重庆市西南大学附属中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题含答案

高2025届2022-2023学年（下）5月名校联考
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要
求的。

1．复数i(3i)z =+在复平面内对应的点所在的象限为
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．已知向量(11)=−，
a ，(21)=，
b ，(2)λ=，
c ．若(2)+c a b ，则λ=
A ．1
2
−
B ．0
C ．
12
D ．8
3．已知3sin()2πα−α为第三象限角，则tan α=
A
． B C D
4．金字塔一直被认为是古埃及的象征，然而，玛雅文明也有 类似建筑，玛雅金字塔是仅次于埃及金字塔的著名建筑．玛 雅金字塔由巨石堆成，其下方近似为正四棱台，顶端是祭 神的神殿，其形状近似为正四棱柱．整座金字塔的高度为
29m ，金字塔的塔基（正四棱台的下底面）的周长为220m , 塔台（正四棱台的上底面）的周长为52m ，神殿底面边长 为9m ，高为6m ，则该玛雅金字塔的体积为 A ．
3
74920m 3
B ．330455m
C ．337217m
D ．345439.5m
5．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a x =，6c =，60A =°，若满足条件的三角形有
两个，则x 的取值范围为
A ．(
6⎤⎦，
B ．()
6，
C ．()36，
D ．()
+∞，
6．已知一个正六棱锥的所有顶点都在一个球的表面上，六棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，则球的表面积为
A ．
43
π B ．
83
π C ．
163
π
D ．4π
7．若sin(2)04πθθ+=，则tan()tan()44ππ
θθ++−=
A ．2−
B ．1
C ．2
D ．4
8．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知3
B π
=，8a =，cos cos 6b A a B +=，点O 是ABC △
的外心．若BO xBA yBC =+，则x y += A ．
7
12
B ．
2336
C ．
2536
D ．
2936
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对 的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．给出下列4个命题，其中正确的命题是
A ．梯形可确定一个平面
B ．棱台侧棱的延长线不一定相交于一点
C ．AB BC C
D DA +++=0
D ．若非零向量a ，b ，c 满足 a b =a c ，则b =c
10．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)2
π
ωϕ><， 的部分图象如图所示，则
A ．函数()f x 的最小正周期为
23
π
B ．()f x 在区间()123ππ
， 上单调递减 C ．()y f x =的图象关于直线9
x π
=对称
D ．将()f x 的图象向左平移
6
π
个单位长度可得2cos(3)6y x π
=+的图象
11．已知O 为坐标原点，点1(cos sin )P αα， ，2(cos sin )P ββ， ，3
11
(cos ()sin ())22P αβαβ++， ，(10)A ， ，则 A ．13OP OP = B ．1323P P P P =
C ．312OA OP OP OP =
D ．123()2OP OP OP +≤
12．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D −的底面是梯形，AB CD ，AD DC ⊥，4BC CD ==，12DD AB ==，P
是棱1CC 的中点．Q 是棱11C D 上一动点（不包含端点），则 A ．AC 与平面BPQ 有可能平行 B ．11B D 与平面BPQ 有可能平行
C ．三角形BPQ
D ．三棱锥A BPQ −的体积为定值
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若复数z 满足2()24i z z z z ++−=+，则z =___________．
14．已知向量a ，b 满足(3)4+=a b b ，且4=b ，则a 在b 上的投影向量的模为___________．
15．一个倒置的圆锥形容器，其轴截面为等边三角形，在其内放置两个球形物体，两球体均
与圆锥形容器侧面相切，且两球形物体也相切，则小球的体积与大球的体积之比为___________．
16．在锐角三角形中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c =，tan tan 3tan tan C C A B
+=，
则22a b +=___________ （填数值），ABC △的面积的取值范围是___________．
四､解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。

17．（10分）
在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知222sin sin sin sin sin A C A C B +=+． （1）求角B 的大小；
（2）若b =ABC △，求ABC △的周长．
18．（12分）
如图，正三棱柱111ABC A B C −的各条棱长均为2，D 为AB 的中点． （1）求证：直线1
AC 平面1B CD ；
（2）求三棱锥1A B CD −的体积．
19．（12分）
如图，在平行四边形ABCD 中，3AB =，2AD =，60DAB ∠=°，点E ，F ，G 分别在边AB ，AD ，DC
上，且1
3
AE AB =
，AF FD =，(01)DG DC λλ=≤≤ ． （1）若1
2
λ=
，用AB ，AD 表示EG ； （2）求EG EF 的取值范围．
已知向量(cos sin cos())4
x x x πωωω=−+ a ，(cos sin sin())4x x x π
ωωω=+−， b ，设函数()3
f x =− a b (0)ω>，且函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为
2
π
．
（1）求ω的值及函数()f x 的值域；
（2）设{}
2()()40M x f x x =∈−+≤R ，{}15P x x =∈≤≤Z ，求M P ．
21．（12分） 如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D −中，P 为11C D 的中点，Q 为1CC 的一个三等分点（靠近C ）．
（1）经过P ，Q 两点作平面α，平面α截正方体1111ABCD A B C D −所得截面可能是n 边形，请根据n 的不同
取值分别作出截面图形（每种情况作一个代表类型，例如3n =只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完， 如果不够请自行增加），保留作图痕迹；
（2）若M 为AB 的中点，求过点P ，Q ，M 的截面的面积．
由于某地连晴高温，森林防灭火形势严峻，某部门安排了甲、乙两名森林防火护林员对该区域开展巡查．现甲、乙两名森林防火护林员同时从A地出发，乙沿着正西方向巡视走了3km后到达D点．甲向正南方向巡视若干公里后到达B点，又沿着南偏西60︒的方向巡视走到了C点，经过测量发现60
∠=，如
∠=︒．设ACBθ
ACD
图所示．
（1）设甲护林员巡视走过的路程为S AB BC
=+，请用θ表示S，并求S的最大值；
（2）为了强化应急应战准备工作，有关部门决定在BCD
△区域面积
△区域范围内储备应急物资，求BCD
的最大值．
高2025届2022-2023学年（下）5月名校联考
数学试题参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要
求的。

【解析】
8．解：cos cos 6b A a B +=，222222
622b c a a c b b a bc ac
+−+−∴⨯+⨯=，266c c c ∴=⇒=．
由BO xBA yBC =+得，BO BA xBA BA yBC BA ⋅=⋅+⋅，BO BC xBA BC yBC BC ⋅=⋅+⋅， 即：183624x y =+，322464x y =+，解得29
x =
，512y =，23
36x y ∴+=，故选B ．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对
的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

【解析】
12．解：对于A ，当Q 为11C D 的中点时，1
AC 平面BPQ ，故A 正确；
对于B ，11
B D BD ，又D ∉平面BPQ ，BD 与平面BPQ 只能相交，所以11B D 与平面
BPQ 只能相交，故B 错；
对于C ，BP =，把11ABC D 沿11C D 展开与11CDD C 在同一平面（如图），则当
B P Q ，， 共线时，BQ PQ +有最小值，由
14AD =可得BP ==，所以三
角形BPQ
C 正确；
对于D ，A BPQ Q ABP V V −−=，因ABP
S 为定值，又11C D 平面ABP ，故Q 到平面ABP 的距离也为定值，所以A BPQ
V −为定值.故选：ACD ．
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】
16．解：由题知，11sin cos cos sin sin tan ()3()33tan tan cos sin sin cos sin sin C A B C C C A B C A B C A B +=⇒+=⇒⋅=⋅．
即：3cos 1
sin sin sin 2=⋅⋅C
B A
C ，22
22
23c ab ab a b c ∴⨯=+−，
又225c a b =+=． 又ABC △是锐角三角形，cos 0A ∴>，cos 0B >，cos 0C >，
即2230a b −+>，22
30b a −+>，2230a b +−>，结合225a b +=得2(1,4)b ∈．
又222222222
111(5)1sin ,sin ,2444
ABC
ABC ABC a b b b S ab C S a b C S ∆∆∆−−−=∴=∴==
． 不妨设),4,1(2∈=b t 则.421,231621,43,1621)25(41222⎥⎥⎦
⎤ ⎝⎛∈∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈∴+−−=∆∆∆ABC ABC ABC S S t S 四､解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。

17．解：（1）由正弦定理知，sin sin sin 222a b c A B C R R R =
==，， ，即222()()()22222a c a c b
R R R R R
+=⋅+，
222a c ac b ∴+=+ .............................................................................................................................................. 2分
2221
cos 22
a c
b B a
c +−∴== .................................................................................................................................. 3分
又
()0,B π∈3
B π
∴=
....................................................................................................................................... 5分 （2）3b =，3
B π
=
，223a c ac ∴+=+ ................................................................................................... 6分
又1sin 2S ac B ===2ac ∴= .......................................................................................................... 7分
2()339a c ac ∴+=+=3a c ∴
+= ..................................................................................................................... 9分 故ABC △的周长为3a b c ++=+10分 18．解：（1）连接1BC 交1B C 于点O ，连接OD ........................................................ 1分
由正三棱柱111ABC A B C −可得O 为1BC 的中点， 又D 为AB 的中点，所以，1
AC OD ， ............................................................. 4分
又11AC B CD ⊄平面，1OD B CD ⊂平面，11AC B CD ∴平面 ............................ 6分
（2）正三棱柱111ABC A B
C −的各条棱长均为2，
CD AB ∴⊥
且CD =，ACD
S
=
.................................................................. 8分
111
1
123
3A B CD B ACD ACD V V S
B B −−
∴==⋅== ........................................... 12分
19．解：（1）EG EA AD DG =++11
32
AB AD DC =−++ ..................................................................................... 3分
11
32
AB AD AB =−++16AB AD =+ ............................................................................................ 6分
（2）
11
()33
EG EA AD DG AB AD AB AB AD λλ=++=−++=−+........................................................... 7分
又11
32
EF EA AF AB AD =+=−+ ..................................................................................................................... 8分
111()()332EG EF AB AD AB AD λ⎡⎤
∴=−+⋅−+⎢⎥⎣⎦221111()()93222AB AD AB AD λλ=−++−⋅ ......................... 9分
2211111()32()32932222λλ=−⨯+⨯+−⨯⨯⨯33
22
λ=−+ .................................................................................. 10分 又[]0,1λ∈∴30,2EG EF ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦. ........................................................................................................................ 12分
20．解：（1）()(cos sin )(cos sin )cos()sin()44
f x x x x x x x ππ
ωωωωωω=−+++−
222
cos sin ()4
x x x π
ωωω=−++
cos224x x πωω⎡⎤
⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 22x x ωω=−2cos(2)3x πω=+ ..................................................... 3分
由题知，
22
T π=，即22T π
πω==1ω∴= ......................................................................................................... 4分 ()2cos(2)3
f x x π∴=+，当x ∈R 时，23x π
+∈R
故()f x 的值域为[]2,2−. .................................................................................................................................... 6分
（2）()()0f x f x ⎡⎡−≤⎣⎣()f x ≤≤
............................................................................... 7分
2cos(2)3x π
≤+≤cos(2)23x π≤+≤结合余弦曲线知，222,4
3
4
k x k k π
π
π
ππ−
+≤+
≤
+∈Z ， ............................................................................. 9分
7,2424k x k k ππππ∴−
+≤≤−+∈Z 7,,2424M k k k ππππ⎡⎤
∴=−
+−+∈⎢⎥⎣⎦
Z ........................................................ 10分 又{}15P x x =∈≤≤Z {}3M P ∴=. ............................................................................................................ 12分
21．（1）截面可以分别为三角形，四边形，五边形，六边形
（本小题作出三角形、四边形各得1分，五边形、六边形各得2分，共6分.）
（2）如图：连接PQ 所在直线交DC 延长线于X ，交1DD 的延长线于Z ；
连接直线MX 交BC 于R ，交DA 延长线于Y ；
连接YZ 分别交111,AA A D 于,S T .则六边形PQRMST 即为截面. .................................................................... 8分 P 为 1.1C D 的中点，Q 为1CC 的一个三等分点（靠近C ），113D P PC ∴==，14,2C Q QC ==，
可得14,5D Z PZ PQ ===，3
2
CX =
，52QX =，
又//CD AB ，3
1232CR XR CX RB RM MB ====，所以2CR =，4RB =5
2
XR =，5RM =，
又//AD BC ，M 为AB 的中点，5MY =，4AY =，所以YDZ 为等腰直角三角形，
所以YS =，ST =，TZ =YZ =25
2
XY XZ ==，
XYZ ∴12XYZ
S =⨯
1
2XQR
S
=
⨯=
2PZT
MSY
S S
==
所以2522
PQRMST XYZ
XQR
PTZ
MSY
S S
S
S
S
=−−−=
−−12分
方法二：可证明PQRM 与PTSM 是全等的等腰梯形，PM =QR =，5PQ RM ==，所以等腰梯
形PQRM 1
222PQRMST PQRM S S ==⨯⨯+=.
22．（1）由题：.90609012036000000θθ−=+++−=∠）（ADC
在ABC ∆中，由正弦定理：
ACD
AD
ADC AC ∠=∠sin sin 即：,cos 32θ=AC ................................................... 1分
在ABC ∆中，.60,0
θθ−=∠∴=∠CAB ACB 由正弦定理：
,cos 4120sin )60sin(sin 00θθθ==−=AC BC AB
).60sin(cos 4,2sin 2sin cos 40θθθθθ−===BC AB
....................................................................................... 3分 )60sin(cos 42sin 20θθθ−+=+=∴BC AB S 且()
.60,00∈θ
又3)602sin(232cos 32sin 0
++=++=θθθS ........................................................................................ 5分 ()()
S ∴∈+∴∈,180,0602,60,0000θθ 的最大值为，32+当且仅当0
15=θ时取得等号. ............................ 6分
（2）由（1）知：).30sin(32),60sin(cos 40
0+=−=θθθCD BC
0001
4cos sin(60)30)sin(60)2S θθθθ∴=⋅−⋅+⋅+ .............................................................................. 7分
0060)sin(260)S θθ⎡∴++⎢⎣
⎦ ...................................................................................................... 10分
不妨设)602sin(0
+=θt 又()()
(].1,0,180606026000000∈∈+∴∈t ，，
θθ t t S 2
3
32+=∴而S 在(]1,0∈t 上单调递增，()3231max +==S S ，当且仅当015=θ时取得等号.............. 12分。