP=EG+BG+GQ+PF=2√3+GQ+PF，
∴GQ+PF=2√3；
（3）解：当点B′落在PQ上时，如图2示，
∵ΔMBQ≅ΔMEP，
∴MQ=MP，
∵∠QMP=60°，
∴ΔMPQ是等边三角形，
当点B′落在PQ上时，点B关于QM的对称点为B′，
∴ΔMBQ≅△MB′Q，
∴∠MBQ=∠MB′Q=90°
∴∠QME=30°
∴点B′与点E重合，点Q与点G重合，
∴∠QMB=∠QMB′=α=30°，
如图3，当点B′落在MP上时，
同理可求：∠QMB=∠QMB′=α=60°，
综上所述，当30°<α<60°时，点B′落在ΔMPQ的内部.
【考点】直角三角形全等的判定（HL），正方形的性质，解直角三角形，三角形全等的判定（ASA），四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）由“ ASA”可证ΔMBQ≅ΔMEP；（2）连接MG，过点F作FH⊥BC于H，由“ HL”可证RtΔMBG≅RtΔMEG，可得BG=GE，∠BMG=∠EMG=30°，∠BGM=
∠EGM，由直角三角形的性质可求BG=GE=√3，由锐角三角函数可求GF=4√3，由全等三角形的性质可求PE=BQ=BG+GQ，即可求GQ+PF=2√3；（3）当点B′落在PQ上时，，当点B′落在MP上时，分别求出点B′落在QP上和MP上时α的值，即可求解.
26.如图，二次函数y1=a(x−m)2+n、y2=6ax2+n(a<0,m>0,n>0)的图像分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交点为B.
（1）若P点的坐标为(0,2)，C1的顶点坐标为(2,4)，求a的值；
（2）设直线PA与y轴所夹的角为α.
①当α=45°，且A为C1的顶点时，求am的值；
②若α=90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，PA
的值不变；
PB
（3）若PA=2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由.
【答案】（1）解：∵C1的顶点坐标为(2,4)，
∴y1=a(x−2)2+4，
将点P（0,2）代入得：2=a(−2)2+4，
解得：a=−1
；
2
（2）解：①由题意可知，A(m,n)，
如图所示，过点A作AM⊥y轴于点M，则M（0，n），MA=m，
∵直线PA与y轴所夹的角为α=45°，
∴△MAP为等腰直角三角形，
∴MA=MP=m，
∴OP=n-m，
∴P（0，n-m），代入y1=a(x−m)2+n得：n−m=am2+n，
解得：am=−1；
②如图所示，当α=90°时，
将x=0代入y1=a(x−m)2+n，得y=am2+n，∴P(0,am2+n)，
当y1=am2+n时，am2+n=a(x−m)2+n，解得：x1=0,x2=2m，
∴A(2m,am2+n)，
∴AP=2m，
当y2=am2+n时，即am2+n=6ax2+n，
解得：x1=−√6
6m,x2=√6
6
m，
∵点B在y轴左侧，
∴B(−√6
6
m,am2+n)，
∴PB= √6
6
m，
∴PA PB=√6
6m
=2√6，不变.
（3）解：如图所示，过点P作CD∥x轴，过点B作BD⊥CD于点D，过点A作AC⊥CD于点C，则BD∥AC，
∴△BDP∽△ACP，
设B(x,6ax2+n)，则PD=-x，BD= am2+n−6ax2−n=am2−6ax2，
∵PA=2PB，
∴CP=2PD=-2x，AC=2BD= 2am2−12ax2，
∴A(−2x,3am2−12ax2+n)，
代入y1=a(x−m)2+n得：3am2−12ax2+n=a(−2x−m)2+n，
化简得：8x2+2mx−m2=0，解得：x1=−m
2，x2=m
4
（舍去），
∴A(m,n)，则点A是C1的顶点.
【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将C1的顶点坐标为(2,4)和点P的坐标代入y1=a(x−m)2+n中即可解答；（2）①如图所示，过点A作AM⊥y轴于点M，得到△MAP为等腰直角三角形，从而确定P（0，n-m），代入y1=a(x−m)2+n化简即可；②将x=0代入y1=a(x−m)2+n，得到P(0,am2+n)，再求出A，B的坐标，表达出PA，PB即可解答；（3）如图所示，过点P作CD∥x轴，过点B作BD⊥CD于点D，过点A作AC⊥CD于点C，得到△BDP∽△ACP，设B(x,6ax2+n)，根据PA=2PB，得到CP=2PD=-2x，AC=2BD= 2am2−12ax2，确定点A的坐标，代入y1=a(x−m)2+n，解出x，进而得到A(m,n)即可.。