中考数学复习考点知识归类讲解28 二次函数中的三角形问题

中考数学复习考点知识归类讲解
专题28 二次函数中的三角形问题
知识对接
考点一、二次函数中的三角形问题
考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：
1.三角形面积最值问题
2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。

这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。

考点二、解决此类题目的基本步骤与思路
1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标
2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式
3. 根据二次函数性质求出最大值.
4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。

例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。

要点补充：
1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示
2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想
3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。

4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。

5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。

6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K 字形相似去处理。

要点补充：
专项训练 一、单选题
1．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t ，正方形与三角形不重合部分的面积为s （阴影部分），则s 与t 的大致图象为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2.定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．如图，直线l ：13y x b =+经过点10,4
M ⎛⎫
⎪⎝
⎭
一组抛物线的顶点()111B y ，，
()222,B y ，()333,B y ，…(),n n B n y （n 为正整数），依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴
正半轴的交点依次是：()11,0A x ，()22,0A x ，()33,0A x ，…()11,0n n A x ++（n 为正整数）．若
()101x d d =<<，当d 为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线
A．
5
12
或
7
12
B．
5
12
或
11
12
C．
7
12
或
11
12
D．
7
12
3．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物
线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为
线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是
A．16 B．15 C．14 D．13
4．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，
，且点
A，B，C的横坐标x
A ，x
B
，x
C
满足x
A
＜x
C
＜x
B
，那么符合上述条件的抛物线条数是（）
A．7 B．8 C．14 D．16
5．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，沿对角线AC 剪开（如图①）；固定△ADC ，把△ABC 沿AD 方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离
AA ′等于（）
A ．1
B ．1.5
C ．2
D ．0.8或1.2
6．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图，正三角形ABC 和正三角形ECD 的边BC ，CD 在同一条直线上，将ABC 向右平移，
直到点B 与点D 重合为止，设点B 平移的距离为x ，=2BC ，4CD =．两个三角形重合部分的面积为Y ，现有一个正方形FGHI 的面积为S ，已知sin 60Y
S
=︒，则S 关于x 的函数图像大致为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．以下说法正确的是（）
A ．三角形的外心到三角形三边的距离相等
B ．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形
C ．分式方程
11222
x x x -=---的解为x ＝2 D ．将抛物线y ＝2x 2－2向右平移1个单位后得到的抛物线是y ＝2x 2－3
9．二次函数2(1)22y m x mx m =+-+-的图象与x 轴有两个交点()1,0x 和()2,0x ，下列说法：①该函数图象过点(1,1)-；②当0m =时，二次函数与坐标轴的交点所围成的三角形面积是
③若该函数的图象开口向下，则m 的取值范围为21m -<<-；④当0m >，且21x --时，y 的最大值为(92)m +．正确的是（） A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④
10．以下四个命题：
①如果三角形的三个内角的度数比是3：4：5，那么这个三角形是直角三角形；
②在实数-7.5
4-π，2中，有4个有理数，2个无理数；
图是半圆，那么它的母线长为4
3
；
④二次函数221
y ax ax
=-+，自变量的两个值x1，x2对应的函数值分别为y1，y2，若
|x1-1|>|x2-1|，则a(y1-y2)>0．
其中正确的命题的个数为（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．定义[a，b，c]为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m，1－m，－1－m]的函数的一些结论：①当m≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上；②当m
＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3
2
；③当m＜0时，函数在
1
4
x>时，y随x
的增大而减小；④当m＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x轴两交点组成的三角形为等腰
直角三角形，则1
3
m=，正确的结论是________．（填写序号）
12．如图，在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC，在射线OC上取点A，过点A 作AH⊥x轴于点H，在抛物线y＝x2（x＞0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A有____个．
13．如图，直线l：
11
34
y x
=+经过点M(0，
1
4
)，一组抛物线的顶点B
1
(1，y
1
)，B
2
(2，y
2
)，
B 3(3，y
3
)…B
n
(n，y
n
)（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交
点依次是：A
1(x
1
，0)，A
2
(x
2
，0)，A
3
(x
3
，0)…，A
n+1
(x
n+1
，0)（n为正整数），设x
1
＝d（0
＜d＜1）若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则我们把这种
抛物线就称为：“美丽抛物线”．则当d （0＜d ＜1）的大小变化时美丽抛物线相应的d 的值是__．
14．如图，抛物线与x 轴交于1,0A 、()3,0B -两点，与y 轴交于点()0,3C ，设抛物线的顶点为D ．坐标轴上有一动点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与BCD △相似．则点P 的坐标______．
15．如图，要在夹角为30°的两条小路OA 与OB 形成的角状空地上建一个三角形花坛，分别在边OA 和OB 上取点P 和点Q ，并扎起篱笆将花坛保护起来（篱笆的厚度忽略不计）．若OP 和OQ 两段篱笆的总长为8米，则当OP =______米时，该花坛POQ 的面积最大．
三、解答题
16．如图，二次函数243y x x =-+与x 轴交于､A B 两点，点A 在点B 左边，与y 轴交于点C ，
点D 与点B 关于y 轴对称，P 为y 轴上一动点，
（1）直接写出ABC 的面积=______；
（2）若以点P C D ､､为顶点的三角形与ABC 相似，求点P 的坐标；
（3）若点P 在线段OC 上运动，延长DP 交CB 于点M ，过M 作MN //y 轴交抛物线于N 点，点P 在运动过程中，直接写出能够使PDN △面积的值为整数的点P 的个数______． 17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点
C ，二次函数2y ax 2x c =++的图象过B 、C 两点，且与x 轴交于另一点A ，点M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作直线l 平行于y 轴交BC 于点F ，交二次函数2y ax 2x c =++的图象于点E ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C 、E 、F 为顶点的三角形与ABC 相似时，求线段EF 的长度； （3）已知点N 是y 轴上的点，若点N 、F 关于直线EC 对称，求点N 的坐标．
18．在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣1
2x ＋2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线
y ＝﹣1
2x 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝32
与x 轴的交点为点A ，且经过点B 、C 两点． （1）求抛物线的解析式；
（2）点M 为抛物线对称轴上一动点，当|BM ﹣CM |的值最小时，求出点M 的坐标； （3）抛物线上是否存在点N ，过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，使得以点B 、N 、H 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
19．抛物线23y ax bx =++顶点为点()1,4D ，与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上的一个动点．
（1）求a 和b 的值；
（2）是否存在点P ，使得以P 、D 、B 为顶点的三角形中有两个内角的和等于45︒？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
20．如图，抛物线2
43
y x bx c =-++经过点()3,0A ，()0,2B ，连接AB ，点P 是第一象限内抛
物线上一动点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P 作x 轴的垂线，交AB 于点Q ，判断是否存在点P ，使得以P 、Q 、B 为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点C 与点B 关于x 轴对称，连接AC ，AP ，PC ，当点P 运动到什么位置时，ACP △的面积最大？求ACP △面积的最大值及此时点P 的坐标．
21．定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形．如图1，在ABC 和DEF 中，若90A E B D ∠+∠=∠+∠=︒，且AB DE =，则ABC 和DEF 是余等三角形．
（1）如图2，等腰直角ABC ，其中90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），则图中______和______是余等三角形，并求证：2222AD BD CD +=． （2）如图3，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为5，且22100AD BC +=， ①求证：ABC 和ADC 是余等三角形．
②图4，连结BD 交AC 于点I ，连结OI ，E 为AI 上一点，连结EO 并延长交BI 于点F ，若
67.5ADB ∠=︒，IE IF =，设OI x =，EIF S y =△，求y 关于x 的函数关系式．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2﹣x ＋c （a ≠0）与x 轴交于A （﹣1，0）、
B （3，0）两点，直线A
C 与y 轴交于点C ，与抛物线交于点
D ，OA ＝OC ．
11 / 11 （1）求该抛物线与直线AC 的解析式；
（2）若点E 是x 轴下方抛物线上一动点，连接AE 、CE ．求△ACE 面积的最大值及此时点E 的坐标；
（3）将原抛物线沿射线AD 方向平移
y 1＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1（a ≠0），新抛物线与原抛物线交于点F ，在直线AD 上是否存在点P ，使以点P 、D 、F 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
23．已知二次函数的图象经过点A （2，0），B （4-，0），C （0，4），点F 为二次函数第二象限内抛物线上一动点，FH x ⊥轴于点H ，交直线BC 于点D ，以FD 为直径的圆⊙M 与BC 交于点E ．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）当三角形EFD 周长最大时．求此时点F 点坐标及三角形EFD 的周长；
（3）在（2）的条件下，点N 为⊙M 上一动点，连接BN ，点Q 为BN 的中点，连接HQ ，求HQ 的取值范围．。