2019-2020学年人教A版选修2-2 生活中的优化问题举例 课件(53张)

思考题 4 求曲线 y＝4－x2(x＞0)上与定点 P(0，2)距离最
近的点． 【解析】 设曲线 y＝4－x2(x＞0)上一点 Q(x，y)， PQ 的距离 f(x)＝ （x－0）2＋（y－2）2 ＝ x2＋（4－x2－2）2＝ x4－3x2＋4. 令 h(x)＝x4－3x2＋4， ∴令 h′(x)＝4x3－6x＝2x(2x2－3)＝0.
x000＋200＋4x0.
y′＝(25 x000＋200＋4x0)′＝－2x52000＋410.
令 y′＝0，得 x1＝1 000，x2＝－1 000(舍去)．
当在 x＝1 000 附近左侧时，y′＜0；
在 x＝1 000 附近右侧时，y′＞0，故当 x＝1 000 时，y 取得极小
值，由于函数只有一个点使 y′＝0，且函数在该点有极小值，那么函
【答案】 C
题型三 面积、体积最大
例 3 在半径为 R 的半圆内，以直径为一底边作一个内接等 腰梯形，问如何使其面积最大？最大面积是多少？
【思路分析】 在已知内接梯形底边的前提下，只需再确定其 高，或上底边长，或底角，都可以确定梯形，因此变量可以有不同 的选择．
【解析】 方法一：设上底长为 2x，如图所示：
铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的 3 倍，问如何设计使总 造价最小 ?
【解析】 设圆柱体高为 h，底面半径为 r，又设单位面积铁的 造价为 m，桶总造价为 y，则
y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)．
由于 V＝πr2h，得 h＝πVr2.
所以 y＝4mπr2＋2mr V(r＞0)．
所以 y′＝8mπr－2mr2V. 令 y′＝0，得 r＝(4Vπ)13，此时 h＝πVr2＝4(4Vπ)13.
S′＝R2(2cos2θ＋cosθ－1)．
π
π
令 S′＝0，得 θ＝ 3 (0＜θ＜ 2 )．
π 由于函数在(0， 2 )内连续可导，且只有一个导数为 0 的点，
π 问题中面积的最大值显然存在．故当 θ＝ 3 时面积取最大值，最
大面积为
Smax＝R2(cosπ3 ＋1)sinπ3 ＝R2(21＋1) 23＝34 3R2.
【思路分析】 解题时可利用几何特征，合理设元，同时要注 意变量的范围．
【解析】 要求材料最省就是要求新砌的墙壁的总长度最 小，设场地宽为 x m，则长为5x12 m，因此新墙总长度为
L＝2x＋5x12(x>0)，∴L′＝2－5x122. 令 L′＝0，得 x＝－16，或 x＝16. ∵x＞0，∴x＝16. 在定义域内使 L′＝0 的 x 值只有 x＝16. ∴当 x＝16 时，Lmin＝L|x＝16＝64 m. 即当堆料场的宽为 16 m，长为51162＝32 m 时，可使砌墙所用 的材料最省．
【思路分析】 适当选定变元，构造相应的函数关系，通过 求导的方法或其他方法求出函数的最小值．可确定点 C 的位置．
【解析】 方法一：根据题意知，只有点 C 在线段 AD 上某 一适当位置，才能使总运费最省，设 C 点距 D 点 x km，则
∵BD＝40，AC＝50－x， ∴BC＝ BD2＋CD2＝ x2＋402. 又设总的水管费用为 y 元，依题意有 y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0＜x＜50)． ∴y′＝－3a＋ x52＋ax402.令 y′＝0，解得 x＝30.
在(0，50)上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，函 数在 x＝30(km)处取得最小值，此时 AC＝50－x＝20(km)．
∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最 省．
方法二：设∠BCD＝θ，则 BC＝si4n0θ，
π CD＝40cotθ(0＜θ＜ 2 )．∴AC＝50－40cotθ.
问题中的面积的最大值显然存在，故当 x＝R2时面积取得最大值，
最大面积为
Smax＝(R＋R2 )
R2－（R2 ）2＝3
3R2 4.
方法二：由图可得，连接 OD，设∠DOC＝θ，如图所示则梯 形上底 AD＝2Rcosθ，梯形面积 S，
S＝12(2Rcosθ＋2R)θ
π ＝R2(cosθ＋1)sinθ(0＜θ＜ 2 )，
题型二 利润最大
例 2 已知某厂生产 x 件产品的成本为 C＝25 000＋200x＋ 410x2(元)，问：
(1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？ (2)若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件 产品？
【解析】 (1)设平均成本为 y 元，则
25 y＝
000＋2x00x＋410x2＝25
g(x)＝(－13x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3 ＝－13x3＋4x＋3(0≤x≤3)．
∴g′(x)＝－x2＋4，令 g′(x)＝0， 解得 x＝－2(舍去)或 x＝2. 又当 0≤x<2 时，g′(x)>0； 当 2<x≤3 时，g′(x)<0. 故 g(x)在[0，2]上是增函数，在[2，3]上是减函数． ∴当 x＝2 时，g(x)取得最大值．即将 2 百万元用于技术改造， 1 百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．
∵x＞0，∴解得
x＝
6 2.
当 0＜x＜ 26时，h′(x)＜0；当 x＞ 26时，h′(x)＞0.
∴h(x)在 x＝ 26时取最小值，
此时 f(x)也取最小值．
此时 y＝4－x2＝4－( 26)2＝25，
∴与 P(0，2)最近的点为 Q( 26，52)．
题型五 热点问题 例 5 某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金 用于广告促销．经调查，每投入广告费 t(百万元)，可增加销售额 约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)． (1)若该公司将当年广告费的投入控制在 3 百万元之内，则应 投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？ (2)现该公司准备共投入 3 百万元，分别用于广告促销和技术 改造．经预测，每投入技术改造费 x(百万元)，可增加的销售额 约为－13x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公 司由此获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入资金)
∵h＞0，∴解得
h＝203
3 .
当 0<h＜203 3时，V′＞0；当 h＞203 3时，V′＜0.
∴当 h＝203 3时，V 有最大值．
答：其高应为203 3 cm，体积最大.
题型四 距离最近
例 4 在平面坐标系内，通过一已知点 P(1，4)引一直线，使 它的两坐标轴上的截距都为正，且两截距之和为最小，求这条直 线的方程．
连接 OD，作 DP⊥BC，则梯形的高 DP＝ R2－x2，记梯形 的面积为 S，则有
S＝2R＋2 2x·h＝(R＋x) R2－x2(0＜x＜R)．
S′＝ R2－x2－（RR＋2－x）x2·x＝R2－RR2x－－x22 x2，
令 S′＝0，得 x＝R2(0＜x＜R)．
由于函数在(0，R)内连续可导，且只有一个导数为 0 的点，
思考题 5 为了解决老百姓“看病贵”的问题，国家多次
下调药品价格，各大药厂也在积极行动，通过技术改造来提高生 产能力，降低能耗，从而降低药品生产的成本．某药厂有一条价 值 a 万元的药品生产线，经过测算，生产成本降低 y 万元与技术 改造投入 x 万元之间满足：①y 与(a－x)和 x2 的乘积成正比；② 当 x＝2a时，y＝a3，并且技术改造投入比率2（a－x x）∈(0，t]，t
数在该点取得最小值．因此，要使平均成本最低，应生产 1 000 件产
品．
(2)利润函数为 L＝500x－(25 000＋200x＋4x02 ) ＝300x－25 000－4x02， L′＝(300x－25 000－4x02)′＝300－2x0. 令 L′＝0，解得 x＝6 000. 当在 x＝6 000 附近左侧时，L′＞0；在 x＝6 000 附近右侧 时，L′＜0. 故当 x＝6 000 时，L 取得极大值．由于函数只有一个使 L′ ＝0 的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大 值．因此，要使利润最大，应生产 6 000 件产品．
思考题 3 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20 厘米，要
使体积为最大，则其高应为多少？ 【解析】 设圆锥底面半径为 R，圆锥高为 h. ∴h2＋R2＝202, ∴R＝ 400－h2.
∴圆锥体积 V＝13πR2·h＝ 31π(400－h2)·h＝13π(400h－h3)． 令 V′＝13π(400－3h2)＝0，
【解析】 设这条直线方程为 y－4＝k(x－1)， 令 x＝0，得 y＝－k＋4； 令 y＝0，得 x＝－4k＋1.
由题意－ －4kk＋ ＋41＞ ＞00，⇒kk＜ ＞44， 或k＜0⇒k＜0. 两截距之和 d＝－k＋4－4k＋1＝－k－4k＋5. 令 d′＝－1－4(－k12)＝4－k2k2＝（2＋k）k（2 2－k）＝0， 解得 k1＝－2，k2＝2(舍去)． 当 k＜－2 时，d′＜0；当 k＞－2 时，d′＞0. ∴当 k＝－2 时，d 有最小值． ∴这条直线的方程为 y－4＝－2(x－1)， 即 y＝－2x＋6.
设总的水管费用为 f(θ)，依题意，有 f(θ)＝3a(50－40cotθ)＋5a·si4n0θ ＝150a＋40a·5－si3ncθosθ. ∴f′(θ)＝40a·（5－3cosθ）′sinθ－sin（2θ5－3cosθ）（sinθ）′ ＝40a·3－si5nc2θosθ.
令 f′(θ)＝0，得 cosθ＝35. 根据问题的实际意义，当 cosθ＝35时，函数取最小值，此时 sinθ＝45.∴cotθ＝34.∴AC＝50－40cotθ＝20(km)． 即供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最 省．
为常数且 t∈(0，2]．
(1)求 y＝f(x)的表达式及定义域； (2)为了有更大的降价空间，要尽可能地降低药品的生产成 本，求 y 的最大值及相应的 x 值． 【解析】 (1)设 y＝f(x)＝k(a－x)x2， 当 x＝2a时，y＝a3，即 a3＝ka42·2a，所以 k＝8. 所以 f(x)＝8(a－x)x2. 因为 0<2（a－x x）≤t， 所以函数的定义域是 0<x≤2t2＋at1.
探究 1 用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤： ①建立函数关系式 y＝f(x)；②求导 y′；③令 y′＝0，求出 相应的 x0；④指出 x＝x0 处是最值点的理由；⑤对题目所问作出 回答，求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义确定取得 最值时变量的取值．
思考题 1 (1)设有一个容积 V 一定的有铝合金盖的圆柱形
【解析】 (1)设投入 t(百万元)的广告费后增加的收益为 f(t)(百万元)，则有 f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋ 4(0<t≤3)．
故当 t＝2(百万元)时，f(t)取得最大值 4 百万元，即投入 2 百 万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为 x(百万元)，则用于广告促销的 资金为(3－x)(百万元)(0≤x≤3)，又设由此而获得的收益是 g(x)， 则有
该函数在(0，＋∞)内连续可导，且只有一个使函数的导数为 零的点，问题中总造价的最小值显然存在．
当 r＝(4Vπ)13时，y 有最小值，即总造价最小．
(2)某工厂要围建一个面积为 512 m2 的矩形堆料场，一边可 以用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，问堆料场的长和宽 各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？
思考题 2 已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产
量 x(单位：万件)的函数关系式为 y＝－31x3＋81x－234，则使该
生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13 万件
B．11 万件
C．9 万件
D．7 万件
【解析】 因为 y′＝－x2＋81，所以当 x>9 时，y′<0；当 x∈(0，9)时，y′>0，所以函数 y＝－13x3＋81x－234 在(9，＋∞) 上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以 x＝9 是函数的极大值点， 又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在 x＝9 处取得最大值．
生活中的优化问题举例
授人以渔
题型一 成本最低用料最省
例 1 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处， 乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处，乙厂到 河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元与 5a 元．问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？