高二数学导数综合应用

高二数学导数综合应用
一、导数的应用
导数的应用包括以下几个方面：
1．判定函数单调性
结论：对于定义在区间（a，b）上且处处可导的函数，
（1）为增函数；
（2）为减函数.
注意：不是充分必要条件.例如，是单调递增函数，但. 2．求函数在给定区间上的极值
结论：对于定义在区间（a，b）上且处处可导的函数，
（1）若x=x0是的极值点，则；
（2）结合函数图象来具体判定x=x0是的极大值点或极小值点.
注意：“”只是“x=x0是的极值点”的必要不充分条件，例如，对于
函数，，但x=0不是函数的极值点.
3．求函数在给定区间上的最值
结论：对于定义在区间[a，b]上且在（a，b）上处处可导的函数，的最值可
能在极值点或区间端点取到.
注意：列表表示解答过程.
二、导数应用的例题
1．已知a≥0，函数.
（1）当x为何值时，取得最小值？证明你的结论；
（2）设在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围.
分析：
（1）的定义域为（－∞，+∞）.由导数应用可知，结合的单调性，的最值可能在极值
点或区间端点取到.所以应考虑x→±∞时的取值.
（2）由（1）确定了的单调性，就可以确定在[－1，1]上的单调性了. 解析：
（1）
令，解得，且
当x变化时，列表如下：
又当x＜0时，
当x=x2时，
∴，即当x=x2时，取最小值.
（2）由（1）知若在[－1，1]上单调递减
则x2≥1 即
解不等式得
反思：
（1）结合图形来判断函数最值的情况.事实上，函数图象草图如图所示.
（2）准确分析的极值点的范围有助于确定在给定区间的单调性.
2．已知在x=1与x=－2时都取得极值.
（1）求a，b的值；
（2）若x∈[－3，2]都有恒成立，求c的取值范围.
分析：
（1）已知的极值点，即已知的零点
（2），问题即转化为求解在[－3，2]上的最小
值.
解析：
（1）
由已知，解得
（2），
令，解得x1=－2，x2=1
当x变化时，列表如下：
∴，∴
解得
反思：利用函数最值比较不等式.
3．已知定义在正实数集上的函数，，其中a＞0.设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同.
（1）用a表示b，并求b的最大值；
（2）求证：（）
分析：
（1）与在公共点处切线相同，则函数在该点导数相等.
（2）构造辅助函数，则只需.
解析：
（1），
令，解得x=a或x=－3a
由已知x＞0，∴x=a
又，∴，∴
设
令，∴
当a变化时，列表如下：
∴
（2）令
令，解得x=a或x=－3a（舍）
当x变化时列表如下
∴
∴当x＞0时，即
4．已知，.
（1）求的值域；
（2）设a≥1，函数，x∈[0，1]，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，
使得成立，求a的取值范围.
分析：
（1）常规问题；
（2）由题可知，只需满足即且
解析：
（1）
令，解得x1=1，（舍）
∴在[0，1]单调递减
∴，，
的值域为[―4，－3]
（2）
令，解得x1=0，x2=2a（舍）
∴在[0，1]单调递减
∴，
由已知，解得
反思：
（1）对于第（2）问，对两个量词（“任意”“存在”）的理解.
（2）若将第（2）问改为：若对于任意x1∈[0，1]，任意x0∈[0，1]，使得，则需要满足
的条件即为.一方面要注意与例3的联系与差别，另一方面例3的第（2）问并不
等价于.如图所示，任意，但.
5．已知函数有三个极值点.
（1）证明：－27＜c＜5；
（2）若存在实数c，使函数在区间[a，a+2]上单调递减，求a的取值范围.
分析：
（1）有三个极值点，则有三个零点.
（2）在[a，a+2]单调递减，则.
解析：
（1），令
∴
令，∴x＜－3或x＞1
即在（－∞，－3），（1，+∞）单调递增
∴若在3个极值点
则，即
∴－27＜c＜5
（2）由题意可知，任意x∈[a，a+2]有恒成立
∴对任意x∈[a，a+2]成立
由已知，存在c∈(－27，5)使上述不等式成立
则只需对任意x∈[a，a+2]成立
令，x∈[a，a+2]
，
令，x1=－3，x2=1
当x变化时，列表如下
由题意可知a+2＜－3 或
解得a∈(－∞,－5)∪(－3,1)
反思：结合函数图象确定函数的值的符号.
三、课后练习
1．已知函数（为常数）.
（1）若t=1，讨论的单调性；
（2）若x∈[0，1]恒有，试求实数的取值范围.
2．设函数
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若对所有的x≥0都有成立，求实数a的取值范围. 参考答案
1．（1）单调递减；（2）
2．（1）；（2）a≤1.。