2020版高考物理总复习第五章机械能基础课3机械能守恒定律及其应用学案

基础课3 机械能守恒定律及其应用
知识排查
重力做功与重力势能
1.重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与始、末位置的高度差有关。

(2)重力做功不引起物体机械能的变化。

2.重力势能 (1)表达式：E p ＝mgh 。

(2)重力势能的特点
①系统性：重力势能是物体和地球所共有的。

②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。

3.重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小；重力对物体做负功，重力势能就增大。

(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，即W G ＝－(E p2－E p1)＝－ΔE p 。

弹性势能
1.定义：物体由于发生弹性形变而具有的能。

2.弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加，即W ＝－ΔE p 。

机械能守恒定律及应用
1.机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括弹性势能和重力势能。

2.机械能守恒定律
(1)内容：在只有重力或弹簧弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。

(2)表达式：mgh 1＋12mv 21＝mgh 2＋12
mv 22。

3.守恒条件：只有重力或弹簧的弹力做功。

小题速练
1.思考判断
(1)被举到高处的物体的重力势能一定不为零。

( )
(2)物体在速度增大时，其机械能可能在减小。

( )
(3)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒。

( )
(4)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。

( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2.将质量为100 kg 的物体从地面提升到10 m 高处，在这个过程中，下列说法正确的是(取g ＝10 m/s 2
)( )
A.重力做正功，重力势能增加1.0×104 J
B.重力做正功，重力势能减少1.0×104 J
C.重力做负功，重力势能增加1.0×104 J
D.重力做负功，重力势能减少1.0×104 J
解析 W G ＝－mgh ＝－1.0×104 J ，ΔE p ＝－W G ＝1.0×104 J ，选项C 正确。

答案 C
3.[人教版必修2·P 78·T 3改编](多选)如图1所示，在地面上以速度v 0抛出质量为m 的物体，抛出后物体落到比地面低h 的海平面上。

若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
图1
A.重力对物体做的功为mgh
B.物体在海平面上的势能为mgh
C.物体在海平面上的动能为12
mv 20－mgh D.物体在海平面上的机械能为12
mv 20 答案 AD
机械能守恒的判断
1.利用机械能的定义判断(直接判断)
分析动能和势能的和是否变化。

2.用做功判断
若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，
则机械能守恒。

3.用能量转化来判断
若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒。

1.(多选)如图2所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
图2
A.图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒
B.图乙中，物体A固定，物体B沿斜面匀速下滑，物体B的机械能守恒
C.图丙中，不计任何阻力和定滑轮质量时，物体A加速下落，物体B加速上升过程中，物体A、B组成的系统机械能守恒
D.图丁中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
解析题图甲中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，选项A错误；题图乙中物体B匀速下滑，动能不变，重力势能减小，物体B的机械能不守恒，选项B错误；题图丙中绳子张力对物体A做负功，对物体B做正功，代数和为零，物体A、B组成的系统机械能守恒，选项C正确；题图丁中小球的动能不变，势能不变，机械能守恒，选项D正确。

答案CD
2.(多选)质量为m的物体，从静止开始以2g的加速度竖直向下运动h高度，下列说法正确的是( )
A.物体的重力势能减少2mgh
B.物体的机械能保持不变
C.物体的动能增加2mgh
D.物体的机械能增加mgh
解析因重力做了mgh的功，由重力做功与重力势能变化关系可知重力势能减少mgh，合力做功为2mgh，由动能定理可知动能增加2mgh，除重力之外的力做功mgh，所以机械能增加mgh，选项A、B错误，C、D正确。

答案CD
3.如图3所示，P、Q两球质量相等，开始两球静止，将P上方的细绳烧断，在Q落地之前，下列说法正确的是(不计空气阻力)( )
图3
A.在任一时刻，两球动能相等
B.在任一时刻，两球加速度相等
C.在任一时刻，系统动能和重力势能之和保持不变
D.在任一时刻，系统机械能是不变的
解析 细绳烧断后，由于弹簧处于伸长状态，通过对P 、Q 两球受力分析可知a P >a Q ，在任一时刻，两球的动能不一定相等，选项A 、B 错误；系统内有弹力做功，弹性势能发生变化，系统的动能和重力势能之和发生变化，选项C 错误；Q 落地前，两球及弹簧组成的系统只有重力和弹簧的弹力做功，整个系统的机械能守恒，选项D 正确。

答案 D
判断机械能是否守恒时，一定要注意研究对象是单个物体还是物体系统，研究对象不同，得到的结果也会不一样。

机械能守恒定律的应用
机械能守恒定律的表达式
【典例】 (2017·定州模拟)如图4所示，B 是质量为2m 、半径为R 的光滑半圆弧槽，放在光滑的水平桌面上。

A 是质量为3m 的细长直杆，在光滑导孔的限制下，A 只能上下运动。

物块C 的质量为m ，紧靠B 放置。

初始时，A 杆被夹住，使其下端正好与半圆弧槽内侧的上边缘接触，然后从静止释放A 。

求：
图4
(1)杆A 的下端运动到槽B 的最低点时B 、C 的速度；
(2)杆A 的下端经过槽B 的最低点后，A 能上升的最大高度。

解析 (1)最低点时，长直杆在竖直方向的速度为0，B 、C 具有共同速度v ，由(整个系统ABC )机械能守恒定律得
3mgR ＝12
·3mv 2，所以，v B ＝v C ＝v ＝2gR (2)B 、C 分离后，杆上升到所能达到的最高点时，A 、B 的速度均为0，A 、B 系统机械能守恒 12·2mv 2＝3mgh ，解得h ＝2R 3
答案 (1)2gR 2gR (2)2R 3
1.一小球以一定的初速度从图示5位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R ，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m ，若小球恰
好能通过轨道2的最高点B ，则小球在轨道1上经过A 处时对轨道的压力为( )
图5
A.2mg
B.3mg
C.4mg
D.5mg
解析 小球恰好能通过轨道2的最高点B 时，有mg ＝m v 2B
1.8R ，小球在轨道1上经过A 处时，有F ＋mg ＝m v 2A R ，根据机械能守恒定律，有1.6mgR ＋12mv 2B ＝12
mv 2A ，解得F ＝4mg ，由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力F ′＝F ＝4mg ，选项C 正确。

答案 C
2.如图6所示，质量相同的可视为质点的甲、乙两小球，甲从竖直固定的14
光滑圆弧轨道顶端由静止滑下，轨道半径为R ，圆弧底端切线水平，乙从高为R 的光滑斜面顶端由静止滑下。

下列判断正确的是( )
图6
A.两小球到达底端时速度相同
B.两小球由静止运动到底端的过程中重力做功不相同
C.两小球到达底端时动能相同
D.两小球到达底端时，甲小球重力做功的瞬时功率大于乙小球重力做功的瞬时功率
解析 根据机械能守恒定律可得两小球到达底端时速度大小v ＝2gR ，但方向不同，所以选项A 错误；两小球由静止运动到底端的过程中重力做功相同，则两小球到达底端时动能相同，所以选项C 正确，B 错误；两小球到达底端时，甲小球重力做功的瞬时功率为零，乙小球重力做功的瞬时功率大于零，所以选项D 错误。

答案 C
3.如图7所示，在某竖直平面内，光滑曲面AB 与水平面BC 平滑连接于B 点，BC 右端连接内、外壁光滑、半径r ＝0.2 m 的四分之一细圆管CD ，管口D 端正下方直立一根劲度系数为k ＝100 N/m 的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口D 端平齐。

一个质量为1.0 kg 的小滑块(可视为质点)放在曲面AB 上，现从距BC 的高度为h ＝0.6 m 处由静止释放小滑块，它与BC 间的动摩擦因数μ＝0.5，小滑块进入管口C 端时，它对上管壁有F N ＝2.5mg 的相互作用力，通过CD 后，在压缩弹簧过程中小滑块速度最大时弹簧的弹性势能为E p ＝0.5 J 。

取重力加速度g ＝
10 m/s 2。

求：
图7
(1)小滑块在C 处受到的向心力大小；
(2)在压缩弹簧过程中小滑块的最大动能E km ；
(3)小滑块最终停止的位置。

解析 (1)小滑块进入管口C 端时它与圆管外管壁有大小为F N ＝2.5mg 的相互作用力，故小滑块在C 点受到的向心力大小为F 向＝2.5mg ＋mg ＝35 N 。

(2)在压缩弹簧过程中小滑块速度最大时，所受合力为零。

设此时小滑块离D 端的距离为x 0，则有kx 0＝mg
解得x 0＝mg k
＝0.1 m 在C 点合外力提供向心力，有F 向＝m v 2
C r
得v 2C ＝7 m 2/s 2 小滑块从C 点运动到速度最大位置的过程中，由机械能守恒定律得
mg (r ＋x 0)＋12
mv 2
C ＝E km ＋E p
联立解得E km ＝mg (r ＋x 0)＋12
mv 2C －E p ＝6 J 。

(3)小滑块从A 点运动到C 点过程，由动能定理得 mgh －μmgs ＝12
mv 2
C
解得B 、C 间的距离s ＝0.5 m
小滑块与弹簧作用后返回C 处动能不变，小滑块的动能最终消耗在与BC 水平面相互作用的过
程中，设之后小滑块在BC 上的运动路程为s ′，由动能定理有：－μmgs ′＝0－12mv 2C ，解得s ′＝0.7 m ，故最终小滑块在距离B 点为(0.7－0.5) m ＝0.2 m 处停下。

答案 (1)35 N (2)6 J (3)距B 点0.2 m
系统机械能守恒的两类连接体模型——模型建构能力的培养
模型一 速率相等的连接体模型
1.如图8所示的两物体组成的系统，当释放B 而使A 、B 运动的过程中，A 、B 的速度均沿绳子方向，在相等的时间内A 、B 运动的路程相等，则A 、B 的速率相等。

图8
2.判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。

这类题目的典型特点是系统不受摩擦力和空气阻力作用。

【例1】 如图9所示，A 、B 两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A 放在固定的光滑斜面
上，B 、C 两小球在竖直方向上通过劲度系数为k 的轻质弹簧相连，C 球放在水平地面上。

现用手控制住A ，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。

已知A 的质量为4m ，B 、C 的质量均为m ，重力加速度为g ，细线与滑轮之间的摩擦不计。

开始时整个系统处于静止状态；释放A 后，A 沿斜面下滑至速度最大时，C 恰好离开地面。

求：
图9
(1)斜面的倾角α；
(2)A 球获得的最大速度v m 。

审题建模 (1)细线不可伸长，A 、B 两球速率一定相等，但B 与C 球用弹簧相连，速率一般不同。

(2)弹簧的弹性势能与弹簧的形变量大小有关，无论弹簧处于伸长状态还是压缩状态。

解析 (1)由题意可知，当A 沿斜面下滑至速度最大时，C 恰好离开地面，A 的加速度此时为零。

由牛顿第二定律得4mg sin α－2mg ＝0
则sin α＝12
，α＝30°。

(2)由题意可知，mg ＝k Δx ，B 球上升的高度x ＝2Δx ＝2mg k。

A 、B 两小球及轻质弹簧组成的系统在初始时和A 沿斜面下滑至速度最大时弹簧的弹性势能相等，对A 、B 、C 三小球和弹簧组成的系统机械能守恒，得
4mgx sin α－mgx ＝12
(5m )v 2m 联立化简得v m ＝2g m 5k。

答案 (1)30° (2)2g
m 5k 模型二 角速度相等的连接体模型
1.如图10所示的两物体组成的系统，当释放后A 、B 在竖直平面内绕O 点的轴转动，在转动的过程中相等时间内A 、B 转过的角度相等，则A 、B 转动的角速度相等。

图10
2.系统机械能守恒的特点
(1)一个物体的机械能增加，另一个物体的机械能必然减少，机械能通过内力做功实现物体间的转移。

(2)内力对一个物体做正功，必然对另外一个物体做负功，且二者代数和为零。

【例2】 (2017·黑龙江模拟)(多选)将质量分别为m 和2m 的两个小球A 和B ，用长为2L 的轻杆相连，如图11所示，在杆的中点O 处有一固定水平转动轴，把杆置于水平位置后由静止自由释放，在B 球顺时针转动到最低位置的过程中(不计一切摩擦)( )
图11
A.A 、B 两球的线速度大小始终不相等
B.重力对B 球做功的瞬时功率先增大后减小
C.B 球转动到最低位置时的速度大小为
23gL D.杆对B 球做正功，B 球机械能不守恒
解析 A 、B 两球用轻杆相连共轴转动，角速度大小始终相等，转动半径相等，所以两球的线速度大小也相等，选项A 错误；杆在水平位置时，重力对B 球做功的瞬时功率为零，杆在竖直位置时，B 球的重力方向和速度方向垂直，重力对B 球做功的瞬时功率也为零，但在其他位置重力对B 球做功的瞬时功率不为零，因此，重力对B 球做功的瞬时功率先增大后减小，选项B 正确；设B 球转动到最低位置时速度为v ，两球线速度大小相等，对A 、B 两球和杆组
成的系统，由机械能守恒定律得2mgL －mgL ＝12(2m )v 2＋12
mv 2，解得v ＝23gL ，选项C 正确；B 球的重力势能减少了2mgL ，动能增加了2
3mgL ，机械能减少了，所以杆对B 球做负功，选项
D 错误。

答案 BC
解决角速度相等的连接体问题三点提醒
(1)要注意判断系统的机械能是否守恒。

(2)注意寻找物体间的速度关系和位移关系。

(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k ＝－ΔE p 的形式。

【针对训练】 如图12所示，半径为r 、质量不计的圆盘盘面与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的光滑水平固定轴O ，在盘的右边缘固定有一个质量为m 的小球A ，在O 点正下方离O 点r
2
处固定一个质量也为m 的小球B ，放开盘让其自由转动。

图12
(1)当A 转动到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少？
(2)A 球转到最低点时的线速度是多少？
解析 (1)以通过固定轴O 的水平面为零势能面，开始时两球的重力势能之和为
E p1＝E p A ＋E p B ＝0－12mgr ＝－12
mgr ，
当小球A 转至最低点时两小球重力势能之和为 E p2＝E p A ＋E p B ＝－mgr ＋0＝－mgr ，
故两球重力势能之和减少量为
ΔE p 减＝E p1－E p2＝－12mgr －(－mgr )＝12
mgr 。

(2)由于圆盘转动过程中，系统只有动能和重力势能相互转化，系统的机械能守恒，因此系统的重力势能的减少一定等于两球动能的增加。

设A 球转至最低点时，A 、B 的线速度分别为v A
和v B ，则12mgr ＝12mv 2A ＋12
mv 2B 。

因A 、B 两球固定在同一圆盘上，转动过程中角速度相等，故线速度的关系为v A ＝2v B ，解得v A ＝
45
gr 。

答案 (1)12mgr (2)45
gr 活页作业
(时间：40分钟)
A 级：保分练
1.(多选)下列关于机械能是否守恒的论述正确的是( )
A.做变速曲线运动的物体，机械能可能守恒
B.沿水平面运动的物体，机械能一定守恒
C.合外力对物体做功等于零时，物体的机械能一定守恒
D.只有重力对物体做功时，机械能一定守恒
解析 判断机械能是否守恒，就要依据机械能守恒的条件来分析。

要看是不是只有重力(或系统内弹簧的弹力)做功，而不是看物体如何运动。

物体做变速曲线运动，机械能可能守恒，如平抛运动，选项A 正确；沿水平面运动的物体，重力势能不变，如果不是匀速，动能发生变化，机械能就不守恒，选项B 错误；合外力做功为零，只是动能不变，势能的变化情况不能确定，机械能不一定守恒，如物体匀速下落，机械能减少，选项C 错误；只有重力对物体做功时，机械能一定守恒，选项D 正确。

答案 AD
2.在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小( )
A.一样大
B.水平抛的最大
C.斜向上抛的最大
D.斜向下抛的最大
解析 不计空气阻力，小球在空中只受重力作用，机械能守恒。

抛出时高度、速度大小相等，落地时速度大小一定相等。

答案 A
3. (2018·湖南郴州一中模拟)(多选)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。

假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是( )
图1
A.运动员到达最低点前重力势能始终减小
B.蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加
C.蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D.蹦极过程中，重力势能的改变量与重力势能零点的选取有关
解析 在运动员到达最低点前，运动员一直向下运动，根据重力势能的定义可知重力势能始终减小，故选项A 正确；蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力方向向上，而运动员向下运动，所以弹力做负功，弹性势能增加，故选项B 正确；对于运动员、地球和蹦极绳所组成的系统，蹦极过程中只有重力和弹力做功，所以系统机械能守恒，故选项C 正确；重力做功是重力势能转化的量度，即W G ＝－ΔE p ，而蹦极过程中重力做功与重力势能零点的选取无关，所以重力势能的改变量与重力势能零点的选取无关，故选项D 错误。

答案 ABC
4.(2017·全国卷Ⅲ，16)如图2，一质量为m 、长度为l 的均匀柔软细绳PQ 竖直悬挂。

用外
力将绳的下端Q 缓慢地竖直向上拉起至M 点，M 点与绳的上端P 相距13
l 。

重力加速度大小为g 。

在此过程中，外力做的功为( )
图2
A.19mgl
B.16mgl
C.13mgl
D.12
mgl 解析 由题意可知，PM 段细绳的机械能不变，MQ 段细绳的重心升高了l 6
，则重力势能增加ΔE p ＝23mg ·l 6＝19mgl ，由功能关系可知，在此过程中，外力做的功为W ＝19
mgl ，故选项A 正确，B 、C 、 D 错误。

答案 A
5.如图3所示，有一光滑轨道ABC ，AB 部分为半径为R 的14
圆弧，BC 部分水平，质量均为m 的小球a 、b 固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R ，不计小球大小。

开始时a 球处在圆弧上端A 点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，则下列说法正确的是( )
图3
A.a 球下滑过程中机械能保持不变
B.b 球下滑过程中机械能保持不变
C.a 、b 球滑到水平轨道上时速度大小为2gR
D.从释放a 、b 球到a 、b 球滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a 球做的功为mgR 2
解析 a 、b 球和轻杆组成的系统机械能守恒，选项A 、B 错误；由系统机械能守恒有mgR ＋mg ·2R ＝12
×2mv 2，解得a 、b 球滑到水平轨道上时速度大小为v ＝3gR ，选项C 错误；从释放a 、b 球到a 、b 球滑到水平轨道上，对a 球，由动能定理有W ＋mgR ＝12
mv 2，解得轻杆对a 球做的功为W ＝mgR 2，选项D 正确。

答案 D
6.如图4所示，一个可以看成质点的小球用没有弹性的细线悬挂于O ′点，细线长L ＝5 m ，小球质量为m ＝1 kg 。

现向左拉小球使细线水平，由静止释放小球，已知小球运动到最低点O 时细线恰好断开，取重力加速度g ＝10 m/s 2。

图4
(1)求小球运动到最低点O 时细线的拉力F 的大小；
(2)如果在小球做圆周运动的竖直平面内固定一圆弧轨道，该轨道以O 点为圆心，半径R ＝5 5 m ，求小球从O 点运动到圆弧轨道上的时间t 。

解析 (1)设小球摆到O 点时的速度为v ，小球由A 点到O 点的过程，由机械能守恒定律有 mgL ＝12
mv 2
在O 点由牛顿第二定律得F －mg ＝m v 2L
解得F ＝30 N
(2)细线被拉断后，小球做平抛运动，有x ＝vt y ＝12
gt 2，x 2＋y 2＝R 2
联立并代入数据，解得t ＝1 s 。

答案 (1)30 N (2)1 s
B 级：拔高练
7.(多选)如图5所示，轻弹簧一端固定在O 1点，另一端系一小球，小球穿在固定于竖直面内、圆心为O 2的光滑圆环上，O 1在O 2的正上方，C 是O 1O 2的连线和圆环的交点，将小球从圆环上的A 点无初速度释放后，发现小球通过了C 点，最终在A 、B 之间做往复运动。

已知小球在A 点时弹簧被拉长，在C 点时弹簧被压缩，则下列判断正确的是( )
图5
A.弹簧在A 点的伸长量一定大于弹簧在C 点的压缩量
B.小球从A 至C 一直做加速运动，从C 至B 一直做减速运动
C.弹簧处于原长时，小球的速度最大
D.小球机械能最大的位置有两处
解析 因只有重力和系统内弹力做功，故小球和弹簧组成系统的机械能守恒，小球在A 点的动能和重力势能均最小，故小球在A 点的弹性势能必大于在C 点的弹性势能，所以弹簧在A 点的伸长量一定大于弹簧在C 点的压缩量，故选项A 正确；小球从A 至C ，在切线方向先做加速运动再做减速运动，当切线方向合力为零(此时弹簧仍处于伸长状态)时，速度最大，故选项B 、C 错误；当弹簧处于原长时，弹性势能为零，小球机械能最大，由题意知，A 、B 相对于O 1O 2对称，显然，此位置在A 、C 与B 、C 之间各有一处，故选项D 正确。

答案 AD
8.(2017·佛山高三检测)(多选)如图6甲所示，质量为0.1 kg 的小球从最低点A 冲入竖直放置在水平地面上、半径为0.4 m 的半圆轨道，小球速度的平方与其高度的关系图象如图乙所示。

已知小球恰能到达最高点C ，轨道粗糙程度处处相同，空气阻力不计。

g 取10 m/s 2，B 为AC 轨道中点。

下列说法正确的是( )
图6
A.图乙中x ＝4 m 2·s －2
B.小球从B 到C 损失了0.125 J 的机械能
C.小球从A 到C 合外力对其做的功为－1.05 J
D.小球从C 抛出后，落地点到A 的距离为0.8 m 解析 当h ＝0.8 m 时小球在C 点，由于小球恰能到达最高点C ，故mg ＝m v 2
C r
，所以v 2C ＝gr ＝
10×0.4 m 2·s －2＝4 m 2·s －2
，故选项A 正确；由已知条件无法计算出小球从B 到C 损失了0.125
J 的机械能，故选项B 错误；小球从A 到C ，由动能定理可知W 合＝12mv 2C －12mv 2A ＝12
×0.1×4 J －12×0.1×25 J＝－1.05 J ，故选项C 正确；小球离开C 点后做平抛运动，故2r ＝12gt 2，落地点到A 的距离x 1＝v C t ，解得x 1＝0.8 m ，故选项D 正确。

答案 ACD
9.(2017·上海单科，19)如图7，与水平面夹角θ＝37°的斜面和半径R ＝0.4 m 的光滑圆轨道相切于B 点，且固定于竖直平面内。

滑块从斜面上的A 点由静止释放，经B 点后沿圆轨道运动，通过最高点C 时轨道对滑块的弹力为零。

已知滑块与斜面间动摩擦因数μ＝0.25。

(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
图7
(1)滑块在C 点的速度大小v C ；
(2)滑块在B 点的速度大小v B ；
(3)A 、B 两点间的高度差h 。

解析 (1)滑块在C 点竖直方向所受合力提供向心力 mg ＝mv 2
C R
① v C ＝gR ＝2 m/s
(2)对B ―→C 过程，滑块的机械能守恒，有
12mv 2B ＝12
mv 2C ＋mgR (1＋cos 37°)② v B ＝v 2
C ＋2gR （1＋cos 37°）＝4.29 m/s
(3)滑块在A ―→B 的过程，利用动能定理得
mgh －μmg cos 37°·h sin 37°＝12mv 2B －0③ 代入数据解得h ＝1.38 m
答案 (1)2 m/s (2)4.29 m/s (3)1.38 m
10.(2017·西安质检)一半径为R 的半圆形竖直圆弧面，用轻质不可伸长的细绳连接的A 、B 两球悬挂在圆弧面边缘两侧，A 球质量为B 球质量的2倍，现将A 球从圆弧边缘处由静止释放，如图8所示。

已知A 球始终不离开圆弧内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：
图8
(1)A 球沿圆弧内表面滑至最低点时速度的大小；
(2)A 球沿圆弧内表面运动的最大位移。

解析 (1)设A 球沿圆弧内表面滑至最低点时速度的大小为v ，B 球的质量为m ，则根据机械能守恒定律有
2mgR －2mgR ＝12·2mv 2＋12
mv 2B 由图甲可知，A 球的速度v 与B 球速度v B 的关系为
v B ＝v 1＝v cos 45°
联立解得v ＝22－25
gR 。

甲
(2)当A 球的速度为零时，A 球沿圆弧内表面运动的位移最大，设为x ，如图乙所示，由几何关系可知A 球下降的高度h ＝x 2R
4R 2－x 2 根据机械能守恒定律有2mgh －mgx ＝0，解得x ＝3R 。

乙
答案 (1)2
2－25gR (2)3R。