标准正态分布的特征函数推导

标准正态分布的特征函数推导
标准正态分布是一种概率分布，它的概率密度函数是一个钟形曲线。

特征函数是一种将概率密度函数转换为复数的函数，它可以用来计算概率分布的各种特征。

对于标准正态分布，它的特征函数可以通过积分计算得到。

首先，我们需要定义特征函数的公式：
φ(t) = ∫exp(itx)f(x)dx
其中，φ(t)是特征函数，t是一个复数，f(x)是概率密度函数。

对于标准正态分布，概率密度函数可以表示为：
f(x) = 1/√(2π)exp(-x^2/2)
将概率密度函数代入特征函数公式，我们得到：
φ(t) = ∫exp(itx)1/√(2π)exp(-x^2/2)dx
化简后，我们可以得到：
φ(t) = exp(-t^2/2)
这个公式就是标准正态分布的特征函数。

通过这个公式，我们可以计算出标准正态分布的各种特征，比如期望、方差、偏度和峰度等等。